精品解析：安徽宿州市埇桥区2025-2026学年八年级下学期期中质量检测数学试题卷

2025－2026学年度八年级第二学期期中质量检测数学试题卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组图形中，能将其中一个图形通过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在 中，，外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（ ） A. 它一定是三角形 B. 它可能是四边形 C. 它一定是四边形 D. 它不可能是三角形和四边形 5. 已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（ ） A. 17 B. 18 C. 22 D. 22或17 6. 如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 7. 如图，一次函数 和的图象相交于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中， ，， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，点恰好落在 边上，则点与点 之间的距离为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 9. 若关于 的不等式只有2个正整数解，则 的取值范围为(　　　) A. B. C. D. 10. 如图，在 中， ， 分别为 ， 边上的高， ， 相交于点 ， ，连接，则下列结论：① ；② ；③若，则的周长等于 的长；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 李老师在黑板上写了下列式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有_____（填写序号）． 12. 反证法证明“钝角三角形中必有一个角小于45°”先应假设______． 13. 如果点P（a-1，a+2）向右平移2个单位长度正好落在y轴上，那么点P的坐标为__________． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为 ，边 与其中一把直尺边缘的交点为 ，点 和 在这把直尺上的刻度数分别是和，则 的长为__________． 15. 如图，在 中，边 ， 的垂直平分线相交于点P．若，则_______． 16. 如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，，点 、点 在 轴上（点 在点 的右侧），且，求四边形周长的最小值等于_____． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 解不等式组：，把它的解集表示在数轴上，并求出不等式组的非负整数解． 18. 求证：两个全等三角形对应边上的中线相等． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（顶点是网格线的交点） （1）以格点O为对称中心，画出 关于点O成中心对称的图形（点A，B，C的对应点分别为点）； （2）以点O为旋转中心，将 按逆时针方向旋转 ，得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为） （3）描出线段 上的点D，使 ． 20. 长春市中考体育现场考试成绩标准规定：男子1000米耐力跑用时不超过3分40秒为单项满分．小刚在一次模拟测试时，先以4米/秒的平均速度跑了部分路程，随后开始加速，以6米/秒的平均速度跑完剩余路程．问小刚最多跑多少米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分？ 21. 如图，在 中，． （1）过点 作 的平分线交 于点 （尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若 ，，求 的面积． 22. 任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些笔记本用于摘抄“好词好句”． 驱动任务：购买笔记本的最省钱方案． 数据信息 信息一 购进A、B两种型号的笔记本． 信息二 已知A型号笔记本12元/个，B型号笔记本8元/个． 问题解决 任务一 我班计划购进A、B两种型号的笔记本共50本，且购买费用不超过528元，则最多可以购买A型号笔记本多少个? 任务二 在满足任务一的条件下，要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，我班购进笔记本的方案有哪几种？哪种方案最省钱？ 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1， 为等腰三角形，，将 绕点O旋转，得到 ，连接 ，F是AE的中点，连接 ，则　 　°， 与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当 绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到 ，求出此时 的度数及 与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形 中，， ．将 绕点O旋转，得到 ，连接 ，F是 的中点，连接 ．当时，请直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度八年级第二学期期中质量检测数学试题卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组图形中，能将其中一个图形通过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据平移的性质可知，图形的形状和大小不发生改变， A、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意； B、图形的形状和大小均没发生改变，故该选项符合题意； C、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意； D、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意． 2. 若 ，根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，根据已知条件 ，判断选项中变形是否正确即可． 【详解】A项：原式 ，若两边加1，应为，但选项中右边为，加数不同，无法直接推导，故A错误； B项：原式 ，两边减1，根据不等式两边减同一数，方向不变，得，故B正确； C项：原式 ，两边乘2得，但选项中为，若，，则，，此时成立；但若 ， ，则， ，不成立，故C错误； D项：若，则，根据不等式两边乘正数，方向不变，得；但若 ，则两边均为0，不成立，题目未限定，故D错误． 3. 如图，在 中，，外角，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：∵，外角， ∴， 故选：C． 4. 若一个凸多边形的某个内角恰好是其余内角的和，则（ ） A. 它一定是三角形 B. 它可能是四边形 C. 它一定是四边形 D. 它不可能是三角形和四边形 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式，结合凸多边形每个内角小于的性质，求解多边形边数，即可判断选项． 【详解】解：设该凸多边形为n边形，题中满足条件的内角为 ， ∵n边形内角和为， 等于其余内角的和 ∴， 整理得， 即， ∵凸多边形的内角 满足， ∴， 不等式两边同除以 得 ，即， ∵n是不小于3的正整数， ∴ ∴它一定是三角形． 5. 已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（ ） A. 17 B. 18 C. 22 D. 22或17 【答案】C 【解析】 【分析】解题时需要分情况讨论边长，再根据三角形任意两边之和大于第三边，排除不能构成三角形的情况，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 1. 当腰长为 时，三角形三边长为 ， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， 此种情况舍去. 2. 当腰长为 时，三角形三边长为 ， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 周长为. 综上，该等腰三角形的周长为 ． 6. 如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据∠EBC＝45°，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ， ， ∠EBC＝45°， ， 为等腰直角三角形， ， ， 则△EBC的面积是． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 7. 如图，一次函数 和的图象相交于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出 点坐标． 首先把代入 ，求出 点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式解集即可． 【详解】解：把点代入 得， ， 解得：， ， 不等式的解集为． 故选：A． 8. 如图，在中， ，， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，点恰好落在 边上，则点与点 之间的距离为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接，先证明是等边三角形，易得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得 即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，点恰好落在 边上， ∴ , , ∵， ∴是等边三角形， ∴ ，即旋转角为 ， ∴ ∵ ， ∴是等边三角形， ∴ ； ∵在中， ，， ∴ ∴ ， ∴ , ∴， ∴． 9. 若关于 的不等式只有2个正整数解，则 的取值范围为(　　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案． 【详解】解：， ， 则， 不等式只有2个正整数解， 不等式的正整数解为1、2， 则， 解得：， 故选： ． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组． 10. 如图，在 中， ， 分别为 ， 边上的高， ， 相交于点 ， ，连接，则下列结论：① ；② ；③若，则的周长等于 的长；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质. 证明，可判断①结论；延长交 于点 ，证明 和是等腰直角三角形，可判断②结论；证明 垂直平分 ，可判断③结论；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④结论． 【详解】解：分别为边上的高， ， ，， ， 在和 中， ， ， ，①结论正确； 如图，延长交 于点 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，即 ，②结论正确； ，， ， 垂直平分 ， ， 周长， 即周长等于 的长，③结论正确； ， ， ， ， 即，④结论错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 李老师在黑板上写了下列式子：①；②；③ ；④；⑤；⑥．其中是不等式的有_____（填写序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【解析】 【分析】根据不等式的定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式，逐个判断各个式子即可． 【详解】解：①，用 表示不等关系，是不等式； ②，用 表示不等关系，是不等式； ③ ，是等式，不是不等式； ④，是整式，没有不等关系，不是不等式； ⑤，用表示不等关系，是不等式； ⑥ ，用 表示不等关系，是不等式； 因此是不等式的序号为①②⑤⑥． 12. 反证法证明“钝角三角形中必有一个角小于45°”先应假设______． 【答案】钝角三角形中的两个锐角都大于或等于45° 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即钝角三角形中的两个锐角都大于或等于45°． 故答案为：钝角三角形中的两个锐角都大于或等于45°． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 13. 如果点P（a-1，a+2）向右平移2个单位长度正好落在y轴上，那么点P的坐标为__________． 【答案】(-2，1) 【解析】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减得到点P（a-1+2，a+2），再根据y轴上的点横坐标为0可得a-1+2=0，算出a的值，可得点P的坐标． 【详解】解：根据题意，得：a-1+2=0， 解得：a=-1， ∴点P的坐标为（-2，1）， 故答案为：（-2，1）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了y轴上的点横坐标为0的特征． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为 ，边 与其中一把直尺边缘的交点为 ，点 和 在这把直尺上的刻度数分别是和，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作交 于点 ，结合角平分线的判定定理得平分，结合平行线性质推得，即可根据等角对等边得解． 【详解】解：作交 于点 ， 依题得：，，， 点 在的平分线上，即平分， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的判定定理、平行线的性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 15. 如图，在 中，边 ， 的垂直平分线相交于点P．若，则_______． 【答案】 ##140度 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键． 连接 ，先根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得出，，再根据四边形内角和得出的度数，最后根据角的数量关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接 ， 边 ， 的垂直平分线相交于点P， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为： ． 16. 如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，，点 、点 在 轴上（点 在点 的右侧），且，求四边形周长的最小值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】四边形的周长，其中 、 为定值，因此周长最小等价于的值最小，将 向左平移2个单位得到，再作 关于 轴的对称点，则，当、 、三点共线时取得最小值． 【详解】由两点间距离公式： ， 已知，所以四边形周长的定值部分为， 将点向左平移2个单位，得到， 因为 且， 则四边形是平行四边形，则， 因此， 作点关于 轴的对称点， 则 ， 所以， 根据两点之间线段最短，当、 、三点共线时，取得最小值， ， 因此的最小值为， 所以四边形周长的最小值等于． 三、解答题（本大题共7小题，共52分） 17. 解不等式组：，把它的解集表示在数轴上，并求出不等式组的非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的解集在数轴上表示如下：，不等式组的非负整数解是0，1，2 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示不等式组的解集，再根据数轴确定不等式组的非负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为 不等式组的解集在数轴上表示略 为非负整数 ∴不等式组的非负整数解是0，1，2． 18. 求证：两个全等三角形对应边上的中线相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据题意画出图形，写出已知，求证，然后根据全等三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】已知：如图， ， 、分别是对应边 、的中线． 求证：． 证明：∵， ∴，，， ∵ 、分别是对应边 、的中线， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（顶点是网格线的交点） （1）以格点O为对称中心，画出 关于点O成中心对称的图形（点A，B，C的对应点分别为点）； （2）以点O为旋转中心，将 按逆时针方向旋转 ，得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为） （3）描出线段 上的点D，使 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等且都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对应点即可． （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点即可． （3）利用网格构造等腰直角三角形，得到 角． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：如图所示． 【小问3详解】 解：点D如图所示． 20. 长春市中考体育现场考试成绩标准规定：男子1000米耐力跑用时不超过3分40秒为单项满分．小刚在一次模拟测试时，先以4米/秒的平均速度跑了部分路程，随后开始加速，以6米/秒的平均速度跑完剩余路程．问小刚最多跑多少米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分？ 【答案】小刚最多跑640米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意正确列出不等式是解题的关键．设小刚跑 米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分，根据题意列出不等式，求出 的范围即可解答． 【详解】解：3分40秒秒， 设小刚跑 米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分， 根据题意得：， 解得：， 答：小刚最多跑640米后开始加速才能在本次耐力跑中获得满分． 21. 如图，在 中，． （1）过点 作 的平分线交 于点 （尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若 ，，求 的面积． 【答案】（1）图见解析 （2） 的面积为 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，三角形面积的计算，掌握分割法求三角形面积是解题关键． （1）通过尺规作图作出 的平分线 ； （2）过点 作 的垂线，交 于点 ，利用角平分线的性质得，将 的面积拆分为与的面积和，然后将 、 和代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图， 为 的平分线． 【小问2详解】 解：如图，过点 作 的垂线，交 于点 ， 平分 ，， ， ， ． 答： 的面积为 ． 22. 任务背景：我校在世界读书日启动“书香校园”活动，我班在参与读书活动中，计划购进一些笔记本用于摘抄“好词好句”． 驱动任务：购买笔记本的最省钱方案． 数据信息 信息一 购进A、B两种型号的笔记本． 信息二 已知A型号笔记本12元/个，B型号笔记本8元/个． 问题解决 任务一 我班计划购进A、B两种型号的笔记本共50本，且购买费用不超过528元，则最多可以购买A型号笔记本多少个? 任务二 在满足任务一的条件下，要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，我班购进笔记本的方案有哪几种？哪种方案最省钱？ 【答案】任务一：最多可购买 型笔记本 个；任务二：购买 型笔记本30个， 型笔记本 个；购买 型笔记本31个， 型笔记本个；购买 型笔记本32个， 型笔记本 个；购买 型笔记本30个， 型笔记本 个，最省钱． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 任务一：设购买 型笔记本 个，则购买 型笔记本个，由购买费用不超过528元．列出一元一次不等式求解即可； 任务二：根据要求购买B型号的笔记本数不多于A型号笔记本数的，列出不等式，结合 为正整数，即可得到购买方案，再计算出费用比较即可求解． 【详解】任务一： 解：设购买 型笔记本 个，则购买 型笔记本个， 由题意可得：， 解得：， 答：最多可购买 型笔记本 个； 任务二： 解：由题意可得：， 解得： ， 由任务一知， 则， ∵ 为正整数， ∴或 或 ， ∴有三种购买方案： 购买 型笔记本30个， 型笔记本个，所需费用为（元）； 购买 型笔记本31个， 型笔记本个，所需费用为（元）； 购买 型笔记本32个， 型笔记本个，所需费用为（元）； ∵， ∴购买 型笔记本30个， 型笔记本 个，最省钱． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1， 为等腰三角形，，将 绕点O旋转，得到 ，连接 ，F是AE的中点，连接 ，则　 　°， 与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当 绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到 ，求出此时 的度数及 与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形 中，， ．将 绕点O旋转，得到 ，连接 ，F是 的中点，连接 ．当时，请直接写出 的长． 【答案】（1）90， （2）； （3）或2 【解析】 【分析】（1）证明 为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得 ， ，即可得 ，； （2）根据旋转的性质得，由 平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在 右边时，②当点E在 左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 ∵ 为等腰三角形，， ∴ 为等边三角形， ∵将 绕点O旋转，得到 ， ∴， ∴ 为等边三角形，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，F是 的中点， ∴ ， ∴， 故答案为：90，； 【小问2详解】 由旋转的性质，可知， ∵ 为等边三角形， 平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是 的中点， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 分以下两种情况进行讨论： ①如图1．当点E在 右边时， ∵， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是 的中点， ∴平分 ， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在 左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述， 的长为或2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $