精品解析：安徽亳州市谯城区淝河中心中学2025--2026学年下学期八年级测评·数学

八年级测评·数学 （下册数学期中测评卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 和 B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. －1 B. 0 C. －1或0 D. 4或1 5. 小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（ ）cm． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 在 中，， ， 的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学专著《九章算数》中有一名题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”其大意是：已知甲、乙二人同时从一地出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙向东行走，甲先向南行走10步时偏离原方向，朝北偏东的方向直行走一段后与乙相遇．问：甲、乙各行走了多少步？设、分别为甲、乙走的路程（单位：步），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ） A. 1，1，1，3 B. 2，2，2，3 C. 1，3，2，6 D. 2，2，2，7 9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点G：连接AG并延长，交BC于点E．连接BF，若，，则AB的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 10. 中，E、F是对角线 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算的结果是_______． 12. 一元二次方程的两根分别为和 ，那么将分解因式的结果为________． 13. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么______． 14. 在 ABC中，∠C=60°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，连接DE，DE=2 （1）若点E为BC的中点，则AC=_____； （2）若DE平分 ABC的周长，则AC=_____ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）解方程： 16. 已知实数、 、在数轴上的位置如图所示，且，化简：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图， 分别是 的中点．求证： ． 18. 如果关于 的一元二次方程有两个实数根、 ，且，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务， 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请你写出正确的计算过程． 20. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 丈，芦苇 生长在 的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 ， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度 ； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 六、 21. 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． （1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明． （2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由． 探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． （3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． （4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由． 七、 22. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件． ①每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ ②能不能一天获得520元的利润？请说明理由． 八、 23. 如图，在正方形 中，点E，F分别在 ， 的延长线上，且 ，的延长线交 于点G． （1）求 的度数； （2）在线段EG上取点H，使得，连接 ， ． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段 与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级测评·数学 （下册数学期中测评卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0解答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x-1≥0，且x≠0 解得：x≥1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根，二次根式的乘除法，减法进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 3. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据 的形式去判断即可． 【详解】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练化成一元二次方程的一般形式 是解题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. －1 B. 0 C. －1或0 D. 4或1 【答案】A 【解析】 【分析】整理成一元二次方程的一般形式，令△=0求解即可． 【详解】∵ 一元二次方程有两个相等的实数根， ∴的△=0， ∴， 解得m= -1， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 5. 小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径6cm，口杯内部高度9cm，要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要（ ）cm． A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可求得． 【详解】解：如图：连接AC 故要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要的长度是线段AC的长度 由题意可知：BC=6cm，AB=9cm 在中， 要使吸管不斜滑到杯里，吸管最短需要11cm 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，无理数的估算，理解题意，结合图形求得AC的长是解决本题的关键． 6. 在 中，， ， 的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】A、由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C=180°，可得∠C=90°,故△ABC为直角三角形； B、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，得∠C=，故△ABC为直角三角形； C、由a2＝c2﹣b2得，a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得，△ABC为直角三角形； D、由，设a=k，b=k，c=k（其中k≠0），由于，故△ABC不是直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定与三角形内角和定理，掌握常用的判定方法是关键． 7. 我国古代数学专著《九章算数》中有一名题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”其大意是：已知甲、乙二人同时从一地出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙向东行走，甲先向南行走10步时偏离原方向，朝北偏东的方向直行走一段后与乙相遇．问：甲、乙各行走了多少步？设、分别为甲、乙走的路程（单位：步），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙行走的时间为t，则AB=10步，AC=3t步，BC=步，根据勾股定理，列出方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设甲、乙行走的时间为t，则AB=10步，AC=3t步，BC=步，根据勾股定理可得：， 解得：或（舍去）， 则甲行走的路程为（步）， 乙行走的路程为：（步），故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据勾股定理列出方程，求出方程的解，是解题的关键． 8. 下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ） A. 1，1，1，3 B. 2，2，2，3 C. 1，3，2，6 D. 2，2，2，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成四边形的条件“最长线段的长度小于另外三条线段的长度和”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．最长边为 ， ，故不能构成四边形，不符合题意； B．最长边为 ，，故能构成四边形，符合题意； C．最长边为 ， ，故不能构成四边形，不符合题意； D．最长边为， ，故不能构成四边形，不符合题意． 9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点G：连接AG并延长，交BC于点E．连接BF，若，，则AB的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设 与 交于 点，由作图知， ， 平分 ，则 ，，再说明 ，从而得出 的长，最后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：设 与 交于 点， 由作图知， ， 平分 ， ，， 四边形 是平行四边形， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质、勾股定理，尺规作一个角的角平分线，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 10. 中，E、F是对角线 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形．故A不符合题意； ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形．故B不符合题意； C选项中由，不能得出， ∴不能判断四边形 是平行四边形，故C符合题意； 四边形 是平行四边形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形．故D不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式相乘，把被开方数相乘，然后化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，二次根式化简，掌握二次根式的乘法运算法则，二次根式化简方法是解题关键． 12. 一元二次方程的两根分别为和 ，那么将分解因式的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系可求出p、q的值，代入后即可分解因式. 【详解】解：由根与系数的关系可知：，，即，∴. ∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和多项式的因式分解，易错点是容易弄错两根和的符号，熟知根与系数的关系和分解因式的方法是解题的关键. 13. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么______． 【答案】22 【解析】 【分析】结合题意，根据小三角形的面积可以得出 ，再根据勾股定理即可得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：22． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，数形结合思想是本题的关键． 14. 在 ABC中，∠C=60°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，连接DE，DE=2 （1）若点E为BC的中点，则AC=_____； （2）若DE平分 ABC的周长，则AC=_____ 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理，即可得到答案； （2）延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE＝AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，由勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）如图1所示， ∵D是边AB的中点，点E为BC的中点， ∴DE=AC， ∵DE=2， ∴AC=4； 故答案为：4 （2）如图2，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N， ∵D是边AB的中点 ∴AD=DB， ∵DE平分△ABC的周长， ∴BE＋BD＝CE＋AC＋AD＝CE＋CM＋BD＝ME＋BD ∴ME=EB， ∴点E为BM的中点 ∴DE=AM，DE AM， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACM=120°， ∵CM=CA， ∴△CMA是等腰三角形 ∴∠CAN＝（180°－∠ACM）＝30°， ∴ CN＝AC ∵DE=2， ∴AM=4， ∴AN＝2 由勾股定理得 ∴ ∴AC=， 故答案：（1）4；（2） 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、等腰三角形的性质和判定、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先移项将原方程化成一般式，然后再运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解∶ ． 【小问2详解】 解∶ ， ， ， ， 或 ， 或 ． 16. 已知实数 、 、 在数轴上的位置如图所示，且，化简：． 【答案】0 【解析】 【分析】根据数轴、绝对值、二次根式的性质，分别进行绝对值、二次根式化简即可 【详解】解：由题意可得，， 又∵， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查数轴、相反数、绝对值、二次根式的综合运用，熟练掌握相应的定义性质是关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：如图， 分别是 的中点．求证： ． 【答案】证明：如图：连接 ， ∵ 分别是 的中点． ∴在 中， ，在 中， ， ∴ 又∵N是 的中点， ∴ ． 【解析】 【分析】如图：连接 ，利用直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半可得 、 ，即 ；再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【详解】证明：略． 18. 如果关于 的一元二次方程有两个实数根、 ，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再由可得关于k的方程，求解该方程即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程有两个实数根、 ， ∴， ∵， ∴ ． 解方程得：，． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系以及求解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务， 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请你写出正确的计算过程． 【答案】任务一：二，去括号后，括号内第二项没有变号 任务二：过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，能够正确运用去括号法则计算是本题的关键． 去括号时，括号前是“ ”号，去括号后，括号内的各项都要变号．故而可判断解答过程从第二步开始出现错误，再根据去括号法则更正错误，并写出正确的计算过程即可． 【详解】解：任务一：从第二步开始出现错误， 错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号． 任务二：请你写出正确的计算过程． ． 20. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 丈，芦苇 生长在 的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 ， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度 ； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度 可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】（1）12尺 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为 中点，且 丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： ； 即尺； 答：水池的深度 为12尺； 【小问2详解】 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为 中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 六、 21. 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． （1）问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明． （2）问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由． 探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． （3）问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． （4）问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由． 【答案】（1）能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 （2）正方形（答案不唯一） （3）2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） （4）1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，解一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设有x个正三角形，则，解得 ，因此6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）设有x个正方形，则，解得，因此4个正方形可以共顶点单一密铺； （3）设有x个正三角形，y个正六边形，则，当 时， ，当时，，故2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则，故当时符合题意，因此方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【小问1详解】 解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正三角形， ∵正三角形的每个内角为 ， ∴， 解得： ， ∴6个正三角形可以共顶点单一密铺； 【小问2详解】 解：4个正方形可以共顶点单一密铺， 设有x个正方形， ∵正方形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴4个正方可以共顶点单一密铺； 【小问3详解】 解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形 设有x个正三角形，y个正六边形， ∵正三角形的每个内角为 ，正六边形的每个内角为， 则， 当 时， ， 当时，， ∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； 【小问4详解】 解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形， 设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形， ∵正三角形的每个内角为 ，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为 ， ∴， ∴当时符合题意， ∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 七、 22. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件． ①每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ ②能不能一天获得520元的利润？请说明理由． 【答案】（1） （2）①3元；②不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设下降的百分率是 ，利用经过两次降价后的价格 原价（ 两次下降的百分率）2，即可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）①设每件应降价 元，根据“每天获得504元的利润”列出一元二次方程，解方程即可；②设每件应降价元，根据“一天获得520元的利润” 列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设下降的百分率是 ， 由题意得：， 解得，（舍去）， 答：下降的百分率是 ； 【小问2详解】 解：①设每件应降价 元， 由题意得：， 解得，， 要尽快减少库存， 每件应降价3元； ②不能， 设每件应降价元， 由题意得：， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不能一天的利润是520元． 八、 23. 如图，在正方形 中，点E，F分别在 ， 的延长线上，且 ，的延长线交 于点G． （1）求 的度数； （2）在线段EG上取点H，使得，连接 ， ． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段 与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键． （1）根据题意可得， ， ，，由此可证 ，得到，再根据，，即可得到． （2）依据题意补充图形后，过点 作交 于点，根据，，可得到、为等腰直角三角形，再证，即可得到线段 与的数量关系． 【小问1详解】 解：如图所示， 为正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． ． 【小问2详解】 解：① 如图所示，在线段 上取点H，使得，连接 ， ， ② 过点 作交 于点，如图所示， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ，即， （第一问已证）， ， 又 ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $