专题1.4 基本不等式【8类必考点分类集训】-2027届高考数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦基本不等式8大考点，以题构建从基础比较到综合应用的递进训练体系，强化逻辑推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较大小|5题|正数/条件式下值的比较|概念直接应用，夯实不等关系认知| |证明不等关系|5题|多选/证明题，含条件等式|逻辑推理，深化基本不等式性质理解| |求积的最大值|5题|正实数条件下积的最值|从和定积最大切入，强化公式正向应用| |求和的最小值|5题|条件等式下和的最值|积定和最小延伸，训练公式反向应用| |商式最值|5题|二次/一次商式，含参数|代数式变形，提升转化与化归能力| |恒成立问题|5题|不等式恒成立求参数范围|最值与集合思想结合，培养综合解题思维| |"1"的妙用|5题|条件为和为1的最值|构造"1"代换，拓展公式灵活应用| |实际应用|5题|几何/经济场景最值问题|模型意识，实现数学与现实世界连接|

专题1.4 基本不等式 【考点1：由基本不等式比较大小】 2 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 4 【考点3：基本不等式求积的最大值】 6 【考点4：基本不等式求和的最小值】 8 【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】 10 【考点6：基本不等式的恒成立问题】 12 【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 15 【考点8：基本不等式的实际应用】 18 【考点1：由基本不等式比较大小】 1．（25-26高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【详解】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A 3．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本不等式可比较，再比较即可得解. 【详解】因为，且， 所以， 又，所以， 故最大的是d. 故选：D 4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 5．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，而不一定成立，例如，故A不正确； 因为， 若，则，而不一定小于2，比如，故B不正确； 因为，若，则，故C正确； 因为，若， 不一定大于1，例如，故D不正确． 2．（2026·贵州毕节·三模）（多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可. 【详解】选项A. 由基本不等式，则，平方得，当且仅当时等号成立，A正确. 选项B.对平方得，由A知， 因此， 因为，开方得， 当且仅当时等号成立，B正确. 选项C.，由，所以，即，C错误. 选项D.，因此，所以，D错误. 3．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用作差法可判断AD；利用基本不等式可判断C；举反例可判断B. 【详解】选项A：， 因为，所以， 又因为，所以， 即.因此，A为真命题； 选项B：取，，满足， 计算得，，，显然不成立.因此，B为假命题； 选项C：由基本不等式，得：（）， 两边取倒数得，再乘以得， 由于，等号不成立，故.因此，C为真命题； 选项D：由，得且， ，即. 因此，D为真命题. 4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知正数，，满足，则下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题关键在于：利用对数运算和不等式性质对各选项进行推导与判断即可. 【详解】设，则，，， 因为，故选项A正确． 因为，，所以，即，故选项B不正确． 因为，故选项C正确． 因为，故选项D正确． 故选：ACD. 5．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 【考点3：基本不等式求积的最大值】 1．（25-26高一上·广西钦州·阶段检测）设是满足的正数，则的最大值为______． 【答案】 【分析】凑配用基本不等式求最值即可. 【详解】由基本不等式得， 当且仅当时取等号. 故答案为：. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数，则ab的最大值为________． 【答案】0.5/. 【分析】利用基本不等式计算即可得解. 【详解】因为为正实数，， 已知，则，所以. 当且仅当时取等号，此时，，满足正实数条件. 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 【考点4：基本不等式求和的最小值】 1．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值. 5．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）已知正数，满足，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据基本不等式，结合作差法、不等式性质求解即可. 【详解】对于A，由，得， 又，，所以，所以，即，A错误. 对于B，由基本不等式得，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为，B正确. 对于C，，当且仅当时等号成立，C正确. 对于D，因为，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，D错误. 【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（25-26高一上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 2．（2026高一上·全国·专题练习）求函数的最小值． 【答案】9 【分析】将看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为. 3．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 5．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，利用等号成立的条件可得出、的值，即可得出的值. 【详解】因为、都为正实数，且，故， 由题意可得，， 由不等式的性质可得， ，故，可得， 当且仅当时，即当时， 此时且时，取最大值， 此时. 【考点6：基本不等式的恒成立问题】 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可． 【详解】因为两个正实数满足， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 不等式恒成立等价于， 即，解得. 故选：D 3．（25-26高三上·四川成都·期中）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C． 4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 5．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据所给条件转化，利用均值不等式求最小值，再解关于的不等式，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得， 所以整数可取、，共个. 故选：A 【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】由指数运算性质得，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，，得， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时取等号， 此时满足条件，因此的最小值为. 2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 【答案】/ 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 4．（25-26高一下·湖南益阳·期中）若，则的最小值是（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】通过移项整理原式构造单调递增函数，利用函数单调性得到变量满足的约束条件，再用“1的代换”结合基本不等式求出目标式的最小值. 【详解】对原等式移项整理得（1）， 令，由于在上单调递增，在上单调递减， 故在上也是单调递增，因此是上的单调增函数， （1）式即，由单调性得， 即，整理得， 所以 当且仅当时取等号，又，即时等号成立. 即的最小值为. 5．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【答案】B 【详解】因为，所以 得，即 构造函数 ， 恒成立，所以单调递增， 因为 , 因此原等式可写为 由单调递增可知 ，故 即， 即 因为，，所以 , 所以 当且仅当，即时等号成立，此时 均满足 的条件，因此最小值为. 【考点8：基本不等式的实际应用】 1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 一、单选题 1．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（    ） A．16 B．18 C．20 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用均值不等式，即可得到结果. 【详解】解：直角三角形的两直角边为、，面积为， 则， 当且仅当时，等号成立， 直角三角形面积． 故选：． 2．（25-26高一上·广东·月考）已知，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】将展开，利用基本不等式求最值即可. 【详解】，，故（当且仅当时取“=”），即的最小值为18. 故选：D 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知且，则下列不等式中一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例可得ABC错误；由不等式的性质可得D正确； 【详解】令，则，故A错误； 令，则，故B错误； 令，则，故C错误； 因为，，所以，故D正确； 故选：D. 4．（25-26高一·全国·单元测试）设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质求得的范围，利用基本不等式求得的范围，由此比较出两者的大小关系. 【详解】∵， ∴. 又∵，， ∴. 若，则，或，不符合. ∴. ∴. ∴. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式比较大小，属于基础题. 5．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．函数的最小值为3 【答案】C 【解析】根据基本不等式成立的条件可判断ABC的正误，根据双勾函数的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，若，则恒成立，错； 对于B，若，则恒成立，若，则，错； 对于D，函数，， 令，则且， 因为在上为增函数，故， 对于C，因为， 而，，故成立. 故选：C． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式判断给定的不等式是否成立时，注意依据“一正二定三相等”来检验，另外，说明一个不等式成立，需严格证明，关注代数式变形时符号的要求. 6．（25-26高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. 二、多选题 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最小值为 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】由基本不等式结合已知条件逐一判断即可 【详解】对于A：， 当且仅当，即时取等，所以的最大值为，故A错误； 对于B：， 当且仅当，即时取等，的最小值为3，故B正确； 对于C：由公式得，，所以， 当且仅当，即时取等，的最小值为，故C正确； 对于D：由得， ， 令， 则当时，，， 即当时，的最小值为，故D正确； 故选：BCD 8．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若实数a，b满足，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式求最值的条件，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】A.若，满足，此时，不满足结论，故A错误； B.，， 当，且，得时等号成立，所以的最小值为4，故B正确； C.，， 当，且，得，时，等号成立，故C正确； D.，， ， 当，即时等号成立，且，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（2025·福建·一模）若正数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】试题分析：，所以原式变形为：，所以最小值是3． 考点：基本不等式求最值 10．（25-26高三上·辽宁丹东·阶段检测）若，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由完全平方公式可知：，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号. 故答案为：4. 四、解答题 11．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将看作整体，然后由二次不等式解法可得答案； （2）由题可得，然后由基本不等式求得最小值可得答案. 【详解】（1）原不等式等价于 或， 又， 或， 则不等式解集为： ； （2）由题设可得恒成立，即， 注意到 ，当且仅当时取等号，从而. 12．（25-26高一下·上海浦东新·期末）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布(且异于点)，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，． (1)求观赏通道的长； (2)若，求折线段通道的最大值（即最大）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的性质，利用正弦定理计算求解； （2）根据三角形的性质，利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）在中，已知，，， 由正弦定理：，代入数据：， 因为，，则，解得． （2）在中，，，设，， 由余弦定理：，即， 变形可得：，由基本不等式（当且仅当时取等号），代入得：即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此折线段通道的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 基本不等式 【考点1：由基本不等式比较大小】 2 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 2 【考点3：基本不等式求积的最大值】 3 【考点4：基本不等式求和的最小值】 3 【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】 4 【考点6：基本不等式的恒成立问题】 4 【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 5 【考点8：基本不等式的实际应用】 6 【考点1：由基本不等式比较大小】 1．（25-26高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）已知四个数，，，，其中最大的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州毕节·三模）（多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）已知正数，，满足，则下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【考点3：基本不等式求积的最大值】 1．（25-26高一上·广西钦州·阶段检测）设是满足的正数，则的最大值为______． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值是__________． 3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知正实数，则ab的最大值为________． 4．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 5．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【考点4：基本不等式求和的最小值】 1．（2026·安徽·模拟预测）已知，，且，则的最小值为________． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）（多选）已知正数，满足，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【考点5：二次与二次（或一次）的商式的最值】 1．（25-26高一上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________． 2．（2026高一上·全国·专题练习）求函数的最小值． 3．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 4．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（江苏南通市2026届高三下学期二模数学试题）对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【考点6：基本不等式的恒成立问题】 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26高三上·四川成都·期中）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知实数且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，且，则的最小值为______． 2．（25-26高一下·安徽滁州·阶段检测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 4．（25-26高一下·湖南益阳·期中）若，则的最小值是（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 5．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【考点8：基本不等式的实际应用】 1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    3．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 5．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 一、单选题 1．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（    ） A．16 B．18 C．20 D．不能确定 2．（25-26高一上·广东·月考）已知，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．18 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知且，则下列不等式中一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·单元测试）设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 5．（25-26高一上·云南昭通·期末）下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．函数的最小值为3 6．（25-26高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最小值为 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 8．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若实数a，b满足，则的最小值为2 三、填空题 9．（2025·福建·一模）若正数满足，则的最小值为_______． 10．（25-26高三上·辽宁丹东·阶段检测）若，则的最小值为__________. 四、解答题 11．（2026·上海宝山·三模）已知是实数，不等式． (1)若，求上述关于的不等式的解集． (2)若上述不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 12．（25-26高一下·上海浦东新·期末）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布(且异于点)，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，． (1)求观赏通道的长； (2)若，求折线段通道的最大值（即最大）． 学科网（北京）股份有限公司 $