精品解析：山东省淄博市博山中学（五四制）2023-2024学年九年级上学期第一次测试数学试题

山东省淄博市博山中学（五四制）2023-2024学年九年级上学期第一次测试数学试题 一、单选题（分） 1. 下列函数中，y不是x的反比例函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的一般形式，据此逐项判断即可． 【详解】解∶A． 是正比例函数，不符合反比例函数的定义，y不是x的反比例函数； B．，符合的形式，是x的反比例函数； C．，符合反比例函数的定义，是x的反比例函数； D．，符合的形式，是x的反比例函数． 2. 一个物体所受到的压强与所受压力及受力面积之间的计算公式为．当一个物体所受压力时，该物体所受压强与受力面积之间的关系用图象表示大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数. 故选B. 【点睛】考查反比例函数的应用，解答该类题目的关键是确定两个变量之间的函数关系，利用实际意义确定所在的象限. 3. 若反比例函数的图像过点，则不在这个反比例函数图像上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，点在反比例函数的图像上，代入坐标得出k的值，再进行选择即可． 【详解】解：∵反比例函数y=的图像过点（1，）， ∴， ∵点A、B、C的横纵坐标之积都等于， ∴点A、B、C都在这个反比例函数图像上． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征以及用待定系数法求反比例函数的解析式． 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握余弦的定义是解题的关键；根据勾股定理求出邻边，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， 故选：． 5. 在反比例函数的图象上有两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据给定的，变化关系判断比例系数的符号，解不等式即可得到的取值范围： 【详解】对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而增大， ∵ 且，符合随的增大而增大的性质， ∴ 该反比例函数的比例系数满足， 解不等式得 ． 6. 如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入： 显示屏显示的结果为88.99102049，将这个数据精确到0.001后，下列说法正确的是（ ） A. 56.78°的正切函数值约为88.991 B. 正切函数值为56.78的角约是88.991° C. 56°78'的正切函数值约为88.991 D. 正切函数值为56.78的角约是88°991' 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知三角函数值求角的计算器使用方法按键即可． 【详解】解：已知锐角三角函数值求锐角的方法是：已知tan＝56.78，一般先按键“2ndF”，再按键“tan”，输入“56.78”，再按键“＝”即可得到结果． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了计算器−三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣． 7. 如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐项分析即可． 【详解】解：A.由反比例函数的图象在二、四象限可知，；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即，相矛盾，故A选项错误，不符合题意； B.由反比例函数的图象在二、四象限可知，；而一次函数的图象经过一、三象限可知，，即，又，一次函数与轴交于正半轴，与一次函数经过一、三、四象限相矛盾，故B选项错误，不符合题意； C.由反比例函数的图象在一、三象限可知，；而一次函数的图象经过一、三象限可知，，即，相矛盾，故B选项错误，不符合题意； D.由反比例函数的图象在一、三象限可知，；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即，又，一次函数与轴交于正半轴，与一次函数经过一、二、四象限相符合，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，熟知一次函数与反比例函数的图象的特点是解答此题的关键，利用数形结合的思想解答． 8. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　） A. sinB B. sinC C. tanB D. sin2B+sin2C＝1 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由勾股定理得： , ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴，，，，只有A错误． 故选择：A． 【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答． 9. 如图，在中，于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值， 【详解】∵在中，， ∴, ∵于点， ∴， ∴，， ∴∽， ∴，即，， ∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长． 10. 关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案． 【详解】①sin105°=sin（60°+45°） =sin60°cos45°+cos60°sin45° = =，故此选项正确； ②tan105°=tan（60°+45°） = = = =-2-，故此选项正确； ③sin15°=sin（60°-45°） =sin60°cos45°-cos60°sin45° = =，故此选项正确； ④cos90°=cos（45°+45°） =cos45°cos45°-sin45°sin45° = =0，故此选项正确； 故正确的有4个． 故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键． 二、填空题（分） 11. 在中，，，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，再由锐角的正弦的定义可得：，从而可得答案． 【详解】解：如图， ，，， 故答案为： 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的定义，勾股定理的应用，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键． 12. 如图，菱形的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的轴对称性，由顶点在轴上可知轴为菱形的对称轴，利用关于轴对称的点的坐标特征求出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出的值. 【详解】解：四边形是菱形，且顶点在轴上，顶点为坐标原点， 菱形关于轴对称， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， . 13. 一次函数y1＝k1x＋b和反比例函数y2=（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是_______. 【答案】x﹤－2或0﹤x﹤1 【解析】 【分析】直接利用两函数图象的交点横坐标得出y1＞y2时，x的取值范围． 【详解】如图所示： 若y1＞y2，则x的取值范围是：x＜-2或0＜x＜1． 故选D． 点睛：考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题，根据图象比较两个函数值大小对应的x的值，则函数值大（小）的图形在上（下）面对应x的取值范围. 14. 如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为___________． 【答案】 米 【解析】 【分析】分别过、作，，四边形为矩形，根据斜坡的坡比为结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，再根据勾股定理求得答案． 【详解】解：分别过、作，，则， ∵斜坡的坡比，即，不妨设，则， 在中根据勾股定理：， ，解得或（不合题意，舍去）， ∴， 又∵背水坡的坡比， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是6的正方形 的两边分别相交于两点，的面积为10.若动点在轴上，则的最小值是_____________ 【答案】2 【解析】 【详解】分析：由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 详解：∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴M(6, ),N(,6)， ∵△OMN的面积为10， ∴， ∴k=， ∵， ∴k=24， ∴M（6，4），N（4，6）， 作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P,则M′N的长等于PM+PN的最小值， ∵AB=6，M（6，4），N（4，6）， ∴AM′=AM =4，BN=2, ∴BM′=10, BN=2, 根据勾股定理求得NM′=. 故答案为. 点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义、最短路径等知识. 利用反比例函数的性质得出M、N的坐标并利用面积建立方程是解题的关键. 三、解答题（16-19题，每题10分，20-21题，每题12分，22-23题，每题13分） 16. 计算题 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 17. 已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点． （1）正比例函数的解析式； （2）正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标． 【答案】（1） （2） 另一个交点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）把代入求出m，把代入即可求出正比例函数的解析式； （2）求出方程组的解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得； 所以， 把代入，得， 解得， 所以，正比例函数的解析式； 【小问2详解】 解：联立，解得或， 因为， 所以，正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标为． 18. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 【答案】（1）13；（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度； （2）由，代值计算即可． 【详解】（1）在中，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 19. 某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向． （1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） （2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732） 【答案】（1） （2）205m 【解析】 【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，分别在Rt△ACD和Rt△CDB中，解直角三角形即可求得BC的长； （2）由题意可得AC+BC及AB的长，则计算AC+BC−AB即可求得结果． 【小问1详解】 过点C作CD⊥AB于点D， 由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m， 在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600， ∴CD＝AC＝300（m）， AD＝AC＝300（m）， ∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B， ∴∠B＝75°﹣∠A＝45°， ∴CD＝BD＝300（m）， BC＝CD＝300（m）， 故景点B和C处之间的距离为300m； 【小问2详解】 由题意得：AC+BC＝（600+300）m， AB＝AD+BD＝（300+300）m， AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300） ≈204.6 ≈205（m）， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m． 【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决． 20. 图1是某款笔记本支架，它可以进行多角度调节，将笔记本电脑抬高到合适的位置，图2是它的平面简易图，已知，当，时，用眼舒适度较为理想．求此时：（结果精确到，参考数据：，，，，，） （1）拐点离桌面的高度； （2）顶部边缘A处离桌面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中，根据三角函数即可求出的长度； （2）过点作于点，过点作于点，在中，求出的度数，从而求出的长度，最后由顶部边缘处离桌面的高度为：，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， ， 在中，，， ， 答：拐点离桌面的高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， ， ， 顶部边缘处离桌面的高度为： ， 答：顶部边缘A处离桌面的高度约为． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点，． （1）求对应的函数表达式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P是坐标轴上一点，且的面积是的面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）、、、 【解析】 【分析】（1）先求反比例函数的解析式，再利用反比例函数解析式确定点B的坐标，最后求直线的解析式即可． （2）利用数形结合思想，写出不等式的解集即可． （3）先求直线AB与坐标轴交点，算出△AOB面积，得到△ABP目标面积；分P在x轴、y轴两类，用坐标轴上三角形面积公式列绝对值方程求解． 【小问1详解】 把点代入， 得， ， 把点代入中， 得， ， 把点代入直线， 得， 解得， ． 【小问2详解】 由图象可知，当时，不等式的解集是． 【小问3详解】 设直线与x轴交于点C，令，则，得，即． ∴． 分两种情况讨论： 情况1：点P在x轴上，设 的面积可表示为： 解得，即或， ∴或，即或． 情况2：点P在y轴上，设， 设直线与y轴交于点，则： 解得，即或， ∴或，即或． 综上，点P的坐标为、、、． 22. 如图，是南北方向的海岸线，码头与灯塔相距24千米，海岛位于码头北偏东方向．一艘勘测船从海岛沿北偏西方向往灯塔行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头北偏东方向的处石油资源丰富．根据勘测条件，回答下列问题： （1）求的度数； （2）石油资源丰富的处与灯塔B的距离； （3）若规划修建从处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号） 【答案】（1） （2）千米． （3）千米． 【解析】 【分析】（1）根据方向角，利用角的和差，三角形内角和定理，即可求解． （2）先利用直角三角形的性质求出千米，利用勾股定理求出千米，再证明，得到千米，即可求得长． （3）过点作，垂足为，在中，利用直角 三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ， 由题意知： ∴ ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴千米，千米， ∵，， ∴ ∴千米． ∴千米． 答：处与灯塔B的距离为千米． 【小问3详解】 解：如图：过点作，垂足为， 由（2）知：千米， 在中，， 千米， 输油管道的最短长度是千米． 23. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】（1）y关于x的函数解析式为； （2）恒温系统设定恒温为20°C； （3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【解析】 【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式； （2）观察图象可得； （3）代入临界值y=10即可． 【小问1详解】 解：设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0） ∵线段AB过点（0，10），（2，14）， 代入得， 解得， ∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）． ∵B在线段AB上当x=5时，y=20， ∴B坐标为（5，20）， ∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）， 设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）， ∵C（10，20）， ∴k2=200． ∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）， ∴y关于x的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）恒温系统设定恒温为20°C； 【小问3详解】 解：把y=10代入y=中，解得x=20， ∴20-10=10． 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【点睛】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省淄博市博山中学（五四制）2023-2024学年九年级上学期第一次测试数学试题 一、单选题（分） 1. 下列函数中，y不是x的反比例函数是（ ） A. B. C. D. 2. 一个物体所受到的压强与所受压力及受力面积之间的计算公式为．当一个物体所受压力时，该物体所受压强与受力面积之间的关系用图象表示大致为（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图像过点，则不在这个反比例函数图像上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在反比例函数的图象上有两点，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器按此顺序输入： 显示屏显示的结果为88.99102049，将这个数据精确到0.001后，下列说法正确的是（ ） A. 56.78°的正切函数值约为88.991 B. 正切函数值为56.78的角约是88.991° C. 56°78'的正切函数值约为88.991 D. 正切函数值为56.78的角约是88°991' 7. 如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　） A. sinB B. sinC C. tanB D. sin2B+sin2C＝1 9. 如图，在中，于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（分） 11. 在中，，，，则的值是______． 12. 如图，菱形的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为____________． 13. 一次函数y1＝k1x＋b和反比例函数y2=（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是_______. 14. 如图大坝的横断面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是6的正方形 的两边分别相交于两点，的面积为10.若动点在轴上，则的最小值是_____________ 三、解答题（16-19题，每题10分，20-21题，每题12分，22-23题，每题13分） 16. 计算题 （1）； （2） 17. 已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点． （1）正比例函数的解析式； （2）正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标． 18. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，． 求：（1）AC的值 （2）sinC的值． 19. 某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向． （1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） （2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732） 20. 图1是某款笔记本支架，它可以进行多角度调节，将笔记本电脑抬高到合适的位置，图2是它的平面简易图，已知，当，时，用眼舒适度较为理想．求此时：（结果精确到，参考数据：，，，，，） （1）拐点离桌面的高度； （2）顶部边缘A处离桌面的高度． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点，． （1）求对应的函数表达式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P是坐标轴上一点，且的面积是的面积的2倍，直接写出点P的坐标． 22. 如图，是南北方向的海岸线，码头与灯塔相距24千米，海岛位于码头北偏东方向．一艘勘测船从海岛沿北偏西方向往灯塔行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头北偏东方向的处石油资源丰富．根据勘测条件，回答下列问题： （1）求的度数； （2）石油资源丰富的处与灯塔B的距离； （3）若规划修建从处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号） 23. 某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $