25.2.3 第2课时 一元二次方程解法的灵活选用 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

课题

25.2.3　第2课时  一元二次方程解法的灵活选用

授课人

教学目标

1.掌握用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.能根据方程的特征，会灵活选择适当的方法解一元二次方程.

2.通过对一元二次方程解法的复习,使学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识.

3.培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力.

教学重点

熟练运用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.

教学难点

灵活选择适当的方法解一元二次方程.

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

情境导入

学生解下列方程．

    （1）2x2+x=0（用配方法）  （2）3x2+6x=0（用公式法）

分析：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去

（）2．

（2）直接用公式求解．

    我们学过了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法4种常用的解方程方法，那么具体选用哪一种方法解方程呢？这节课我们一起学习灵活选用方法解一元二次方程.

学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究.

探究新知

灵活选用方法解一元二次方程

思考: (1)直接开平方法的方程特征是什么？

一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，能变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解.其中，

①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－，x2＝；

②当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；

通过问题引发学生思考，引导学生探究.

③当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根．

（2）配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？

①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．

②化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数．

③要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的)

④方程变形为(x+m)2=n的形式．

⑤如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．

常数项成为一次项系数一半的平方，化为完全平方形式.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？

①确定a，b，c.

②把a，b，c所代表的数值代入△=b²-4ac，根据△的值确定根的情况.

③把a，b，c所代表的数值代入求根公式x=，求出方程的值.

（4）分解因式法的条件是什么?

①将方程的右边化为0，左边进行因式分解；

②令每个因式为0，得到两个一元一次方程；

③解一元一次方程，得到方程的解．

师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.

思考：归纳总结直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.

通过探究，总结一元二次方程的解法的特点及注意事项.

师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结.

典例精析

例  用适当的方法解方程：

（1）3x(x＋5)＝5(x＋5)；                    

（2）(5x＋1)2＝1；

（3）x2－12x＝4；                                   （4）3x2＝4x＋1．

解：（1）变形得(3x－5)(x＋5)＝0．

即3x－5＝0，或x＋5＝0．

解得x1＝，x2＝-5.

（2）开平方，得

5x＋1＝±1．

解得x1＝0，x2＝-.

（3）配方，得x2－12x＋62＝4＋62，

即(x－6)2＝40．

开平方，得x-6=±2.

通过例题，加强学生灵活选用一元二次方程的解法能力，发展计算能力.