精品解析：河南郑州市第八十中学2025—2026学年下学期期中学情调研 八年级数学

2025—2026学年下学期期中学情调研 八年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 在笔直的公路上行驶的汽车 C. 工作中的风力发电机叶片 D. 传输带运输的东西 3. 已知x > y，则下列不等式成立的是(　　) A. x−1< y−1 B. 3x < 3y C. –x < −y D. < 4. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 5. 如图，小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( ) A. B. C. D. 6. 下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A. “直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C. “两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D. “等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 7. 如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为 ，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图函数和的图象相交于，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 9. 两个直角三角板如图摆放，其中， ， ，若是 上一点且 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景．如图，一束光从天花板点射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑．第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为，．已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为，当 ，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点在第二象限，则m的取值范围是______． 12. 用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_____ 13. 如图，，将沿方向平移，得到 ，连接，则阴影部分的周长为 _______． 14. 生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当 时可以得到密码151719，则______． 15. 如图，在长方形中， ，，点是边上一动点，过点作 交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以 为腰的等腰三角形时，则 ________． 三、解答题（共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）因式分解： （2）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为． （1）画出向左平移3个单位长度后的图形． （2）画出关于原点的中心对称图形； （3）求出的面积． 18. 如图，在中，， ，是的角平分线， ，垂足为． （1）已知 ，求的长； （2）求证： ． 19. 如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班． （1）已知该地下通道长度为 ，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线，写出简要的作图方法．(不考虑地面到地下通道地面的高度)． （2）若 ，居民区离地铁线路的距离为 ，工厂离地铁的距离为 ，居民区与工厂的水平距离为 ，请计算居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程(地下通道宽度忽略不计)． 20. 郑州外国语中学为迎接40周年校庆，决定委托设计公司制作、两种纪念章，已知制作3个种纪念章比制作2个种纪念章多花140元，制作4个种纪念章与制作5个种纪念章所需钱数相同． （1）求，两种纪念章每个的价格； （2）设计公司也给出了优惠方案，种纪念章打九折．若学校打算制作，两种纪念章共300个，且种纪念章的个数不多于种纪念章个数的一半，则学校最少要花费多少钱？ 21. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． （1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ① ；②；③；④；⑤． （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． （3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 22. 我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分 ，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． （1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． （2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． （3）探究应用：如图3，在等腰中，，平分 ，猜想、与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中学情调研 八年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到． 2. 数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 在笔直的公路上行驶的汽车 C. 工作中的风力发电机叶片 D. 传输带运输的东西 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 3. 已知x > y，则下列不等式成立的是(　　) A. x−1< y−1 B. 3x < 3y C. –x < −y D. < 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质结合已知条件分析判断即可. 【详解】∵， ∴，故A中不等式不成立； ，故B中不等式不成立； ，故C中不等式成立； 无法确定与的大小关系，故D中不等式不一定成立. 故选C. 【点睛】熟知“不等式的基本性质：（1）在不等式两边同时加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变；（2）在不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；（3）在不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”是解答本题的关键. 4. 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高所在直线的交点 C. 三角形三个内角的角平分线的交点 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：依题意，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 5. 如图，小范将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设新多边形的边数为，根据多边形的外角和等于，新多边形的内角和是其外角和的2倍建立方程，解方程求出新多边形的边数，由此即可得． 【详解】解：设新多边形的边数为， 由题意得：， 解得， 即新多边形的边数为6， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题关键． 6. 下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A. “直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C. “两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D. “等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为 ，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知， ，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 8. 如图函数和的图象相交于，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把点的坐标代入正比例函数求出的值，确定交点坐标，再根据图象找出直线在直线上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵函数过点， ∴，解得， ∴， ∵不等式表示直线在直线的上方， 由图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 9. 两个直角三角板如图摆放，其中， ， ，若是上一点且 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由， ， ，则，，又 ，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵， ， ， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景．如图，一束光从天花板点射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑．第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为，．已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为，当 ，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得， 和 都是等腰三角形，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得，和 都是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选： ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知点在第二象限，则m的取值范围是______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正，本题纵坐标符合要求，据此列出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解： 点在第二象限 横坐标满足 解不等式得 ∴m的取值范围是． 12. 用反证法证明“等腰三角形的底角是锐角”时，首先应假设_____ 【答案】等腰三角形的底角是直角或钝角 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底是直角或钝角”． 【详解】证明：根据反证法的第一步：假设结论不成立设，可以假设“等腰三角形的两底是直角或钝角”． 故答案是：等腰三角形的两底是直角或钝角． 13. 如图，，将沿方向平移，得到 ，连接，则阴影部分的周长为 _______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知： 则 ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：11． 14. 生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当 时可以得到密码151719，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对多项式提取公因式，再根据密码得到因式分解的结果，展开多项式后对应系数相等求出和的值，代入计算 即可． 【详解】解：， 当 时，可以得到密码， 分解后的三个因式为， ，，即分解结果为， ， ，， ． 15. 如图，在长方形中， ，，点是边上一动点，过点作 交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则 ________． 【答案】 或 【解析】 【分析】分两种情形：如图1中，当，过点D作于点J．证明，可得结论．如图2中，当时，利用勾股定理，构建方程求解即可． 【详解】解：如图1中，当，过点D作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴； 如图2中，当时， 设，则， 在中，， 则， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 三、解答题（共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）因式分解： （2）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解； （2）先解不等式，再将不等式的解集表示在数轴上，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 数轴略 17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为． （1）画出向左平移3个单位长度后的图形． （2）画出关于原点的中心对称图形； （3）求出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的点的坐标特点先确定 对应点的位置，然后顺次连接即可． （2）根据关于原点对称的点的坐标特点先确定 对应点的位置，然后顺次连接即可． （3）将三角形所在的长方形减去三个小三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 18. 如图，在中，， ，是的角平分线， ，垂足为． （1）已知 ，求的长； （2）求证： ． 【答案】（1） （2）证明 是的角平分线， ， ， ， ， ， ． ． ． ， ， ． ． ． ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可知 ，由于 ，可推出 ，则可得 ，由勾股定理得可得，即可求得的值． （2）是的角平分线， ， 可得 ， ， 则证得 ，并推出 ，结合 即可证得结论． 【小问1详解】 解： 是的角平分线， ， ， ． ， ， ． ． ． 由勾股定理得，， 【小问2详解】 略 19. 如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班． （1）已知该地下通道长度为 ，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短？请画出这条最短路线，写出简要的作图方法．(不考虑地面到地下通道地面的高度)． （2）若 ，居民区离地铁线路的距离为 ，工厂离地铁的距离为 ，居民区与工厂的水平距离为 ，请计算居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程(地下通道宽度忽略不计)． 【答案】（1） 将居民区向右平移 得到，连接 交于点，在上点的左侧，截取 ，连接，则 即为最短路线 （2）居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程为 米 【解析】 【分析】（1）由居民区经过地下通道到工厂的最短路程中地下通道是定值，将平移至 ，根据两点之间线段最短，可得 的长为居民区和工厂到铁路线的最短距离，故作图方法为：将居民区向右平移 得到，连接 交于点，在上点的左侧，截取 ，连接，则四边形 是平行四边形， 即为最短路线； （2）过点作于点，根据题意得出各线段长，根据勾股定理求得 的长，进而加上地下通道的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 依题意， ， ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴最短路线长为： （米）， 答：居民经过该地下通道去工厂上班的最短路程为 米． 20. 郑州外国语中学为迎接40周年校庆，决定委托设计公司制作、两种纪念章，已知制作3个种纪念章比制作2个种纪念章多花140元，制作4个种纪念章与制作5个种纪念章所需钱数相同． （1）求，两种纪念章每个的价格； （2）设计公司也给出了优惠方案，种纪念章打九折．若学校打算制作，两种纪念章共300个，且种纪念章的个数不多于种纪念章个数的一半，则学校最少要花费多少钱？ 【答案】（1）每个种纪念章的价格为100元，每个种纪念章的价格为80元 （2）最少花费26000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可； （2）设购买A种奖品a个，则购买B种奖品个，根据B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，即可列出关于a的一元一次不等式，从而可求出a的取值范围．设购买奖品的总花费为w元，根据题意可求出w与a的关系式，最后由一次函数的性质即得出答案． 【小问1详解】 解：设每个种纪念章的价格为元，每个种纪念章价格为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：每个种纪念章的价格为100元，每个种纪念章的价格为80元； 【小问2详解】 解：设购买种奖品个，则购买种奖品个， 根据题意，得：，解得：． 设购买奖品的总花费为 元， 根据题意，得：， ， 随着的增大而增大． 当 时， 取得最小值，． 答：该公司最少花费26000元． 21. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． （1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ① ；②；③；④；⑤． （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． （3）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】（1）①③④⑤ （2）画图见解析， （3）9或21或12 【解析】 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【小问1详解】 解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 【小问2详解】 解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 22. 我们定义：如图1，在四边形中，如果，，对角线平分 ，那么我们称这种四边形为“分角对补四边形”． （1）特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要知识直接可得，这个知识是______(填序号)． ①垂线段最短；②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理． （2）猜想论证：如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并证明． （3）探究应用：如图3，在等腰中，，平分 ，猜想、与的数量关系，并证明． 【答案】（1）③ （2），理由如下： 如图2中，作交的延长线于点E，于点F， ∵平分 ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴； （3） ， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵ ，，, ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 由（2）的结论得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交的延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到 ，根据等腰三角形的判定定理得到 ，结合图形证明即可． 【小问1详解】 解：∵平分，，， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $