贵州遵义市仁怀市周林高级中学2025-2026学年高二上学期1月份考试数学试卷

**基本信息** 结合净水机过滤（生活应用）、将军饮马（文化传承）等情境，覆盖高二数学核心知识，梯度设计适配期末综合检测，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单+多）|11题58分|集合、复数、统计、函数图像、概率|第6题以净水机过滤为背景，考查指数函数应用；第9题结合硬币抛掷，深化独立事件理解| |填空|3题15分|向量、双曲线、解析几何|第14题引用《古从军行》，将“将军饮马”转化为最短路径问题，体现文化与数学融合| |解答|5题77分|统计、立体几何、圆、椭圆|16题立体几何三问层层递进，考查线面平行、二面角及存在性问题，强化逻辑推理；19题椭圆综合题，关联斜率关系与定点探究，对接高考命题趋势|

2025-2026学年度贵州省仁怀市周林高中1月份考试 高二数学试卷 本试卷共 19 题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.若集合,集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知复数满足,则的虚部是( ) A. B. C. D. 3.设一组样本数据,,…,的极差为,方差为,若数据,,…,的极差为,则数据,,…,的方差为( ) A. B. C. D. 4.函数的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 5.“,关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A. B. C. D. 6.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的 棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质,假设每一层棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质含量为80mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L,则棉滤芯的层数最少为(参考数据:,)( ) A. 9 B.8 C.7 D.6 7.已知函数.若在上单调递增,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知,,,则( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每个小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 9.(多选)分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件,“第二枚反面朝上”为事件,“两枚硬币朝上的面相同”为事件,则 ( ) A. B.事件与事件互斥 C.事件与事件对立 D.事件与事件相互独立 10.(多选)已知正数,满足,则下列说法一定正确的是( ) A. B. C. D. 11.(多选)已知直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于,两点,过,两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为,,则下列说法正确的是( ) A.抛物线的方程为 B.线段的中点到y轴的距离为 C.线段的长度为 D. 11.(多选)已知圆:与圆相交于,两点,直线,点为直线上一动点,过作圆的切线,,(,为切点),则说法正确的是( ) A.直线的方程为 B.线段的长为 C.直线过定点 D.的最小值是 三、填空题:本题共3小题,每题5分,共15分。 12.已知向量,.若,则 . 13.设双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与圆 相切,切点为,延长交的右支于点,且,则的离心 率为 . 14.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设将军出发点是,军营所在位置为,河岸所在直线方程为,则将军从出发点到河边饮马,再回到军营的总路程最短为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)2023年10月22日,汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行,志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障,襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作,随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同. (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和25%分位数; (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人, 担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩 的平均数和方差分别为62和40,第四组面试者的面试成绩的 平均数和方差分别为80和70,据此估计这次第二组和第四组 面试者所有人的方差. 16.(15分)如图,在四棱锥中,平面,为等边三角形,,,,分别为棱,的中点. (1)求证平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值; (3)在棱上是否存在点,使得平面AEF?若存在, 求的值,若不存在,说明理由. 17.(15分)如图,在四棱柱中,平面,, ,,为线段的中点,再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①:;条件②:. (1)求直线与所成角的余弦值; (2)求点到平面的距离; (3)已知点在线段上,直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长. 18.(17分)如图,在平面直角坐标系中,已知圆,圆. (1)若过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程; (2)设动圆同时平分圆,的周长. ①证明:动圆圆心在一条定直线上运动; ②动圆是否经过定点?若经过,求出定点 的坐标;若不经过,请说明理由. 19.(17分)已知椭圆,椭圆上有四个动点当,,,,,与相交于点,如图所示. (1)当,恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时, 试探究:直线与的斜率之积是否为定值?若为定值, 请求出该定值;否则,请说明理由; (2)若点的坐标为,求直线的斜率. 1 学科网(北京)股份有限公司 $