25.3 第1课时 数字问题、几何图形问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦用一元二次方程解决几何图形与数字问题，课堂导入先复习直接开平方法等解方程技巧，再通过矩形截小正方形求边长的问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究实际问题中的数量关系。 该资料突出建模思想与几何直观，如封面设计问题通过长宽比例设未知数，数字问题归纳两位数表示方法，体现数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识）。典例中道路问题用面积差与图形平移两种解法，培养多角度思考，助力学生掌握“审题-建模-检验”流程，教师可依托分层例题提升教学效率。

25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时 几何图形问题、数字问题 教学设计 课题 25.3　第1课时 几何图形问题、数字问题 授课人 教学目标 1.（2022新课标）能针对具体问题（数字问题、几何图形问题）中的数量关系列出一元二次方程并求解. 2.体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 3.（2022新课标）能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 4.能较熟练地运用一元二次方程解决实际问题.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 教学重点 通过实际图形、数字问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决问题的能力. 教学难点 在探究几何问题、数字问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 1．解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 2.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？ 学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究. 探究新知 1. 用一元二次方程解决数字问题 一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数． 分析：设这个数的个位数字为x， 则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字． 再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程． 解：设这个数的个位数为x，则十位数字为x－2． 由题意，得 10(x－2)＋x＝3(x－2)x． 解得x1＝（舍去），x2＝4． ∴x－2＝2． 答：两位数为24． 归纳：数字问题常用解题技巧 （1）三个连续偶数（奇数）：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x－2，x＋2． （2）两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b． （3）三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，则这个三位数可表示为100a＋10b＋c． 2. 用一元二次方程解决几何问题 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 问题： （1）本题中有哪些数量关系？ （2）如何理解“正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形”？ （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ （4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点. 教师提出问题（1），学生分析，请一名同学回答，教师在题目中指出数量关系； 教师提出问题（2），学生思考，请一名同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长、宽比是9∶7. 教师提出问题（3），学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中，设左、右边衬和上、下边衬的宽分别为7x cm和9x cm，教师要配合图形的平移加以电脑演示. 教师提出问题，学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题. 在活动中，教师应注意： （1）学生对几何图形的分析能力； （2）学生在未知数的选择上，能否根据情况灵活处理； （3）在讨论中能否互相合作； （4）解一元二次方程的能力； （5）学生回答问题时的语言表达是否准确. 师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结. 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 典例精析 【例1】是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 【解】若存在这样的三角形，设其三边长依次为x,x+1,x+2,其中x为正整数. 由勾股定理，得 x²+(x+1)²=(x+2)². 解方程，得 x₁=3,x₂=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5. 【方法总结】 解决此类问题核心是结合勾股定理与连续整数特征，通过方程思想建模求解，具体解题方法与技巧如下： （1）设未知数，表达三边； （2）列方程（勾股定理建模）； （3）解方程并筛选； （4）验证并得出结论. 【例2】 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 分析：假设细绳能围成面积为96 m²的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为x m,由周长为40m,可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 【解】设矩形的一边长为x m,由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长为(20—x)m;再由矩形的面积为96 m²,得 x(20—x)=96. 解方程，得 x1=12,x2=8. 因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m²的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m,12 m. 【方法总结】已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解. 【例3】如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？ 【解】方法一：设道路的宽为x m．可列方程 20×32-32x-20x+x2=540 整理，得x2－52x＋100＝0， 解得x1＝2，x2＝50． 当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去． ∴x＝2． 答：道路的宽为2 m． 方法二： 设道路的宽为x m． 可列方程(32－x)(20－x)＝540， 整理，得x2－52x＋100＝0， 解得x1＝2，x2＝50． 当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去． ∴x＝2． 答：道路的宽为2 m． 【方法总结】 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强一元二次方程解决实际问题的能力，发展模型观念和应用意识. 随堂检测 1．在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（　　） A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0 C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0 答案：B. 2．一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3 000 cm3，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为x cm，则长为2x cm． 列方程，得5(2x－10)(x－10)＝3 000， 整理，得x2－15x－250＝0． 解得x1＝25，x2＝－10（舍去）， ∴2x＝50． 答：铁板的长为50 cm，宽为25 cm． 3．一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2 296，则这个两位数是多少？ 解：设这个数十位上数字为x，则个位数字为10－x． 原数为10x＋(10－x)＝9x＋10． 对调后得到的数为10(10－x)＋x＝100－9x． 依题意(9x＋10)(100－9x)＝2 296． 解得x1＝8，x2＝2． 当x＝8时，这个两位数是82；当x＝2时，这个两位数是28． 答：这个两位数是82或28． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面:学习了用一元二次方程解决实际应用题，核心掌握建模转化与数形结合思想，把文字描述的几何关系、数字规律转化为数学等式，建立一元二次方程模型求解；体会“审题→建模→求解→检验→作答”的完整解题流程，尤其重视实际场景下的解的合理性检验，摒弃不符合题意的根。 2. 知识内容层面:针对性梳理几何图形、数字两类高频题型，明确解题公式、等量关系和步骤，突破建模难点. 通用解题步骤 审题：圈画关键词，找准等量关系； 设元：选合适未知量，用含未知量的式子表示相关量； 列方程：根据几何/数字规律建立一元二次方程； 解方程：选用合适解法（因式分解、公式法为主）； 检验：判别式验证、舍去负根、超范围根； 作答：规范书写答案，贴合实际题意. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对一元二次方程解决实际问题的应用能力. 作业布置 板书设计 几何图形问题、数字问题 1.几何图形问题 2.数字问题 解题步骤 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $