精品解析：陕西西安市翱翔中学2024-2025学年下学期七年级第二次阶段学情自测数学

翱翔中学七年级第二次月考数学真卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的大致图标，其图案仅是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A选项图案既不是轴对称图形又不是中心对称图形； B与D选项图案是中心对称图形； C选项图案是轴对称图形． 2. 人工智能风气涌动，在人工智能的神经网络训练中，经常会遇到非常小的数值，例如当计算神经元的激活概率时，假设一个神经网络模型输出了一个神经元的激活概率为0.000000789．作为一名优秀的中学生．用科学记数法表示这个激活概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数 【详解】解： 故选：D． 3. 在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过 的顶点作直线，将 分成 和，则，由平行线的性质得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过 的顶点作直线，将 分成 和， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 4. 由下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据三角形的内角和为 ，通过计算得出三角形中是否有角作出判断即可． 【详解】解：由三角形内角和定理得：， A．∵ ，， ∴ ， 故A不符合题意； B．设， 则， 解得， ∴ ， ∴不是直角三角形， 故B符合题意； C．∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ， 故C不符合题意； D．设， 则， 解得， ∴， 故D不符合题意． 故选：B． 5. 如图，和相交于点，若 ，用“”证明还需（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在 和 中， ，， 若要用证明，则需要添加条件 ， 故选： ． 6. 已知，，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式，可得和的平方、差的平方，根据和的平方加差的平方，可得，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 7. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接， ，若，则的度数为（　　） A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 如图：连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质可得得到，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵边，的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，在中，，，点D，E分别是，上的动点，将 沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，则的度数为（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含直角三角形，折叠问题，解题的关键是掌握等腰三角形性质，分类讨论． 由，，得 ，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得． 【详解】解： ，， ， 分三种情况讨论： ①当时，如图： ， ； ②当时，如图： ， ； ③当时，如图：点是的中点，点与点重合， ， ； 综上所述，为 或 或 ， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算法则，解题的关键是掌握积的乘方，把每个因式分别乘方． 10. 如图，在中， ，，与关于直线 对称，，则的度数为______． 【答案】 ##50度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，轴对称图形的性质，先由三角形内角和定理得到，再由轴对称图形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵与关于直线 对称， ∴， ∴， 故答案为： ． 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，解二元一次方程组．掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则计算，即得出，解出m和n的值，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 12. 如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴， ，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 13. 如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边 ，连接，则的最小值为______．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】7 【解析】 【分析】以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P，先证明，得到 ，当点三点共线时，有最小值，此时，即 ，则，由角所对的直角边等于斜边的一半，得到，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P， ∵和 是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， 如图，当点三点共线时，有最小值， 此时，， ， ，即 ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查直角三角形的特征及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求最小值问题转化为求最小值． 三、解答题（本大题共9小题，共61分．解答应写出过程） 14. 计算 （1）； （2）（用简便方法计算）； （3）； （4）． 【答案】（1）2 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）对于，可利用积的乘方逆运算进行简便计算；根据负整数指数幂的定义（ ，为正整数）计算；依据零指数幂的定义（ ）计算，最后按照先乘除后加减顺序运算． （2）要简便计算 ，可将转化为，再利用完全平方公式计算． （3）把看作一个整体，符合平方差公式的形式，其中， ，然后再对用完全平方公式展开． （4）先分别根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则展开与 ，再去括号、合并同类项化简式子． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 【点睛】本题综合考查了幂的运算法则（积的乘方、负整数指数幂、零指数幂 ）、乘法公式（平方差公式、完全平方公式 ）以及整式的乘法运算（多项式乘多项式、单项式乘多项式 ）． 解题关键：熟练掌握相关运算法则和公式，根据式子特点灵活运用，如看到形式想到积的乘方逆运算；遇到接近整十、整百的数的平方考虑完全平方公式变形；符合形式的式子运用平方差公式. 15. 如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写做法．） 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，作线段的垂直平分线，交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可得，故点即为所求，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 16. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式，单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 17. 如图，在中，为边的中点，过点作 交的延长线于点．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、中点的定义、全等三角形的判定（AAS）和性质．解题的关键在于利用平行线性质找出角的关系，结合中点得到的边的关系，通过证明三角形全等得出对应边相等的结论． 由，根据两直线平行，内错角相等的性质，得， ．已知 为边 的中点，根据中点的定义，可知 ．证明 得 ． 【详解】解：∵ （已知）， ∴， ． ∵ 为 中点（已知）， ∴ ． 在 和 中： ∴ ． ∴ ． 18. 甲、乙两人在玩摸球游戏，游戏规则如下，在一个不透明的袋子中放入分别标有数字0、1、2、3的四个除标号外完全相同的小球，先将袋中的小球摇匀，甲先随机摸出一球记下数字并放回，乙再随机摸出一球记下数字，若摸到的两个标号数字差的绝对值不大于1，则甲胜，否则乙胜． （1）从袋子中的四个球中随机摸出一球，“摸中标号为3的球”的概率是 　． （2）用列表法或画树状图法说明游戏是否公平． 【答案】（1） （2）不公平 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，找到摸到的两个标号数字差的绝对值不大于1的结果数，求出甲获胜的概率，继而得出乙获胜的概率，从而做出判断． 【小问1详解】 解：从袋子中的四个球中随机摸出一球，“摸中标号为3的球”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 0 1 2 2 2 1 0 1 3 3 2 1 0 由表知，共有16种等可能结果，其中摸到的两个标号数字差的绝对值不大于1的有10种结果， ∴甲获胜的概率为， 则乙获胜的概率为1﹣＝， 由≠， 所以此游戏不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，在中，平分 ，交于点，为上一点，且 ． （1）求证：； （2）若，， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）依据角平分线的定义以及等边对等角，即可得到，即可判定； （2）过作 于，依据角平分线的性质，即可得到 ，再根据，即可得出的到长，进而得到的长． 【小问1详解】 证明： 平分 ， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过作 于， ，平分 ， ， ， ， ， ， ． 20. 小明利用一根长 的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】路灯的高度是 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定的条件是解题的关键． 根据三角形的内角和定理易得，进行得到和 全等，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：， ， ， 在和 中 ， ， ， ， ， 答：路灯的高度是． 21. 已知，， 为的三边长，且，， 都是整数． （1）化简：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，然后去绝对值，即可； （2）对进行化简，求出，的值，然后根据三角形三边的关系，确定 的值，即可． 【小问1详解】 ∵，， 为的三边长， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 【小问2详解】 ∵， ∴， ， ， ∴ ， ； ∵， ∴， ∵，， 都是整数， ∴， ∴的周长为：． 【点睛】本题考查三角形，绝对值的知识，解题的关键是掌握三角形三边的性质，绝对值的非负性． 22. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得 的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接 ，则 与直线的交点即为，且 的最小值为线段 的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）应用： ①如图2，已知 ，其内部有一点，，在 的两边分别有、两点（不同于点），使 的周长最小，则 周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接 ，则周长的最小值是多少？此时 为多少度？ 【答案】（1）见解析 （2）①12②， 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到 ，等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（ ），作点A关于的对称的，连接 交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 ①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则 的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴ 为等边三角形， ∴， ∴ 的周长； 故答案为：12； ② 、都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ∵是上的中线，即 ， ， 点在射线上运动（ ）， 作点A关于的对称的，连接 交于，如图， 此时的值最小，此时点E和点重合，， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 翱翔中学七年级第二次月考数学真卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的大致图标，其图案仅是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能风气涌动，在人工智能的神经网络训练中，经常会遇到非常小的数值，例如当计算神经元的激活概率时，假设一个神经网络模型输出了一个神经元的激活概率为0.000000789．作为一名优秀的中学生．用科学记数法表示这个激活概率为（　　） A. B. C. D. 3. 在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 由下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 5. 如图，和相交于点，若 ，用“ ”证明还需（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 7. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接， ，若，则的度数为（　　） A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 8. 如图，在中，，，点D，E分别是，上的动点，将 沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上，若是等腰三角形，则的度数为（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或 或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 计算：___________． 10. 如图，在中， ，，与关于直线对称，，则的度数为______． 11. 若，则______． 12. 如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为______． 13. 如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边 ，连接，则的最小值为______．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 三、解答题（本大题共9小题，共61分．解答应写出过程） 14. 计算 （1）； （2）（用简便方法计算）； （3）； （4）． 15. 如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写做法．） 16. 先化简，再求值：，其中， 17. 如图，在中，为边的中点，过点作 交的延长线于点．求证： ． 18. 甲、乙两人在玩摸球游戏，游戏规则如下，在一个不透明的袋子中放入分别标有数字0、1、2、3的四个除标号外完全相同的小球，先将袋中的小球摇匀，甲先随机摸出一球记下数字并放回，乙再随机摸出一球记下数字，若摸到的两个标号数字差的绝对值不大于1，则甲胜，否则乙胜． （1）从袋子中的四个球中随机摸出一球，“摸中标号为3的球”的概率是 　． （2）用列表法或画树状图法说明游戏是否公平． 19. 如图，在中，平分 ，交于点，为上一点，且 ． （1）求证：； （2）若，， ，求的长． 20. 小明利用一根长 的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子（）在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 21. 已知，，为的三边长，且，，都是整数． （1）化简：； （2）若，求的周长． 22. “将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得 的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接 ，则 与直线的交点即为，且 的最小值为线段 的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； （2）应用： ①如图2，已知 ，其内部有一点，，在 的两边分别有、两点（不同于点），使 的周长最小，则 周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时 为多少度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $