精品解析：广东肇庆市第二中学2025-2026学年第一学期期中综合练习 九年级数学科

肇庆市第二中学2025——2026学年第一学期期中综合练习 九年级数学科 （考试时间为120分钟，总分为120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（         ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A.的分母含未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B.化简得，是一元二次方程，故符合题意； C.当时，不是一元二次方程，故不符合题意； D.含2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选B. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 4，6，1 B. 4，6， C. 4，，1 D. 4，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，①一元二次方程的一般形式是 （为常数），②找项的系数时带着前面的符号． 根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，6， ， 故选：B． 3. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A. x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式即可解题． 【详解】解：∵是顶点式, ∴对称轴为直线 ， 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于简单题,熟悉抛物线顶点式是解题关键． 4. 用配方法解方程，配方后方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 关于x的方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有1个实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于一元二次方程 ，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，求出方程的判别式即可判断根的情况. 【详解】解：∵对于一元二次方程， ，，， ∴， ∴该方程没有实数根. 6. 已知抛物线 的图像经过点 ，则 c 的值为（  ） A. 0 B. 3 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将)代入解析式，即可求解． 【详解】解：把 代入 ，得． 故选B． 7. 目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，根据“某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得： ． 故选：A． 8. 已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性比较函数值的大小是解题的关键；先求出对称轴，再根据时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ，， ， 故选：． 9. 如图，抛物线交 轴于点、，顶点为，若方程有实数根，则 应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数图像确定相应方程根的情况，当抛物线与直线有交点时，方程有实数根；据此即可求解； 【详解】解：当抛物线与直线有交点时，方程有实数根； ∵抛物线顶点为， ∴当 时，方程有实数根； 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象与 轴交于点，，小红同学得出了以下结论：① ；②；③当 时， ；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，由函数图像开口向上推出；由二次函数的图象与 轴交于点，，推出抛物线的对称轴为直线： ；由函数图像与 轴的交点在 轴的负半轴，推出；据此即可判断； 【详解】解：∵函数图像开口向上， ∴； ∵二次函数的图象与 轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线： ； ∴，即； ∵函数图像与 轴的交点在 轴的负半轴， ∴； ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与 轴有两个交点， ∴，故②正确； 由图像可知：当 时，；故③错误； ∵ ， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线： ，与 轴的一个交点为， ∴　由图像可知，当 时，，故⑤正确； 故选：B 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． 根据题意写出符合题意的二次函数解析式即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为 轴， ∴则一次项系数为0， 取常数项为 ，二次项系数为 ， ∴满足题意的二次函数的解析式可以为：． 故答案为：（答案不唯一） 12. 若方程的一根为 ，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把 代入方程解答即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的一根为 ， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程可得，再解即可 ． 【详解】解： 由题意得：， 解得： ， 故答案为： 14. 若方程的一个根为 ，则代数式的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，先理解题意，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵方程的一个根为 ， ∴， 即， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，在正方形 中， ，点 在 边上，以 为边向上作正方形，在 上取点 ，连接 ，以 为边作正方形，连结，若点 落在边 上，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点 作于点 ，证明，得，，设根据勾股定理用 表示，进而求得 的最小值． 【详解】解：如图，过点N作， ∵正方形， 正方形，正方形 ， ∴，， ， ∴， ∴， ， 同理可得：， ，， ∴， 设则 ， 当时，有最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 用适当的方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解即可. 【详解】解： ∵  ∴ ， ∴  或 ， ∴  ，. 【点睛】 17. 已知：关于 的一元二次方程． （1）若 为方程的一个根，求 的值； （2）求证：无论 为何值，方程总有两个实数根． 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式： （1）将 代入一元二次方程求解即可； （2）用根的判别式求出 再判断即可． 【小问1详解】 解：将 代入一元二次方程． 得， 解得： ． 【小问2详解】 ， 无论 为何值，方程总有两个实数根． 18. 如图，抛物线的顶点为 ，且与 轴交于点 ． （1）求 ， 两点的坐标； （2）若点 为点 关于对称轴对称的点，点 在抛物线上且在第一象限内，且，求点 的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点 的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点 的坐标，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为 ， ∴点， 当 时，， ∴点； 【小问2详解】 设点 的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∵点 为点 关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴ ， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点 在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点 的坐标为． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点D，与y轴交于点B，且经过第一象限内的点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求出二次函数的解析式，并求出点B和点D的坐标； （2）在图中描出点A、点B、点C和点D，画出这个二次函数的图象； （3）直接在图中画出直线 ，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，分别令 ， 求出相对应的值，即可得出答案； （2）先确定点的坐标，再描点画函数图象即可； （3）根据图象，找到直线在二次函数上面的范围即可得出答案． 【小问1详解】 把和分别代入二次函数解析式，得 解得 ∴二次函数解析式为． 当 时，； 当 时，， 解得， ∴， 【小问2详解】 如图： 【小问3详解】 由图象可知，当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答关键． 20. 某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克； （2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？ （3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）350 （2）45元/千克或65元/千克 （3）55元/千克，6250元 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用和二次函数最值的应用． （1）根据题意列出算式即可求解； （2）设这种水果的售价为x元/千克，根据题意列出关于x的一元二次方程即可求解． （3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，根据题意列出二次函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【小问1详解】 解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克． 若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克， 故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克） 【小问2详解】 设这种水果的售价为x元/千克， 则由题意，得：， 解得， 故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克 【小问3详解】 设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元， 则由题意，得： 又由可知抛物线的开口向下， ∴当时， 故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元 21. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． （1）判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于 的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2）①证明见解析；②存在，的值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【小问1详解】 解：①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故选：①③； 【小问2详解】 解：①证明：， ， 此方程一定是“美好方程”． ②存在，理由如下： ， ，， 始终在函数的图象上， ， ， ∴ 则 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 五、解答题（三）（大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点 成中心对称，该段结构水平宽度为8米． 【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿 竖直立于地面，当点 触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 （1）确定中心：求图2中点 到该结构最低点的水平距离 ． （2）确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． （3）确定高度：求挡风板的高度． 【答案】（1）2米 （2）见解析 （3）2.675m或2.325m 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据对称性求解即可； （2）以点为原点，按如图形式建立直角坐标系，由条件可求对称轴为 ，设顶点式为，把、代入求解即可； （3）把，分别代入（2）中解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由中心对称性得： 米，由轴对称性得： 米． 即图2中点 到该结构最低点的水平距离 为2米； 【小问2详解】 解：以点为原点，按如图形式建立直角坐标系， 由条件得，过、，对称轴为 ， 设顶点式为， 将、代入得， 解得：，， ； 【小问3详解】 解：， 情况①：当时，， 情况②：将时，， 综上，挡风板的高度为2.675m或2.325m． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“差反点”． （1）判断点，，，哪个是点的“差反点”？ （2）若直线上的点A是点的“差反点”，求点A的坐标； （3）对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t的值． 【答案】（1）和 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据“差反点”的定义，直接代入定义验证即可； （2）设出直线上点 的坐标，结合定义列方程求解； （3）联立差反点满足的关系式和抛物线解析式，由唯一交点得到判别式为 ，整理出 关于 的二次函数，再根据对称轴位置分类讨论，结合最大值条件求解 的值。 【小问1详解】 解： 根据“差反点”定义，若是的差反点，满足， 对，，等式成立， 对，，等式不成立， 对，，等式成立， 因此和是点的差反点。 【小问2详解】 设点，因为 是的差反点， 根据定义得：， 解得， 代入得， 因此点 的坐标为． 【小问3详解】 设的差反点坐标为，根据定义得，即 ， 因为该点在抛物线上， 代入得： 整理得， 因为抛物线上存在唯一的差反点， 所以一元二次方程判别式 ， 化简得， 是关于 的二次函数，开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论：①当时，在范围内， 在处取得最大值， 代入得：， 整理得， 解得， 因为，舍去，得； ②当时，在范围内， 在 处取得最大值，代入得：， 整理得，方程无实数解，此情况不成立。 ③当时，在范围内， 在处取得最大值， 代入得：， 解得（满足） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市第二中学2025——2026学年第一学期期中综合练习 九年级数学科 （考试时间为120分钟，总分为120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于 的一元二次方程的是（         ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 4，6，1 B. 4，6， C. 4，，1 D. 4，， 3. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A. x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-1 4. 用配方法解方程，配方后方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有1个实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 已知抛物线 的图像经过点 ，则 c 的值为（  ） A. 0 B. 3 C. D. 无法确定 7. 目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线交 轴于点、，顶点为，若方程有实数根，则 应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与 轴交于点，，小红同学得出了以下结论：① ；②；③当 时， ；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个对称轴是y轴且开口向下的二次函数表达式：____________． 12. 若方程的一根为 ，则 ______． 13. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________ 14. 若方程的一个根为 ，则代数式的值为___________． 15. 如图，在正方形 中， ，点 在 边上，以 为边向上作正方形，在 上取点 ，连接 ，以 为边作正方形，连结，若点 落在边 上，则的最小值为__________． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 用适当的方法解方程： 17. 已知：关于 的一元二次方程． （1）若 为方程的一个根，求 的值； （2）求证：无论 为何值，方程总有两个实数根． 18. 如图，抛物线的顶点为 ，且与 轴交于点 ． （1）求 ， 两点的坐标； （2）若点 为点 关于对称轴对称的点，点 在抛物线上且在第一象限内，且，求点 的坐标． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点D，与y轴交于点B，且经过第一象限内的点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求出二次函数的解析式，并求出点B和点D的坐标； （2）在图中描出点A、点B、点C和点D，画出这个二次函数的图象； （3）直接在图中画出直线 ，根据图象直接写出不等式的解集． 20. 某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克； （2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？ （3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？ 21. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． （1）判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； （2）若关于 的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）（大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案． 【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，，皆为轴对称图形，且关于点 成中心对称，该段结构水平宽度为8米． 【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱，竖直立于地面并支撑在对称中心，处．小温将长为2.8米的竹竿 竖直立于地面，当点 触碰到顶棚时，测得为1米． 【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板． 【任务】 （1）确定中心：求图2中点 到该结构最低点的水平距离 ． （2）确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求的函数表达式． （3）确定高度：求挡风板的高度． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“差反点”． （1）判断点，，，哪个是点的“差反点”？ （2）若直线上的点A是点的“差反点”，求点A的坐标； （3）对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $