2024年云南省中考数学真题解析

2024年云南省中考数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1．（2分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作+100米，则向南运动100米可记作（　　） A．100米 B．﹣100米 C．200米 D．﹣200米 2．（2分）某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（　　） A．5.78×104 B．57.8×103 C．578×102 D．5780×10 3．（2分）下列计算正确的是（　　） A．x3+5x3＝6x4 B．x6÷x3＝x5 C．（a2）3＝a7 D．（ab）3＝a3b3 4．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值值围为（　　） A．x≥0 B．x≤0 C．x＞0 D．x＜0 5．（2分）某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（　　） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 6．（2分）一个七边形的内角和等于（　　） A．540° B．900° C．980° D．1080° 7．（2分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差s2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 s2 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（2分）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　　） A． B．2 C．3 D． 9．（2分）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．80（1﹣x2）＝60 B．80（1﹣x）2＝60 C．80（1﹣x）＝60 D．80（1﹣2x）＝60 10．（2分）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（　　） A．2xn B．（n﹣1）xn C．nxn+1 D．（n+1）xn 11．（2分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 12．（2分）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 13．（2分）如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若＝，∠AOC＝36°，则∠D＝（　　） A．9° B．18° C．36° D．45° 14．（2分）分解因式：a3﹣9a＝（　　） A．a（a﹣3）（a+3） B．a（a2+9） C．（a﹣3）（a+3） D．a2（a﹣9） 15．（2分）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（　　） A．700π平方厘米 B．900π平方厘米 C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．（2分）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　 　． 17．（2分）已知点P（2，n）在反比例函数y＝的图象上，则n＝　 　． 18．（2分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝　 　． 19．（2分）某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图： 注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目． 若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 　 　人． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）计算：70+（）﹣1+|﹣|﹣（）2﹣sin30°． 21．（6分）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED． 22．（7分）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度． 23．（6分）为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a，选择植物园b为b，选择科技馆c为c，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P． 24．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长． 25．（8分）A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． （1）求a、b的值； （2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 26．（8分）已知抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝．设m是抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标，记M＝． （1）求b的值； （2）比较M与的大小． 27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D、F是⊙O上异于A、B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM•BM＝AB•MN．点H在直径AB上，∠AHD＝90°，点E是线段DH的中点． （1）求∠AFB的度数； （2）求证：直线CM与⊙O相切； （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB＜CB，CE+EB＝CB，CE+EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由． 2024年云南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1．（2分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作+100米，则向南运动100米可记作（　　） A．100米 B．﹣100米 C．200米 D．﹣200米 【分析】正和负具有相对性，向北运动用“+”表示，那么向南运动就用“﹣”表示，据此求解即可． 【解答】解：∵向北运动100米记作+100米， ∴向南运动100米可记作﹣100米， 故选：B． 【点评】本题主要考查了正负数的实际应用，掌握正和负具有相对性，向北运动用“+”表示，那么向南运动就用“﹣”表示是关键． 2．（2分）某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（　　） A．5.78×104 B．57.8×103 C．578×102 D．5780×10 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：57800用科学记数法可以表示为5.78×104， 故选：A． 【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2分）下列计算正确的是（　　） A．x3+5x3＝6x4 B．x6÷x3＝x5 C．（a2）3＝a7 D．（ab）3＝a3b3 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、x3+5x3＝6x3，故A选项错误； B、x6÷x3＝x3，故B选项错误； C、（a2）3＝a6，故C选项错误； D、（ab）3＝a3b3，故D选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 4．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值值围为（　　） A．x≥0 B．x≤0 C．x＞0 D．x＜0 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可求得答案． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x≥0， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 5．（2分）某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（　　） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【分析】根据题中所给几何体的三视图进行求解即可． 【解答】解：∵主视图、俯视图、左视图都是矩形， ∴这个几何体是长方体． 故选：D． 【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 6．（2分）一个七边形的内角和等于（　　） A．540° B．900° C．980° D．1080° 【分析】根据n边形内角和公式为（n﹣2）×180°，可以计算出七边形内角和的度数． 【解答】解：一个七边形的内角和为：（7﹣2）×180° ＝5×180° ＝900°， 故选：B． 【点评】本题考查多边形内角和，解答本题的关键是明确n边形内角和公式为（n﹣2）×180°． 7．（2分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差s2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 s2 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】首先比较平均数，选平均数较大的并且方差小的参赛发挥更稳定． 【解答】解：由表知甲、乙的平均数较大， ∴从甲、乙中选择一人参加比赛， ∵甲的方差较小， ∴选择甲参加比赛， 故选：A． 【点评】此题考查了平均数和方差，解答本题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 8．（2分）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　　） A． B．2 C．3 D． 【分析】根据等腰三角形的性质：三线合一，可知AF也是顶角∠BAC的平分线，然后根据角平分线的性质，即可得到点F到直线AC的距离． 【解答】解：∵AF是等腰△ABC底边BC上的高， ∴AF是顶角∠BAC的平分线， ∵点F到直线AB的距离为3， ∴点F到直线AC的距离为3， 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和角平分线的性质解答． 9．（2分）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．80（1﹣x2）＝60 B．80（1﹣x）2＝60 C．80（1﹣x）＝60 D．80（1﹣2x）＝60 【分析】利用现在生产1千克甲种药品的成本＝两年前生产1千克甲种药品的成本×（1﹣甲种药品成本的年平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：80（1﹣x）2＝60． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2分）按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯，第n个代数式是（　　） A．2xn B．（n﹣1）xn C．nxn+1 D．（n+1）xn 【分析】根据题目给出的式子的特点，可以发现第n的代数式的系数应该是n+1，而x的次数为n，然后即可写出第n个代数式． 【解答】解：∵按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，⋯， ∴第n个代数式为（n+1）xn， 故选：D． 【点评】本题考查数字的变换类、单项式，解答本题的关键是发现式子的变化特点，写出第n个代数式． 11．（2分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：A、B、C中，图形不是轴对称图形，不符合题意； D中，图形是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键． 12．（2分）如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴tanA＝＝， 故选：C． 【点评】本题考查正切的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 13．（2分）如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若＝，∠AOC＝36°，则∠D＝（　　） A．9° B．18° C．36° D．45° 【分析】先连接AD，根据在同圆和等圆中，等弧所对的圆周角相等证明∠ADC＝∠BDC，最后根据圆周角定理进行解答即可． 【解答】解：连接AD， ∵， ∴∠ADC＝∠BDC＝， 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题关键是识别图形，利用圆周角定理找出角与角之间的关系． 14．（2分）分解因式：a3﹣9a＝（　　） A．a（a﹣3）（a+3） B．a（a2+9） C．（a﹣3）（a+3） D．a2（a﹣9） 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣9） ＝a（a﹣3）（a+3）， 故选：A． 【点评】本题考查提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 15．（2分）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（　　） A．700π平方厘米 B．900π平方厘米 C．1200π平方厘米 D．1600π平方厘米 【分析】根据“圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2”得出结论即可． 【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×30×40＝1200π（平方厘米）． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．（2分）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　c＞1　． 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0， ∴c＞1， 故答案为：c＞1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 17．（2分）已知点P（2，n）在反比例函数y＝的图象上，则n＝　5　． 【分析】把点P代入反比例函数解析式，即可求出n． 【解答】解：将点P（2，n）代入y＝， ∴， ∴n＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了反比例函数图象上的点，只需要将点的坐标代入到函数解析中即可． 18．（2分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝　　． 【分析】根据AC∥BD．可以得到△AOC∽△BOD，然后相似三角形的相似比等于周长之比，即可得到的值． 【解答】解：∵AC∥BD． ∴△AOC∽△BOD， ∴＝， ∵＝， ∴＝， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确相似三角形的相似比等于周长之比． 19．（2分）某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生100人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图： 注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目． 若该校共有学生1000人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 　120　人． 【分析】用总人数乘以喜欢跳绳的学生所占的百分比即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： 1000×12%＝120（人）， 答：该校喜欢跳绳的学生大约有120人． 故答案为：120． 【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，从统计图中得到必要的信息是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）计算：70+（）﹣1+|﹣|﹣（）2﹣sin30°． 【分析】先化简零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式、三角函数，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：70+（）﹣1+|﹣|﹣（）2﹣sin30° ＝1+6+﹣5﹣ ＝2． 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 21．（6分）如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED． 【分析】先根据题意得出∠BAC＝∠EAD，再由SAS定理即可得出结论． 【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠EAD， 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 22．（7分）某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度． 【分析】设D型车的平均速度是x千米/小时，则C型车的平均速度是3x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设D型车的平均速度是x千米/小时，则C型车的平均速度是3x千米/小时， 根据题意得：﹣＝2， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意． 答：D型车的平均速度是100千米/小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23．（6分）为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆a、植物园b两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆a、植物园b、科技馆c三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆a为a，选择植物园b为b，选择科技馆c为c，记七年级年级组的选择为x，八年级年级组的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P． 【分析】（1）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据概率公式进行求解即可． 【解答】解：（1）根据题意列表如下： a b c a （a，a） （a，b） （a，c） b （b，a） （b，b） （b，c） 共有6种等可能的情况数； （2）∵共有6种等可能的情况数，其中七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的有4种， ∴该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率P＝＝． 【点评】此题考查了列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥BC，四边形EFGH是矩形． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长． 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明AC⊥BD，从而得出四边形ABCD是菱形； （2）根据矩形EFGH的周长和四边形ABCD的面积求出AC2+BD2＝444，从而得出AO2+BO2＝111，由此得出AB的长． 【解答】（1）证明：连接AC，BD交于点O，交FG于点N，交HG于点M， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形EFGH是矩形， ∴∠HGF＝90°， ∵H、G分别是AD、DC的中点， ∴HG∥AC，HG＝AC， ∴∠HGF＝∠GNC， ∴∠GNC＝90°， ∵G，F分别是DC、BC的中点， ∴GF∥BD，GF＝BD， ∴∠GNC＝∠MOC＝90°， ∴BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵矩形EFGH的周长为22， ∴HG+FG＝11， ∴AC+BD＝22， ∵， ∴AC×BD＝20， ∵（AC+BD）2＝AC2+2×AC×BD+BD2， ∴AC2+BD2＝444， ∴， ∴AO2+BO2＝111， ∴AB2＝AO2+BO2＝111， ∴AB＝． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质等，掌握性质和判定方法是解题的关键． 25．（8分）A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见如表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． （1）求a、b的值； （2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 【分析】（1）根据题意列关于a、b的二元一次方程组并求解即可； （2）购买B种型号吉祥物的数量为（90﹣x）个，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集；根据“总利润＝每个A种型号吉祥物的利润×购买A种型号吉祥物的数量+每个B种型号吉祥物的利润×购买B种型号吉祥物的数量”写出y关于x的函数关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，求出y的最大值即可． 【解答】解：（1）根据题意，得， 解得， ∴a的值是40，b的值是50． （2）购买B种型号吉祥物的数量为（90﹣x）个． 根据题意，得， 解得≤x≤60； y＝（40﹣35）x+（50﹣42）（90﹣x）＝﹣3x+720， ∵﹣3＜0， ∴y随x的减小而增大， ∵≤x≤60且x为整数， ∴当x＝52时，y的值最大，y最大＝﹣3×52+720＝564， ∴y的最大值是564元． 【点评】本题考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 26．（8分）已知抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝．设m是抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标，记M＝． （1）求b的值； （2）比较M与的大小． 【分析】（1）根据抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝，可知﹣＝．然后即可求得b的值； （2）方法一：将（1）中b的值代入抛物线，求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后分类讨论M与的大小即可．方法二：根据m是抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标，可以得到0＝m2﹣3m﹣1，然后即可得到m2＝3m+1，然后先化简m5，再计算M，最后计算M与的大小． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝． ∴﹣＝． 解得b＝﹣3； （2）由（1）知：b＝﹣3， ∴抛物线y＝x2﹣3x﹣1， 当y＝0时，0＝x2﹣3x﹣1， 解得x＝， ∵m是抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标， ∴m＝， 方法一：直接计算化简， 当m＝时，M＝＝＝， ∴﹣＝＞0， 即M＞； 当m＝时，M＝＝＜0， ∴M＜； 由上可得，当m＝时，M＞；当m＝时，M＜． 方法二：∵m是抛物线y＝x2﹣3x﹣1与x轴交点的横坐标， ∴0＝m2﹣3m﹣1， ∴m2＝3m+1， ∴m5＝（m2）2•m ＝（3m+1）2•m ＝（9m2+6m+1）•m ＝[9（3m+1）+6m+1]•m ＝（27m+9+6m+1）•m ＝（33m+10）•m ＝33m2+10m ＝33（3m+1）+10m ＝99m+33+10m ＝109m+33， ∴M＝＝＝m， 由0＝m2﹣3m﹣1，可得m＝， 当m＝时，M﹣＝m﹣＝﹣＝＞0， 此时M＞； 当m＝时，M﹣＝m﹣＝﹣＝＜0， 此时M＜． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、实数的大小，解答本题的关键是明确题意，求出b和m的值． 27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D、F是⊙O上异于A、B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上，∠AMN＝∠ABM，AM•BM＝AB•MN．点H在直径AB上，∠AHD＝90°，点E是线段DH的中点． （1）求∠AFB的度数； （2）求证：直线CM与⊙O相切； （3）看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE+EB＜CB，CE+EB＝CB，CE+EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由． 【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角的性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质得到∠NAM＝∠MAB＝90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的判定定理得到CK为⊙O的切线，利用切线长定理得到DK＝BK，利用平行线的判定定理得到AC∥DH∥BK，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到GH＝GD，则点G是线段DH的中点，所以点G与点E重合，则结论可得． 【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°； （2）证明：∵AM•BM＝AB•MN， ∴， ∵∠AMN＝∠ABM， ∴△AMN∽△ABM， ∴∠NAM＝∠MAB． ∵∠NAM+∠MAB＝180°， ∴∠NAM＝∠MAB＝90°， ∴OA⊥CM． ∵OA为⊙O的半径， ∴直线CM与⊙O相切； （3）解：正确的结论为：CE+EB＝CB，理由： 连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，如图， 在△OAC和△ODC中， ， ∴△OAC≌△ODC（SSS）， ∴∠OAC＝∠ODC． 由（2）知：OA⊥CM， ∴∠OAC＝∠ODC＝90°， ∴OD⊥CD． ∵OD为⊙O的半径， ∴CK为⊙O的切线． ∵BK为⊙O的切线， ∴DK＝BK，BK⊥AB． ∵DH⊥AB，CA⊥AB， ∴AC∥DH∥BK， ∴△BHG∽△BAC，△CDG∽△CKB，． ∴，， ∴，， ∴． ∵CA＝CD， ∴GH＝GD， ∴点G是线段DH的中点， ∵点E是线段DH的中点， ∴点G与点E重合． ∴线段BC经过点E， ∴CE+EB＝CB． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/20 11:12:00；用户：Troy；邮箱：305657440@qq.com；学号：290269 学科网（北京）股份有限公司 $$