精品解析：2026年云南省中考数学试题

**基本信息** 2026年云南中考数学卷以本土情境（如蓝莓销售、书市活动）和核心知识（几何证明、函数应用）为载体，通过分层设计考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配中考选拔需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|科学记数法、轴对称图形、统计中位数|基础题为主，考查数感与几何直观| |填空题|4/8|矩形性质、概率计算、正负数应用|融入文化素材（负数历史），体现数学眼光| |解答题|8/62|统计图表分析、分式方程应用、圆的切线证明、二次函数综合|25题以蓝莓贴纸费用建模考查模型意识，27题几何综合考查推理能力，适配中考压轴要求|

机密★考试结束前 2026年云南省初中学业水平考试数学 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国陆地领土面积约为，数据9600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点在直线上．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列计算正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 6. 某校开展了爱国主义演讲比赛，五位评委为某参赛选手打出的分数（单位：分）如下：9，7，9，8，9，这组数据的中位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（ ） A. 三棱锥 B. 正方体 C. 圆柱 D. 球 8. 按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ，…，第个代数式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，， 相交于点，，记 的面积为，的面积为．若，则 （ ） A. B. C. D. 12. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 13. 某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 14. 方程组的解为（ ） A. B. C. D. 15. 在 中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 在矩形中，若 ，则 ________． 17. 若函数的图象经过点，则________． 18. 中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 19. 某市举办主题为“繁花伴书香·阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽到．若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳技类赠书的概率为________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 如图， ，，点是线段的中点．求证：． 21. 某校准备组织全校学生参加唱歌、舞蹈、书法、绘画、诵读活动．学校从全校学生中随机抽取了名学生（该校每名学生都有相等的机会被抽到），就学生自己最想参加的活动进行调查（规定参与调查的学生每人在这五项活动中选一项而且只能选一项），根据调查结果绘制出下面的统计图： 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求的值； （2）若该校有学生人，请估计该校学生最想参加唱歌活动的人数． 22. 计算：． 23. 某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出，两种生日系列花束．已知种花束每束的价格比种花束每束的价格少8元，用480元购买种花束的数量与用560元购买种花束的数量相同．求每束种花束的价格． 24. 如图，在四边形中，， 相交于点，，， 平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 25. 问题提出 云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短．这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆．近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸． 该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低． 问题解决 在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用．具体收费方案为： 甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费； 乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费． 根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？ 26. 已知 ，．某二次函数表示的图象为抛物线，抛物线经过，两点．函数表示的图象为抛物线．轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上． （1）求抛物线与轴的公共点的坐标； （2）比较与的大小． 27. 如图，是的外接圆，是的直径．点在的延长线上，且．点在的延长线上．线段的中点与点、点在同一条直线上．线段与相交于点，与线段相交于点．于点，线段与线段相交于点，连接．记的面积为，的面积为． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长； （3）观察，探究，发现与证明： 以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★考试结束前 2026年云南省初中学业水平考试数学 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国陆地领土面积约为，数据9600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求 ， 为整数，解题关键是正确确定 和 的值． 【详解】解：∵科学记数法要求 ，原数 是7位整数， ∴将 变形为时，小数点向左移动了6位，可得 ，， ∴． 2. 如图，点在直线上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意，. 3. 点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据各象限点的横纵坐标符号特点第一象限；第二象限；第三象限；第四象限,即可判断． 【详解】解：点所在象限为第一象限． 4. 下列计算正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A选项，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵，∴A错误； 对于B选项，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∵，∴B错误； 对于C选项，合并同类项可得，∴C正确； 对于D选项，根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∵，∴D错误. 5. 下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．图形沿着一条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，故此选项符合题意． 6. 某校开展了爱国主义演讲比赛，五位评委为某参赛选手打出的分数（单位：分）如下：9，7，9，8，9，这组数据的中位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为． ∵这组数据共有 个， 是奇数，中位数为排序后最中间的数，即第个数， ∴这组数据的中位数为． 7. 下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（ ） A. 三棱锥 B. 正方体 C. 圆柱 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】分别找出立体图形从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：、三棱锥俯视图不是正方形，故此选项错误； B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确； C、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误； D、球的俯视图是圆，故此选项错误． 8. 按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ，…，第 个代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第 个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式： ， 第2个代数式： ， 第3个代数式： ， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第 个代数式的系数为， ∴第 个代数式为 ． 9. 如图，是的弦，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：由题意得：，解得． 11. 如图，， 相交于点，，记 的面积为，的面积为．若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 12. 分解因式：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式变形为两个数的平方差的形式，套用平方差公式即可得到结果． 【详解】解：， ． 13. 某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 14. 方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察方程组发现y的系数互为相反数，可采用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y即可． 【详解】解： ∵①②，得， 解得， 将代入①，得， 解得 ∴原方程组的解为． 15. 在 中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正切定义求出直角边的长度，再利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解： 中，，，， ， 由勾股定理得， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 在矩形中，若 ，则 ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵四边形是矩形，为矩形的两条对角线， ∴ ， ∵， ∴. 17. 若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 18. 中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正负数的意义表示出最高气温和最低气温，再利用有理数的减法法则计算最高气温与最低气温的差值即可． 【详解】解：规定零上温度为正，则该地这天最高气温为，最低气温为． ∴该地这天最高气温比最低气温高． 19. 某市举办主题为“繁花伴书香·阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽到．若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳技类赠书的概率为________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定抽到劳技类赠书的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，随机抽取一种赠书，共有种等可能的结果，其中抽到劳技类赠书的结果有种， ∴参与者甲抽到劳技类赠书的概率为． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 如图， ，，点是线段 的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段 的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】利用判定方法“ ”证明即可． 【详解】略 21. 某校准备组织全校学生参加唱歌、舞蹈、书法、绘画、诵读活动．学校从全校学生中随机抽取了 名学生（该校每名学生都有相等的机会被抽到），就学生自己最想参加的活动进行调查（规定参与调查的学生每人在这五项活动中选一项而且只能选一项），根据调查结果绘制出下面的统计图： 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求 的值； （2）若该校有学生人，请估计该校学生最想参加唱歌活动的人数． 【答案】（1） （2）人 【解析】 【分析】根据条形统计图解答即可； 利用样本估计总体的方法解答即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可得， ； 【小问2详解】 解： （人）， 答：估计该校学生最想参加唱歌活动的人数为人． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质，再进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 23. 某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出，两种生日系列花束．已知种花束每束的价格比种花束每束的价格少8元，用480元购买种花束的数量与用560元购买种花束的数量相同．求每束种花束的价格． 【答案】 每束A种花束的价格为48元 【解析】 【分析】设出A种花束的单价，根据A、B单价的关系表示出B的单价，再利用“480元购买A种花束的数量与560元购买B种花束的数量相等”这一等量关系，列出分式方程，求解检验后得到结果.  【详解】解：设每束A种花束的价格为元，则每束B种花束的价格为元； 根据题意，得， 解得 ； 经检验 是原分式方程的解，且符合题意； 答：每束A种花束的价格为48元． 24. 如图，在四边形中，， 相交于点，，， 平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 25. 问题提出 云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短．这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆．近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸． 该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低． 问题解决 在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用．具体收费方案为： 甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费； 乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费． 根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？ 【答案】 当印制贴纸数量小于9000张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000张时，选择甲、乙两家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000张时，选择甲印制公司 【解析】 【分析】设印制张专用介绍贴纸，根据收费方案，列出代数式，分3种情况，列出方程或不等式进行求解即可. 【详解】解：设印制张专用介绍贴纸， 由题意，甲印制公司所需费用为元，乙印制公司所需费用为元， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上：当印制贴纸数量小于9000张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000张时，选择甲、乙两家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000张时，选择甲印制公司. 26. 已知 ，．某二次函数表示的图象为抛物线，抛物线经过，两点．函数表示的图象为抛物线．轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上． （1）求抛物线与轴的公共点的坐标； （2）比较与的大小． 【答案】（1） ， （2） 当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）令，求出值即可得出结果； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，当时，解得， ∴抛物线与轴的公共点的坐标为，； 【小问2详解】 解：由（1）知：抛物线与轴的公共点的坐标为，； ∵抛物线经过，两点，轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上， ∴或， ①当时，整理得，解得， 将代入得： ∵， ∴，即. ② 当时，整理得， 解得， ∴，两边除以得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上：当时，；当时，. 27. 如图，是的外接圆，是的直径．点在的延长线上，且．点在的延长线上．线段的中点与点、点在同一条直线上．线段与相交于点，与线段 相交于点．于点，线段与线段 相交于点，连接．记的面积为，的面积为． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求线段的长； （3）观察，探究，发现与证明： 以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） （3），证明如下： 如图2，连接， ∵O为的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即． 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意证得，得，再由是的直径，，证得 即可证得结论； （2）首先证得 ，然后，证得，得，再由（1）知，设，则 ，由，得，再由，得，最后代入x值可求得的长； （3）连接，首先证得是的中位线，得 ，进而得 ，然后由 得 ，证得 ，再由 得 ，得 ，进而得 ，最后由 可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵O为的中点，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵点是线段的中点，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 由（1）知， 设，则 ， ∵，即， ∴， ∵，即，解得， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $