山东济南市市中区泉海学校2025－2026学年八年级下学期期末模拟数学试题（2026.6）

**基本信息** 以大明湖超然楼游客增长、电子产品商城利润等真实情境为载体，覆盖分式方程、菱形性质、图形旋转等八下核心知识，通过新定义“邻近根方程”、菱形动态旋转探究等题设计，凸显数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|轴对称与中心对称、直角三角形中线、平行四边形判定|结合食品标识考查图形性质，第9题平移距离分类讨论体现思维严谨性| |填空题|5题|分式有意义条件、菱形面积计算、动态最值|第14题水渠问题融合矩形面积与方程建模，第15题旋转线段最值考查空间观念| |解答题|10题|分式方程求解、利润优化、图形旋转综合|23题“邻近根方程”新定义考查创新意识，25题分“特例感知-类比探究-拓展应用”三层次，递进培养探究能力|

泉海学校八下期末模拟数学试题（2026.6） 一．选择题（共10小题） 1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．绿色饮品B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品 2．下列变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 4．下列说法中正确的是（　　） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 5．若分式方程有增根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 第7题图 第8题图 第9题图 8．如图，将△绕点顺时针旋转变为△，则下列说法不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△中，，将△沿所在直线向右平移，所得图形对应为△，若要使成立，则平移的距离是（　　） A．6 B．9 C．6或12 D．9或12 10．如图，已知四边形中，，，点、分别是边、的中点，连接，，则的长度是（　　） A． B．20 C． D．16 二．填空题（共5小题） 11．若分式有意义，则实数的取值范围是 　　 ． 12．因式分解　　 ． 13．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则 　　 ． 第13题图 第14题图 第15题图 14．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有4条等宽的水渠，将花圃分为了8个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽长为，则水渠的宽度为 　　． 15．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转，得到中，连接，则的最小值是　　 ． 三．解答题（共10小题） 16．（1）解方程：； （2）解方程：． 17．先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 18．如图，，是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点．求证：． 19．“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 20．如图，在四边形中，，平分，，为中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21．如图，平面直角坐标系中，△三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移△到△，其中点的对应点的坐标为， 请在图中画出△；点平移后对应点的坐标为　　 ； （2）请画出△绕原点逆时针旋转得到的△； （3）在（2）的条件下，求点经过的路径长． 22．某家电子产品商城计划购机、两种不同型号的平板电脑，每台型平板电脑的购进价格比型多1000元，用10.5万元购买型的台数与用7.5万元购买型的台数相等． （1）求、两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进、两种不同型号的平板电脑共100台，售卖、两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进型平板电脑的数量不超过型的2倍，如何购进、两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）已知关于的方程是常数）是“邻近根方程”，求的值； （3）若关于的方程，是常数，且是“邻近根方程”，令，试求的最大值． 24．【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：△△． 【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①写出点的坐标是 　　 ； ②求直线的解析式； ③写出△的面积是 　　 ． 25．在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是 　　 ； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 泉海学校八下期末模拟数学试题（2026.5） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．绿色饮品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品 【解答】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．下列变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：、符合因式分解的定义，原变形是因式分解，故此选项符合题意； 、结果不是整式相乘的形式（含有减法），原变形不是因式分解，故此选项不符合题意； 、结果不是整式相乘的形式（含有分式），原变形不是因式分解，故此选项不符合题意； 、结果不是整式相乘的形式（含有加法），原变形不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：． 3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（　　） A．30° B．40° C．45° D．60° 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD， ∴∠A＝∠DCA＝20°， ∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝20°+20°＝40°． 故选：B． 4．下列说法中正确的是（　　） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【解答】解：四边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形， 故不符合题意； 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形或等腰梯形， 一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形， 故不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形， 故不符合题意； 根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形， 故符合题意， 故选：． 5．若分式方程有增根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：， ， ， ， 分式方程有增根， 是方程的根， ， ， 故选：． 6．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，，， 而方程有实数根， △， ； 故选：． 7．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：剪去小正方形的边长为， 该无盖纸盒的底面长为，宽为， 依题意得：． 故选：． 8．如图，将△绕点顺时针旋转变为△，则下列说法不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△绕点顺时针旋转变为△， ，，， 故，，选项正确，不符合题意； 由已知条件不能得出， 故选项不正确，符合题意． 故选：． 9．如图，在△中，，将△沿所在直线向右平移，所得图形对应为△，若要使成立，则平移的距离是（　　） A．6 B．9 C．6或12 D．9或12 【解答】解：由平移的性质可知，， ， ，， ， ， ，即平移的距离为； 当点在右侧时， 由平移的性质可知，， ， ，， ， ， ， 即平移的距离为， 故选：． 10．如图，已知四边形中，，，点、分别是边、的中点，连接，，则的长度是（　　） A． B．20 C． D．16 【解答】解：取的中点，连接交于点，设交于点， ， ， 点、分别是边、的中点，， ，且，，且， ， ， ， ， 故选：． 二．填空题（共5小题） 11．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【解答】解：， ． 故答案为：． 12．因式分解 ． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 13．如图，菱形中，对角线与相交于点，若，，则 　24　 ． 【解答】解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， 故答案为：24． 14．如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有4条等宽的水渠，将花圃分为了8个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽长为，则水渠的宽度为 　2　． 【解答】解：设水渠的宽度为 ，空地的长为， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 则水渠的宽度为． 故答案为：2． 15．如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转，得到中，连接，则的最小值是　1　 ． 【解答】解：如图，在菱形中，，连接， ，，， ， △是等边三角形， ，， ，， 绕点按逆时针方向旋转，得到， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 点在射线上， 当时，有最小值，最小值为， 的最小值是1， 故答案为：1． 三．解答题（共10小题） 16．（1）解方程：； （2）解方程：． 【解答】解：（1）去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 是方程的增根， 原分式方程无解； （2）， 方法一：，， △， ， ，． 方法二：， ， ， ， 或 ， 17．先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【解答】解：原式 ， 由题意得：且， 和2， 当时，原式． 18．如图，，是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点．求证：． 【解答】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． 19．“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）由题意可知，（万人次）， 答：7月份的游客人数为31.25万人次． 20．如图，在四边形中，，平分，，为中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【解答】（1）证明：为中点， ，， ，又， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：过作于， 四边形是菱形，，， ，， ， ，则， 四边形的面积为． 21．如图，平面直角坐标系中，△三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移△到△，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出△；点平移后对应点的坐标为　　 ； （2）请画出△绕原点逆时针旋转得到的△； （3）在（2）的条件下，求点经过的路径长． 【解答】解：（1）根据平移的性质和题意可知，△向右平移4个单位得到△，如图1即为所求； 点平移后对应点的坐标为， 故答案为：； （2）△绕原点逆时针旋转得到的△，如图2即为所求； ； （3）由题意可得：，， 点经过的路径长为． 22．某家电子产品商城计划购机、两种不同型号的平板电脑，每台型平板电脑的购进价格比型多1000元，用10.5万元购买型的台数与用7.5万元购买型的台数相等． （1）求、两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进、两种不同型号的平板电脑共100台，售卖、两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进型平板电脑的数量不超过型的2倍，如何购进、两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 【解答】解：（1）设种型号的购进单价是元，则种型号的购进单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种型号的购进单价是3500元，种型号的购进单价是2500元； （2）设购进型平板电脑台，则购进型平板电脑台， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为66， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 此时，， 答：购进型平板电脑66台，型平板电脑34台，才能使总利润最高，最高是63200元． 23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）已知关于的方程是常数）是“邻近根方程”，求的值； （3）若关于的方程，是常数，且是“邻近根方程”，令，试求的最大值． 【解答】解：（1）方程是“邻近根方程”， 理由：在方程中， △， ，， ， 方程是“邻近根方程”． （2）， ， ，， ，， 关于的方程是“邻近根方程”， ，即， ， 解得：或． （3）关于的方程是“邻近根方程”，设两个根为、， ， ，， ， ， ， 当时，， 即的最大值为． 24．【建立模型】 （1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：△△． 【类比迁移】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． ①写出点的坐标是 　　 ； ②求直线的解析式； ③写出△的面积是 　　 ． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2）解：①过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ，， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， △△， ，， ， 点的坐标为； 故答案为：； ②设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； ③在中，令得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：7.5． 25．在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是 　　 ； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【解答】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接， 则，，， ， △△， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， △、△均为等边三角形， ，， ， ， △是等边三角形， ， ， ， △△， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于， 则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/10 15:36:14；用户：王守峰；邮箱：15314112721；学号：26815981 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $