2025-2026学年下学期高二数学限时小卷（十）（范围：人教B版选择性必修第三册第五章）

**基本信息** 聚焦数列核心素养，以等差等比定义、递推关系及实际应用为脉络，通过分层题型构建从概念辨析到综合建模的逻辑训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|6题（单选1-4、多选5-6）|等差等比性质辨析、前n项和最值判定|从定义出发，通过基本量运算建立概念与性质的推导关系| |递推关系与证明|2题（解答9-10）|等比/等差数列证明、通项及求和推导|以递推式为起点，经历类型判定→通项公式→求和公式的完整推理链| |实际情境应用|2题（单选4、填空8）|捐款增长、利润累计的数列建模|将现实问题抽象为等差/等比数列模型，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第三册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等比数列满足：，设，记数列的前项和为，则(    ) A. B. C. D. 2.已知数列满足，，则其前项和取得最大值时的值为(    ) A. B. C. D. 3.公差不为的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则(    ) A. B. C. D. 4.某公益组织发起捐款活动，第天捐款元，从第天开始，每日捐款额比前一天捐款额的倍少元若第天的捐款额不低于元，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列满足，，则． A. 为等差数列 B. 的通项公式为 C. 为递减数列 D. 的前项和 6.下列说法正确的有(    ) A. 在等差数列中，，，则前项和． B. 已知为等比数列的前项和，，，则． C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且， 则． D. 数列为等比数列，，，则． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知数列的前项和为且，，则数列的前项和为          ． 8.某公司今年获得利润万元，由于坚持改革，大胆创新，以后每年的利润将比上一年增加，则从今年起经过年后该公司获得的总利润约为          万元参考数据：， 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在数列中，，． 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式 求数列的前项和． 10.本小题分 已知数列满足，． 证明数列是等差数列，并求数列的通项公式 设，求数列的前项和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（十） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知等比数列满足：，设，记数列的前项和为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设等比数列的公比为，由已知，。 因为，，，所以，即，解得。 由，得，解得。 所以等比数列的通项公式为。 因为，且，所以，则。 数列的前项和。 计算：这是首项为，公比为的等比数列前项和，根据等比数列求和公式，可得。 计算：即，这是首项为，末项为，项数为的等差数列，根据等差数列求和公式，可得。 所以。 2.已知数列满足，，则其前项和取得最大值时的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查等差数列前项和的最值问题，等差数列的通项公式等知识，是基础题． 利用等差数列的通项公式可得，令，求解即可得出答案． 【解答】 解：数列满足，， 数列是等差数列，首项为，公差为， ， 令， 解得，解得， 当数列的前项和取得最大值时的值为． 故选B． 3.公差不为的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设等差数列的公差为，。 由得，化简得； 又成等比数列，，代入通项公式得， 整理得，，； 联立，将代入得，解得，，则，故选A． 4.某公益组织发起捐款活动，第天捐款元，从第天开始，每日捐款额比前一天捐款额的倍少元若第天的捐款额不低于元，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】设第天的捐款额为，由题意得，当时，。 变形可得， 则数列是以为首项，公比为的等比数列。 所以，即得。 令，即，即得。 因为，，所以的最小值为。 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知数列满足，，则． A. 为等差数列 B. 的通项公式为 C. 为递减数列 D. 的前项和 【答案】CD  【解析】因为， 所以， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列，即， 所以，可得，故A错误，B错误 因为为正且递增， 所以递减，即为递减数列，故C正确 的前项和，故D正确． 故选CD． 6.下列说法正确的有(    ) A. 在等差数列中，，，则前项和． B. 已知为等比数列的前项和，，，则． C. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则． D. 数列为等比数列，，，则． 【答案】AD  【解析】选项A分析 在等差数列中，因此前项和，故A正确。 选项B分析 设等比数列的公比为，若，则，，矛盾，故。 若，则，而已知，所以， 由得： 因即，则，解得。 代入，由等比数列前项和的递推性，得： ，故B错误。 选项C分析 在等差数列中，，因此前项和；同理。 故，故C错误。 选项D分析 设等比数列的公比为，由，得，解得。 因此：， 故D正确。 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知数列的前项和为且，，则数列的前项和为          ． 【答案】  8.某公司今年获得利润万元，由于坚持改革，大胆创新，以后每年的利润将比上一年增加，则从今年起经过年后该公司获得的总利润约为          万元参考数据：， 【答案】  四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在数列中，，． 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式 求数列的前项和． 【答案】由，得． 因此，数列是首项为、公比为的等比数列． 因为，所以． ． 10.本小题5分 已知数列满足，． 证明数列是等差数列，并求数列的通项公式 设，求数列的前项和． 【答案】由得，即， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 可得． 由可得， 则 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $