25.2.3 第2课时 一元二次方程解法的灵活选用 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程解法的灵活选用，涵盖直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。通过让学生用指定方法解具体方程，引出如何根据方程特征选择解法的问题，衔接已学四种解法，搭建学习支架。 资料特色在于以问题探究梳理方法适用类型与注意事项，培养推理意识，典例精析与随堂检测引导学生观察方程结构选择最优解法，提升抽象能力与运算能力，针对训练结合三角形边长问题体现模型意识，助力学生掌握解题策略，为教师提供清晰教学路径。

25.2.3　因式分解法 第2课时　一元二次方程解法的灵活选用 教学设计 课题 25.2.3　第2课时 一元二次方程解法的灵活选用 授课人 教学目标 1.掌握用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.能根据方程的特征，会灵活选择适当的方法解一元二次方程. 2.通过对一元二次方程解法的复习,使学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识. 3.培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力. 教学重点 熟练运用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 教学难点 灵活选择适当的方法解一元二次方程. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 学生解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法） 分析：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去 （）2． （2）直接用公式求解． 我们学过了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法4种常用的解方程方法，那么具体选用哪一种方法解方程呢？这节课我们一起学习灵活选用方法解一元二次方程. 学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究. 探究新知 灵活选用方法解一元二次方程 思考: (1)直接开平方法的方程特征是什么？ 一般地，对于一元二次方程ax2＋c＝0，能变形为x2＝p的形式，再利用直接开平方法求解.其中， ①当p＞0时，方程有两个不等的实数根x1＝－，x2＝； ②当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； ③当p＜0时，因为对任意实数x，都有x²≥0，所以方程无实数根． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？ ①移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项． ②化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数． ③要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的) ④方程变形为(x+m)2=n的形式． ⑤如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解． 常数项成为一次项系数一半的平方，化为完全平方形式. （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ ①确定a，b，c. ②把a，b，c所代表的数值代入△=b²-4ac，根据△的值确定根的情况. ③把a，b，c所代表的数值代入求根公式x=，求出方程的值. （4）分解因式法的条件是什么? ①将方程的右边化为0，左边进行因式分解； ②令每个因式为0，得到两个一元一次方程； ③解一元一次方程，得到方程的解． 师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结. 思考：归纳总结直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法. 方法 适合方程类型 注意事项 直接开平方法 (x＋a)2＝b b＞0时，x1＝－a＋，x2＝－a－；b＝0时，x1＝x2＝－a；b＜0时，无解. 配方法 x2＋px＋q＝0 二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方求解. 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) b2－4ac≥0时，方程有解；求根公式为x＝. 因式分解法 方程的一边为0，另一边分解成两个一次式的积. 方程的一边必须是0，另一边可用因式分解法求解. 师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结. 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 通过探究，总结一元二次方程的解法的特点及注意事项. 典例精析 例 用适当的方法解方程： （1）3x(x＋5)＝5(x＋5)； （2）(5x＋1)2＝1； （3）x2－12x＝4； （4）3x2＝4x＋1． 解：（1）变形得(3x－5)(x＋5)＝0． 即3x－5＝0，或x＋5＝0． 解得x1＝，x2＝-5. （2）开平方，得 5x＋1＝±1． 解得x1＝0，x2＝-. （3）配方，得x2－12x＋62＝4＋62， 即(x－6)2＝40． 开平方，得x-6=±2. 解得x1＝6+2，x2＝6-2. （4）整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0． ∵Δ＝b2－4ac＝28＞0， ∴x==. ∴x1＝，x2＝. 【方法总结】 一元二次方程的解法选择基本思路 （1）一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法； （2）若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法； （3）化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法． 【针对训练】若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 【解】∵a2－ac－ab＋bc＝0， ∴(a－b)(a－c)＝0， ∴a－b＝0或a－c＝0， ∴a＝c或a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强学生灵活选用一元二次方程的解法能力，发展计算能力. 随堂检测 1．将下列序号填到对应的横线上． ①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2； ⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；⑨(x－2)2＝2(x－2)． 适合运用直接开平方法：___________________； 适合运用因式分解法：___________________ ； 适合运用公式法：___________________ ； 适合运用配方法：___________________ ． 答案：②⑥ ③⑤⑨ ①⑦⑧ ④ 2．按题目要求的方法解下列方程： （1）(x−1)2−4＝0；（直接开平方法） （2）3x(2x＋3)−2(2x＋3)＝0；（因式分解法） （3）x2＋4x−3＝0．（配方法） 解：（1）(x−1)2＝4， ∴x−1＝±2， ∴x1＝3，x2＝−1． （2）(3x−2)(2x＋3)＝0， ∴x1＝，x2＝−． （3）x2＋4x＝3， ∴(x＋2)2＝7，x＋2＝±， ∴x1＝-2，x2＝−-2． 3．用适当方法解下列方程： （1）(2x＋3)2－25＝0； （2）x2＋5x＋7＝3x＋11； 解：（1）化简，得 4x2＋12x＋9－25＝0， 整理，得x2＋3x－4＝0， 分解因式，得(x－1)(x＋4)＝0， 解得x1＝1，x2＝－4． （2）化简，得x2＋2x＝4， 配方法，得x2＋2x＋1＝5， 即(x＋1)2＝5， 可得x＋1=±， 解得x1＝-1+，x2＝－1-． 4．用公式法和因式分解法解方程x(5x＋4)－(4＋5x)＝0． 解：公式法：原方程化为一般形式，得5x2－x－4＝0． ∵a＝5，b＝－1，c＝－4， b2－4ac＝(－1)2－4×5×(－4)＝81＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴x＝=， ∴x1＝-，x2＝1． 因式分解法：方程左边提公因式，得 (5x＋4)(x－1)＝0， 则x1＝-，x2＝1． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么策略？从知识内容上学到了什么内容？分清楚各种方法的适用场景与优劣？ 1.方法层面：学习了一元二次方程解法的灵活选用，体会 “择优而治”的核心策略。不机械套用某一种方法，而是根据方程特征，高效选择最简便的解法，感受数学解题中的优化思维与分类讨论思想。 2.知识内容层面：系统梳理四种解法的逻辑关联与操作要点： 直接开平方法：适用于形如 x2=p 或 (x+m)2=p 的特殊结构。 因式分解法：适用于左边能轻松分解为因式乘积、右边为 0 的方程，追求运算速度。 配方法：适用于推导公式、求代数式最值，或作为其他方法的理论基础。 公式法：适用于所有一元二次方程，是通解通法，追求普适性。 3.概念联系与区别：明确四种方法并非孤立，而是层层递进的有机整体： 优先序：能因式分解 → 能直接开方 → 公式法。 核心区别：因式分解法和直接开平方法是特殊速解，配方法和公式法是通用通解。 决策逻辑：解题前先观察系数与结构，判断是否能因式分解、能否直接开方，再决定是否使用公式法兜底。 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对一元二次方程的解法的灵活运用. 作业布置 《课时训练》p13—p14练习题 板书设计 一元二次方程解法的灵活选用 1.解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 2.根的判别式 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $