山东省实验中学2025-2026学年高一下学期6月学情检测数学试题

山东省实验中学高一6月学情检测 数 学 试 题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在四边形中，若，则四边形的形状一定是 A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 2．若复数（i为虚数单位），则 A． B． C． D． 3．如图，在中，点D是线段上靠近B的三等分点，点E是线段上靠近A的三等分点．若，则 A． B． C． D． 4．半正多面体又称“阿基米德多面体”．它是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由正方体截得的二十四等边体的体积为，则这个二十四等边体的表面积为 A． B． C． D． 5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当时，的最小值为1，则 A． B． C． D． 6．在2026年春节联欢晚会《武》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应．节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒），数据如下： 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列结论正确的是 A．甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B．甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C．甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D．甲组数据的极差大于乙组数据的极差 7．甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，，，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为 A． B． C． D． 8．记的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点O为三角形的外心，若，则的形状为 A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件“第一次取到标号为1或2的号签”，事件“第二次取到标号为5的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则 A．事件A与B相互独立 B． C．事件B与C是对立事件 D． 10．在中，下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若A，B是锐角，，则为锐角三角形 11．如图，正四棱台的侧面与底面夹角为，E，F分别是，的中点，则下列说法正确的是 A．平面平面 B．侧棱与底面的夹角正弦值为 C．与是异面直线 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是________． 13．如图，是的斜二测画法的直观图，，，则原平面图形的周长为________． 14．如图，在直角三角形中，，，，点D为边靠近C的三等分点，点G为的中点，过点D作垂线交于点E，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角C的大小； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 16．（15分）某义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求实数a的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选的6人，再从这6人中选2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，为正三角形，，点E在线段上． （1）若E为的中点，证明：平面； （2）若，证明：； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 18．（17分）现代传媒大厦是某市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图1，某大道沿线的水平路面上有两点A，B，指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的C，D两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于-20米~20米之间，则认为百度地图测距是正确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否正确？ （2）如图2，小组在A处测得现代传媒大厦楼顶M在西偏北方向，且仰角，在B处测得楼顶M在正北方向，通过计算．若百度地图测出的是准确的，测算出传媒大厦的高度（精确到1米）． 19．（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中（，2，…，k，）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和． （2）如图，在三棱锥中，平面，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． ①求异面直线与所成角的余弦值； ②若点Q在棱上运动，求直线与平面所成角的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $山东省实验中学高一6月学情检测 数学参考答案及评分意见 1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.D 8.D 9.ABD 10.ACD 11.BCD 12.-2+i 13.2+V33+√41 14.4 15.解：(1)因为V3 csin A+a cos C-2a=0, 由正弦定理 b sin A sin B sin C c=2R,3 sin Csin 4+sin AcosC-2sin 4=0, 2分 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，则V3sinC+cosC=2, 所以2snc+君)-2.即smC+1.4分 因为0<C<元，则<C+<7只，所以C+=,即C= 6分 6 66 62 3 因为0=，c=3,所以”6CV5 =2, sinA sin B sinC 3 2 所以a=2sinA,b=2sinB,8分 所以2-6=44-2n8=44-2s如n-小-44-2sos-en4 -n4-5c429m4m小-2im4- 10分 0<A< 因为△ABC为锐角三角形，所以 2 12分 0<B= A<π 2π 6 3 2 所以0<A-亚<元，所以0<sim 63 6 所以2a-b的取值范围是(0,3). 13分 16.解：(1)由题意，得(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1, 解得a=0.03.2分 (2)由频率分布直方图，成绩位于[60,70)与位于[70,80)的比例为1：2， 所以在选出的6人中，2人成绩在[60,70)，4人成绩在[70,80)，4分 记成绩在[60,70)为4，凸，成绩在[70,80)为b,b,b,b. 从6人中选2人的所有可能为(a1,a2),（a1,b),(a,b2)，(a,b3),（a,b4)，(a2,b)，(a2,b2), (a2,b).（a2,b4),（b,b2）,（b,b),（b,b4),(b2,b),（b2,b4),（b3,b4),共15种可能结果 .6 分 至少有1人成绩在[60,70)中有两种情况： 恰有一人成绩在[60,70)中，有(a1,b),(a1,b2)，（a,b）,（a,b4）,（a2,b),（a2,b）,(a2,b), (a2,b4),共有8种可能结果， 两人成绩都在[60,70)中，有(a1,a2）,有1种可能结果， 8分 综上，共有1+8=9种可能结果， 93 所以事件发生的概率为P= 10分 155 (3》利余8名学生的成绩平均值为10×x-98-86 89.5, 11分 因为10名学生底统的标雅若s=5,所以52=之-90，甲儿=81250， 10 13分 10台 所以剩下8名学生的成绩方差为 --品 89.52=21. 15分 8 17.(1)证明：如图，连接BD交AC于点O,连接OE.1分 D B 因为ABCD是正方形，所以O为BD的中点，所以OE∥PD,3分 又因为PDd平面AEC,OEC平面AEC,所以PD∥平面AEC.5分 (2)证明：如图，取AD的中点M,连接PM,OM,PO,6分 因为△PAD为正三角形，所以AD⊥PM, 又因为OM∥CD,所以AD⊥OM,8分 因为OM∩PM=M,OM,PMc平面POM,所以AD⊥平面POM, 又因为POc平面POM,所以AD⊥PO.10分 (3》解：如图，取PD的中点Q,因为0为BD的中点，所以Q0∥P8,Q0=PB= 3 所以∠QOA为异面直线PB与AC所成角或其补角， 12分 车△004中.A0=4D-00-4-5,40=号4C=5,Q0 9 由余弦定理，得c0s∠Q0A=40+002-A02 2+ -3 4 52 14分 2A0.Q0 324 2xV2x2 2 又因为∠Q0A∈(0，π)，所以∠Q0A为锐角， 所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为 2 15分 24 18.解：(1)设CD=akm. 在△ACD中，∠ADC=∠ADB+∠BDC=30°+60°=90°，∠ACD=45°， 所以△ACD为等腰直角三角形，所以AC=√2akm,3分 在△BCD中，∠BCA=30°，∠ACD=45°，∠BDC=60°，所以∠CBD=45°，5分 由正弦定理得 n60°simn450,解得BC=V6 BC a,6分 a-2-2a.6 在△ABc中，由东弦定离，得4B=2@6。》 a-cos300=1a2, 2 所以AB= 2a,8分 因为AB=2km,所以a=2V2,所以CD=2V√2km≈2828m, 因为2828-2840k12,所以百度地图测距是正确的.10分 (2)由题意，∠BAN=60°，AB⊥BM, 因为MN⊥平面ABN,AN,ABc平面ABN,所以AB⊥MN,AN⊥MN,I2分 又因为BM,MNc平面BMN,BM∩MN=M,所以AB⊥平面BMN, 因为BNc平面BMN,所以AB⊥BN,14分 在Rt△ABN中，AN=AB 2 =4,15分 Cos∠BAN1 2 在Rt△AMW中，MW=AN.tan∠MAN=4×tan4.8°≈0.336km=336m, 故传媒大厦的高度约为336m.17分 19.解：(1)由离散曲率的定义， 图①，L3元LAPB+ZBPC+LCP,①1ZBAP+∠CAP+ZBAC 2π 1 D,=1-2元LA8P+∠CBP+∠ABC),e=1-2元KACB+∠BCP+∠1CP). 四个式子相加，得中p+04+0,+0。=4- ×4π=2.4分 2元 (2)①如图，取AC,BC,AP的中点分别为D,E,F, 连接AE,DE,DF,EF,则AB∥DE,PC∥DF. 所以∠FDE为异面直线AB与PC所成角或其补角， 6分 设AC-BC=2,因为∠ACB=90°，所以AB=22,AE=√5，所以DE=√2， 因为PA⊥平面ABC,AB、AC、AE、BCC平面ABC, 所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AE,PA⊥BC, 因为AC⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC, 又因为PCC平面PAC,所以BC⊥PC,即∠BCP= 2 8分 由三楼验P-BC在顶点C处的度做鱼丰为1-{∠PC1+子+引片等∠PC1-号 所以PA=4Can-2V5,PC=1C=4,PB=VP4+AB=2W5, 3 cos 3 所以DF=PC=2,EF=VAF2+AE=V3+5=2√2， 10分 2 所以cos∠FDE=DE2+DF2-EF2=2+4-8。V2 2DE·DF 2×V2×24 所以直线PC与直线4B所成的角为LPDE的补角.其余弦值为V2 11分 E ②设BQ=tBP=2V5t,0≤t≤1， 由(1)知，PA=2√3，且PA1平面ABC,得Q到平面ABC的距离为PA=2√3t,由余弦定理， 得c0=B0:+BC-2B0-BC-c0s∠CB0=20r2+4-2×2V5x2xBC=20r2-8+4,14分 、PB 设直线CQ与平面ABC所成的角为0. 23t 5 5 则sin0= V20t2-8t+4 2 2 +4 当且仅当=1，即1=1，即点Q与点P重合时，等号成立， 16分 因为0=0引，所以00 所以直线C?与平面ABC所成角的最大值为乃 17分