2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（九）（范围：人教B版选择性必修第三册第五章）

**基本信息** 聚焦数列综合应用，以题串联等差、等比数列概念及求和，渗透数学眼光与思维 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列综合|10题|单选考基本量与前n项和性质，多选涉实际模型（三角垛）与递推判断，填空查等比性质及由Sn求an，解答题综合通项与求和|从定义出发，经基本量计算、性质推导，到实际问题建模，形成“概念-运算-应用”逻辑链，培养推理能力与应用意识

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（九） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列满足，则等于(     ) A. B. C. D. 2.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则(     ) A. B. C. D. 3.记为递减等差数列的前项和，若，，则  ． A. B. C. D. 4.如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图中阴影三角形的个数为，记为，图中阴影三角形的个数为，记为，以此类推，，，，数列构成等比数列．设的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则(     ) A. B. C. D. 6.已知满足，，则下列说法正确的是(     ) A. B. 是等差数列 C. D. 设的前项和为，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知是等比数列，若，则           ． 8.已知数列的前项和公式为，则的通项公式为           四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知等差数列的前项和为，且，． 求 若，记，求的值． 10.本小题分 已知等差数列的前项和为，，． 求的通项公式 设，求数列的前项和． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（九） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列满足，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，， 所以，，，，，， 所以数列是周期数列，周期为， 所以． 故选：． 2.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为等差数列，的前项和分别为，， 所以， 因为，所以，即，故D正确． 故选：． 3.记为递减等差数列的前项和，若，，则  ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设等差数列的公差为，， 由题意得，， 根据题意 ，结合， 解得 则，解得 得． 故选：． 4.如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图中阴影三角形的个数为，记为，图中阴影三角形的个数为，记为，以此类推，，，，数列构成等比数列．设的前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：易知，所以， 由，得，所以． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查根据数列的递推公式求数列的项，等差数列的前项和公式，属于基础题． 根据题意，由、、、的值，判断选项，归纳数列的递推公式，可判断、选项，进而求出数列的通项公式，从而判断选项，即可求解． 【解答】 解：根据题意，设第层有个球， 则，，，，， 则有，故A正确； 归纳可得：，故B错误，C正确； 由此可得， 将代入可得：，故D正确． 故选：． 6.已知满足，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 是等差数列 C. D. 设的前项和为，则 【答案】ABD  【解析】解：因为，所以， 又， 所以是首项为，公差为的等差数列，选项正确； 则， 所以，选项错误； 则，选项正确； ， 则 ，选项正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知是等比数列，若，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式，属于基础题． 根据等比数列的通项公式求解即可． 【解答】 解：由等比数列的通项公式可知，，即， 所以， 故答案为： 8.已知数列的前项和公式为，则的通项公式为           【答案】    【解析】【分析】 本题主要考查数列的前项和及与的关系，属于基础题． 利用即可求出． 【解答】 解：当时，； 当时，． 上式对于时也成立． 综上可知： 故答案为 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知等差数列的前项和为，且，． 求 若，记，求的值． 【答案】解：设等差数列公差为， 则， 解得：，， 所以数列的通项公式是：； 由题意知：， ． 数列是首项为，公比为的等比数列． ． 【解析】本题考查数列的通项公式以及数列求和以及应用，属于基础题． 利用等差数列的通项公式以及求和公式，求出数列的首项以及公差，即可得到通项公式； 说明数列是等比数列，然后利用等比数列的求和公式列出等式求解即可． 10.本小题分 已知等差数列的前项和为，，． 求的通项公式 设，求数列的前项和． 【答案】解：设的公差为，因为，所以， 又，则，解得， 所以． 由可得 ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $