第2章 2.3 函数的奇偶性、周期性（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性，以定义辨析为基础，通过阶梯式题型构建"概念-性质-综合应用"的完整解题体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|定义法判断奇偶性、赋值法求函数值|从奇偶性定义出发，结合具体函数模型理解对称性本质| |性质综合|6题|周期推导公式、奇函数图象对称应用|通过f(x+T)=-f(x)等关系建立周期性与奇偶性的关联| |拓展应用|4题|构造奇函数转化、抽象函数性质迁移|综合定义域限制、单调性与奇偶性解决参数范围问题|

[对应学生用书P309] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共28分，本试卷共95分． A级　基础过关 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3 D．y＝3x 解析　对于A，因为sin (－x)＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于B，因为cos (－x)＝cos x，所以函数y＝cos x为偶函数，故B正确；对于C，因为(－x)3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为3－x＝，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确．综上所述，选B. 答案　B 2．已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋3)＝，且f(3)＝，则f(2 025)＝(　　) A．－ B． C．－1 D．1 解析　由f(x＋3)＝得f(x)的周期T＝6，f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝. 答案　B 3．(2025·湛江一模)已知函数f(x)＝·cos x是偶函数，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析　∵f(x)的定义域为R，f(－x)＝·cos (－x)＝cos x，f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，则－a＝1，解得a＝－1.故选B. 答案　B 4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b＝(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．2 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x).又对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.故选C. 答案　C 5．已知函数f(x)(x∈R，且x≠0)对任意不等于0的实数x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，则f(x)为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 解析　令x1＝x2＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0，令x1＝x2＝－1得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，即f(－1)＝0，令x1＝－1，x2＝x得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故选B. 答案　B 6．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x) C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x 解析　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A中，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B中，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C中，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D中，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B，D正确． 答案　BD 7．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝____________． 解析　令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，依题意，g(x)＝f(x)＋8，而g(－3)＋g(3)＝0，则f(－3)＋8＋f(3)＋8＝0，又f(－3)＝5，所以f(3)＝－21. 答案　－21 8．(2025·河南郑州外国语学校期末)已知函数y＝f(x)为奇函数，g(x)＝，若f(x)与g(x)的图象仅有四个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则y1＋y2＋y3＋y4＝____________． 解析　函数g(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又g(－x)＝＝－＝－g(x)，所以函数g(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，所以g(x)的图象关于原点对称，又函数y＝f(x)为奇函数，则f(x)的图象也关于原点对称， 不妨设x1<x2<x3<x4， 则(x1，y1)，(x4，y4)关于原点对称，(x2，y2)，(x3，y3)关于原点对称， 所以y1＋y2＋y3＋y4＝2×0＋2×0＝0. 答案　0 9．(13分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式． 解析　(1)证明　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).所以f(x)是周期为4的周期函数． (2)因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8. 因为f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]. B级　能力提升 10．(2025·陕西西安交大附中月考)已知函数f(x)＝在其定义域内为偶函数，且f(1)＝，则f＋f＋…＋f＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝(　　) A． B． C．2 024 D．0 解析　因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以＝，所以2bx＝0且x不恒为0，则b＝0，f(x)＝.又f(1)＝，所以＝，所以a＝1，则f(x)＝，又f(x)＋f＝＋＝＋＝1，所以f＋f＋…＋f＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝2 025×1＋＝. 答案　A 11．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x＋1)都为奇函数，则(　　) A．f(x－1)为奇函数 B．f(x)为周期函数 C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋2)为偶函数 解析　由题意知：f(－x－1)＋f(x＋1)＝0且f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0，∴f(1－x)＝f(－1－x)，即f(x－1)＝f(x＋1)，可得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，且f(x－1)，f(x＋2)为奇函数，故A，B正确，D错误；由上知：f(x＋1)＝f(x＋3)，即f(x＋3)为奇函数，C正确．故选ABC. 答案　ABC 12．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有____________个． 解析　当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点． 答案　5 13．(15分)已知函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，f(x)＝x2＋x. (1)求当－3≤x＜0时，函数f(x)的解析式； (2)若f(a＋1)＋f(2a－1)＞0，求实数a的取值范围． 解析　(1)设－3≤x＜0，则0＜－x≤3， 所以f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x， 因为f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2－x，所以f(x)＝－x2＋x， 即当－3≤x＜0时，函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋x. (2)由f(a＋1)＋f(2a－1)＞0，得f(a＋1)＞－f(2a－1)， 因为f(x)为奇函数，所以f(a＋1)＞f(1－2a)， 当0＜x≤3时，f(x)＝x2＋x＝(x＋1)2－，所以f(x)在(0，3]上单调递增， 因为函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，所以f(x)在[－3，3]上单调递增， 所以解得0＜a≤2， 故实数a的取值范围是(0，2]. C级　拓广探索 14．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)等于(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 解析　因为f(1)＝1， 所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中， 令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)， 所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，① 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).② 由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0， 故f(x＋3)＋f(x)＝0， 所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6. 在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2. 令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1. 由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0， 根据函数的周期性知，f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A. 答案　A 15．(2025·江西景德镇统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，设函数g(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析　g(x)＝＝＝＋1，令h(x)＝g(x)－1＝，因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以h(－x)＝＝－＝－h(x)，所以函数h(x)是奇函数， 所以函数h(x)的最大值为M－1，最小值为m－1，由奇函数的性质可得，M－1＋m－1＝0，故M＋m＝2. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $