2025-2026学年高二下学期数学期末限时小卷（七）（范围：人教B版选择性必修第二册第四章）

**基本信息** 聚焦概率统计核心模块，以概念辨析、情境应用为载体，系统整合随机变量、正态分布、回归分析及独立性检验，强化数学建模与数据驱动决策的数学思维与语言表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选3-4题、多选5-6题|判断命题正误，考查相关系数、回归直线性质|从随机变量概念出发，构建“定义-性质-辨析”逻辑链| |计算应用|单选1-2题、填空7-8题|正态分布概率、随机变量期望求解|延伸正态分布对称性，强化运算能力与数据意识| |综合实践|解答9-10题|竞赛得分分布、支付方式调查分析|结合实际情境，通过分布列、独立性检验实现“模型构建-数据分析-结论推断”应用闭环|

2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（七） （考试时间：40分钟 分值：72分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第二册第四章。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量，若，则(    ) A. B. C. D. 2.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩单位：分服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为(    ) A. B. C. D. 3.下列说法错误的是(    ) A. 线性相关系数时，两变量正相关 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值就越接近于 C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位 D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大 4.下列命题错误的是(    ) A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，且，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，则 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列结论中正确的是(    ) A. 若变量与之间的相关系数，则与正相关 B. 由样本数据得到的线性回归方程必过点 C. 已知，，则 D. 已知随机变量，则 6.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是(    ) A. ， B. 随机变量满足，则 C. D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知随机变量服从正态分布，若，则__． 8.某应用新开展一项“争上游”答题活动，其规则是比赛两局，首局胜利积分，第二局胜利积分，失败均积分若某人每局比赛胜利的概率均为，设他参加一次答题活动的得分为，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得分，答错得分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响． 记“甲、乙两班总得分之和是分”为事件，求事件发生的概率；用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和均值． 10.本小题分 相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了，毕竟手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式．现从某大型超市门口随机抽取名顾客进行调查，得到如下列联表： 男性 女性 总计 刷脸支付 非刷脸支付 总计 请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关； 根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取名，为进一步了解情况，再从抽取的人中随机抽取人，求抽到使用刷脸支付的女性人数的分布列及数学期望． 附：，其中． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期限时小卷（七） 全解全析 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知随机变量，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 由已知求得，再由正态分布曲线的对称性得答案． 【解答】 解：随机变量 ， 正态分布曲线的对称轴为， 由，得， ， 2.已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩单位：分服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了正态分布的性质及应用，属于基础题． 根据题意得到，再根据正态分布密度曲线的对称性即可求解． 【解答】 解：因为，所以又， 所以，由正态分布密度曲线的对称性可得． 3.下列说法错误的是(    ) A. 线性相关系数时，两变量正相关 B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值就越接近于 C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位 D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了线性回归方程，线性相关系数，独立性试验的基本概念，属于基础题． 根据线性相关系数，回归直线方程，独立性试验的基本概念，可进行判断． 【解答】 解：对于，根据线性相关系数可知，线性相关系数时，两变量正相关，故A正确； 对于，根据相关系数可知，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于，故 B错误； 对于，在回归直线方程中，当解释变量每增加个单位时，预报变量平均增加个单位，故 C正确； 对于，对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大，故D正确． 故选B． 4.下列命题错误的是(    ) A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，且，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 随机变量，若，则 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查样本相关系数，正态分布的概率、均值、方差，回归直线方程，二项分布的方差或标准差，二项分布的均值，属于基础题． 根据相关系数， 正态分布的特征，二项分布∽的期望及方差计算公式，逐一判断即可． 【解答】 解：对于，根据相关系数的意义可知， 两个随机变量的线性相关性越强， 相关系数的绝对值越接近于，故A正确； 对于，，且， 则， 故B错误； 对于，根据回归直线的性质可知C正确； 对于，， 解得，故D正确． 故选B． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列结论中正确的是(    ) A. 若变量与之间的相关系数，则与正相关 B. 由样本数据得到的线性回归方程必过点 C. 已知，，则 D. 已知随机变量，则 【答案】ABD  【解析】解：对于，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确； 对于，线性回归方程必过样本点的中心，故B正确； 对于，已知，，则，故C错误； 对于，已知随机变量，则，故D正确． 故选：． 6.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是(    ) A. ， B. 随机变量满足，则 C. D. 若，则 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题主要考查正态分布的定义和对称性，属于基础题． 根据已知条件，结合正态分布的定义和对称性，即可求解． 【解答】 解：随机变量服从正态分布， ，的方差，故A正确， 随机变量满足，则，故B错误，曲线关于对称，，故C正确， ，， ，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.已知随机变量服从正态分布，若，则__． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查正态曲线及其性质，正态分布的概率计算，属于基础题． 由已知求得，再由正态分布曲线的对称性求得，且，即可得解． 【解答】 解：随机变量服从正态分布， ， ， ， 则． 8.某应用新开展一项“争上游”答题活动，其规则是比赛两局，首局胜利积分，第二局胜利积分，失败均积分若某人每局比赛胜利的概率均为，设他参加一次答题活动的得分为，则          ． 【答案】  【解析】由题意知，的所有可能取值为，，，，，所以，． 四、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得分，答错得分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响． 记“甲、乙两班总得分之和是分”为事件，求事件发生的概率；用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和均值． 【答案】解：； 随机变量的取值为，，，． ， ， 所以，的概率分布为： 所以均值．  【解析】本题考查了相互独立与二项分布列的概率计算公式、概率分布及其均值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用相互独立概率计算公式即可得出． 随机变量的可能取值是，，，，利用二项分布的概率计算公式即可得出，进而得出随机变量的均值． 10.本小题分 相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了，毕竟手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式．现从某大型超市门口随机抽取名顾客进行调查，得到如下列联表： 男性 女性 总计 刷脸支付 非刷脸支付 总计 请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关； 根据是否刷脸支付，按照分层抽样的方法在女性中抽取名，为进一步了解情况，再从抽取的人中随机抽取人，求抽到使用刷脸支付的女性人数的分布列及数学期望． 附：，其中． 【答案】解：列联表补充如下： 男性 女性 总计 刷脸支付 非刷脸支付 总计 ， 所以有的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关． 由分层抽样的定义可知，人中使用刷脸支付的有人，不使用刷脸支付的有人， 由题意可知，的可能取值为，，，，， ，，，，， 的分布列为： 由期望公式可得，．  【解析】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题． 根据题意补充完整列联表，计算的值，与临界值比较即可得到结论． 根据分层抽样可知人中使用刷脸支付的有人，不使用刷脸支付的有人，则的可能取值为，，，，，再利用超几何分布的概率公式和期望公式求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $