贵州遵义市仁怀市周林高级中学2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题

**基本信息** 高三入学数学试卷立足基础，融合春节促销抽奖（情境时代性）、半正多面体（文化传承）等素材，检测数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、函数性质、数列、向量|单选第7题切线问题（导数应用），多选第9题统计量分析（数据意识）| |填空题|3题/15分|等差数列、三角变换、立体几何体积|第14题半正多面体（空间观念），体现几何直观| |解答题|5题/77分|解三角形、概率统计、解析几何、立体几何、导数|16题促销抽奖方案（模型意识），19题导数证明（推理能力），梯度覆盖基础到创新应用|

2025-2026学年度仁怀市周林高级中学入学考试 高三数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解不等式，可得；所以集合. 对于选项A，已知集合，集合，所以，故选项A正确． 对于选项B，已知集合，集合，所以，故选项B错误． 对于选项C， 已知集合，所以或．显然中的元素不都属于集合，比如的部分，所以，故选项C错误． 对于选项D，由前面分析可知，故选项D错误． 故选A． 2．设，则（ ） A． B． C．3 D． 【解析】由题意可得，则．故选A． 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，；，．所以“”是“”的充要条件．故选C． 4．展开式中的常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在的展开式中，通项．令，得，由题意，得．故选C． 5．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的公比为，由得两式相比，得，解得，所以，从而．故选B． 6．已知函数，则（ ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 【答案】D 【解析】对AB，当时，，其定义域为，，故为偶函数；又，当时，令，因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，故在单调递减，故AB都错误； 对CD，当时，，其定义域为，，故为奇函数；又，当时，均为减函数，故为上的减函数，故为上的增函数，故C错误，D正确． 故选D． 7．过点可作曲线的切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】由，设切点为，则切线的斜率为，切线方程为，该切线过点，于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为．故选B． 另解：令，求的极值． 8．设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由已知，，设（因为需要确定最大值，不妨设），则，于是直线的斜率满足，当且仅当即时取等． 另解：运用数形结合思想． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某县各小学为庆祝“六一”儿童节，县文艺团组织一次表演活动，名裁判对某一节目进行评分，统计结果是平均分为，标准差为，为体现公平性，去掉一个最高分和一个最低分，则（ ） A．中位数不变，且极差变大 B．中位数不变，且极差变小 C．平均分变小，且标准差变大 D．平均分变大，且标准差变小 【答案】BD 【解析】记个评分从小到大依次为，，，…，，，则该组数的中位数为，去掉最高和最低后分后，中位数不变，极差变小，故A错B对． 由于，所以去掉最高分和一个最低分后，平均分变大，由于数据更集中，所以标准差变小，故C错D对． 故选BD． 10．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 【答案】BC 【解析】由两边平方，，因，，故，B正确； 对于A，由得，因，故，A错误； 对于C，由，即，C正确； 对于D，由，得，，D错误． 故选BC． 11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（    ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 【答案】ABD 【解析】不妨设双曲线的标准方程为，将坐标两点代入，得，解得，所以双曲线的标准方程为. 由题意知的焦点在轴上，且，所以，离心率为，A正确； 不妨设点在双曲线的右支上，所以，因为，解得，所以，B正确； ，所以，C错误． 易知渐近线方程为，画图可得，过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点，    其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，，则的公差为 ． 【答案】2 【解析】设公差为，则， 解得，． 13．已知，则 ． 【答案】 【解析】由，得，化为，令，则，，从而 ． 14．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则该多面体的体积为 ，过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 ． 【答案】， 【解析】该多面体的体积为原正方体的体积去掉8个相同的三棱锥的体积，注意到该多面体的原正方体边长为，所以． 根据平面性质知，过A，Q，G三点的平面截得的截面图形是一个边长为1的正六边形ABGPQE，故截面面积为． 四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的内角，，的对边分别为，，，若． （1）求的值； （2）若的面积为，求周长的取值范围． 【解析】（1）∵，由正弦定理可得：，由余弦定理知：，，得，则有，由，解得. （2）中由余弦定理知，又在中有， ∴，化简得，∵，∴. 又，由正弦定理得：，， ，因在中，，，，所以，当时等号成立，∴周长的取值范围是． 16．（本小题满分15分）在2025年春节期间，某实体百货店铺向外公开举办商品促销活动，在全场商品中，顾客只要愿意消费元，即可在下列两个方案中任选一种抽奖一次． 方案①：A号抽奖箱内装有形状、大小、重量完全一样的个蓝球和个白球，每名抽奖顾客从中有放回地随机摸出球．中奖规则为：每摸出个蓝球，减免元． 方案②：B号抽奖箱内装有形状、大小、重量完全一样的个蓝球和个白球，每名抽奖顾客从中无放回地随机摸出球，中奖规则为：若摸出个蓝球，享受免费优惠；若摸出个蓝球，1个白球，则按原价的折优惠；若摸出2个白球，则抵扣现金元. （1）若某顾客消费元，选择抽奖方案①，求该顾客实际支付现金的分布列和期望； （2）若某顾客消费元，请从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方案更划算? 【解析】（1）设实付金额为元，则可能取值为，，，则，，，则的分布列为 所以（元）． （2）若选方案①，设摸到蓝球的个数为，实付金额为，则， 由题意得，故． 所以（元）． 若选方案②，设实付金额为，则的可能取值为，，． 则，，． 所以的分布列为 所以（元），因为，故选择方案②更划算． 17．已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． 【解析】（1）设，据题意知，化简得，所以的方程为． （2）设，，，联立消得， 故，，据题意知且，所以，，由得，所以，解得， 所以直线的方程为．    18．如图，在四棱锥中，平面，，，，点在棱上． （1）当为上靠近点的四等分点时，求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，当为的中点时，求二面角的余弦值． 【解析】（1）如图，连接交于点，连接． 因为，所以∽，所以.因为为上靠近点的四等分点，所以.因为，所以. 因为平面平面，所以平面. （2）因为平面，所以为与底面所成的角，所以.因为，所以.由题意得，又平面，所以两两垂直. 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以. 设平面的法向量为，则，即，令，则.设平面的法向量为，则，即， 令，则.因为，又二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 19．已知函数． （1）若在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）证明：对于，，恒成立． 【解析】（1）．由题意，． （2），令，，，，，，在单调递增，.． ，，在单调递增.，得证． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度仁怀市周林高级中学入学考试 高三数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则（ ） A． B． C．3 D． 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．展开式中的常数项为（ ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（ ） A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增 B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减 C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减 D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增 7．过点可作曲线的切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 8．设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某县各小学为庆祝“六一”儿童节，县文艺团组织一次表演活动，名裁判对某一节目进行评分，统计结果是平均分为，标准差为，为体现公平性，去掉一个最高分和一个最低分，则（ ） A．中位数不变，且极差变大 B．中位数不变，且极差变小 C．平均分变小，且标准差变大 D．平均分变大，且标准差变小 10．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A．与夹角为 B． C． D．与夹角为 11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（    ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为，且，，则的公差为 ． 13．已知，则 ． 14．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则该多面体的体积为 ，过A，Q，G三点的平面截该多面体所得的截面面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知的内角，，的对边分别为，，，若． （1）求的值； （2）若的面积为，求周长的取值范围． 16．（本小题满分15分）在2025年春节期间，某实体百货店铺向外公开举办商品促销活动，在全场商品中，顾客只要愿意消费元，即可在下列两个方案中任选一种抽奖一次． 方案①：A号抽奖箱内装有形状、大小、重量完全一样的个蓝球和个白球，每名抽奖顾客从中有放回地随机摸出球．中奖规则为：每摸出个蓝球，减免元． 方案②：B号抽奖箱内装有形状、大小、重量完全一样的个蓝球和个白球，每名抽奖顾客从中无放回地随机摸出球，中奖规则为：若摸出个蓝球，享受免费优惠；若摸出个蓝球，1个白球，则按原价的折优惠；若摸出2个白球，则抵扣现金元. （1）若某顾客消费元，选择抽奖方案①，求该顾客实际支付现金的分布列和期望； （2）若某顾客消费元，请从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方案更划算? 17．已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程．    18．如图，在四棱锥中，平面，，，，点在棱上． （1）当为上靠近点的四等分点时，求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，当为的中点时，求二面角的余弦值． 19．已知函数，． （1）若在处的切线与直线平行，求实数的值； （2）证明：对于，，恒成立． 1 学科网（北京）股份有限公司 $