精品解析：山东烟台市某校（五四制）2025-2026学年上学期九年级 阶段测试数学试题（9月）

2025-2026学年度第一学期质量检测 九年级数学试题 （时间：120分钟，满分：120分） 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理．根据题意画图，由，设，，利用勾股定理求出，根据正切定义求解即可． 【详解】解：由题意可画图如下： 在中，，， ． 设，，则， ， 故选：A． 2. 在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 3. 中，，，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数，三角形内角和定理，先设的度数为x，则的度数为，根据题意得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解：设的度数为x，则的度数为， 所以， 解得， 所以，， 所以． 故选：C． 4. 函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A. x＞ B. x≠ C. x≠且x≠0 D. x＜ 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：2x﹣3≠0， 解得：x≠． 故选B． 【点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 5. 下列表达式中，y是x的二次函数的个数（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，形如的函数叫二次函数．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：①，y不是x的二次函数； ②，整理后，不含x的二次项，y不是x二次函数； ③，y不是x的二次函数； ④，y是x的二次函数； 故选：A． 6. 若是二次函数，则的值为（ ） A. 2 B. -1 C. -1或2 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到且m+1≠0，由此求得m的值． 【详解】∵函数是二次函数， ∴且m+1≠0， 解得m=2. 故选A. 【点睛】此题考查二次函数的定义，解题关键在于掌握二次函数的幂为2，系数不等于0. 7. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴的方法．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即：y轴． 故选：C． 8. 若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】解：按下键，再按键，再按下0.1890即可，A项符合题意 故选：A． 9. 如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，则，设，则，然后通过勾股定理求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故选：． 10. 某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A. 24.1 B. 23.7 C. 18.1 D. 20.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交直线于点，在中利用坡度的定义求得的长，则即可求得，然后在直角中利用三角函数求得的长，进而求得的长. 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米)， 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11. 在中，若，，都是锐角，则是___________三角形． 【答案】等腰直角 【解析】 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 12. 如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．圆增加的面积=新圆的面积半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可． 【详解】解：新圆的面积为， ∴． 故答案为． 13. 若二次函数，则此二次函数图象的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数对称轴．根据二次函数的顶点式写出对称轴即可． 【详解】解：二次函数，图象的对称轴是直线， 故答案为：直线． 14. 如图，某一时刻某海域有两艘自西向东航行的渔政执法船．（船B在船A的正东方向），此时船A测得在其东北方向30海里处有一渔船C．同时船B测得渔船C在它的北偏东的方向，则两船相距_______海里．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，过点C作于点D，利用，计算解题即可． 【详解】解：过点C作于点D， 根据题意可得，海里，， 在中，海里， 在中，海里， ∴海里， 故答案为：． 15. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得，， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，， 故答案为： ． 16. 教学楼前有一棵大树，小强用一块含有的直角三角尺测量这棵树的高度，示意图如图所示，已知，小强的眼睛与地面之间的垂直高度为，小强与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为______．（结果精确到，参考数据：） 【答案】8.6 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，在中，利用三角函数求出的长，再利用进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：8.6． 三、解答题 （本题共计7小题，共计72分 ） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，在中，，垂足为，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】（）运用正弦函数、余弦函数解直角三角形即可； （）先求出的长，然后由勾股定理求出的长，再根据正弦的定义即可解答； 本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦、余弦的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ∴， 在中，，， ，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 19. 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为，且两边的摆动角度相同，如图所示，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．（结果精确到，参考数据） 【答案】它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．先根据三角函数求出,再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， 答：它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为． 20. 已知二次函数的图象与直线交于点． （1）求a和b的值； （2）当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ （3）求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】（1），． （2）当时，二次函数的函数值随的增大而增大． （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； 【小问3详解】 解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 21. 如图，位于大同街的钟鼓楼曾是民国时期徐州的最高建筑，某校综合实践小组利用测角仪测量钟鼓楼的高度，测角仪的目镜距离地面，他们在地面处测得钟鼓楼顶部的仰角为，然后沿地面前进至点处，测得点的仰角为，已知． （1）求的长（结果保留根号）； （2）求钟鼓楼的高度（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】（1）长 （2）钟鼓楼的高度为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由三角形外角定理，可求出，根据锐角三角函数，可求、的长，即可求解， （2）由的长，根据锐角三角函数求得的长，再加上的长度，即可求解， 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：将实际问题转化成数学问题． 【小问1详解】 如图，过点作于点， 在中，，， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：长， 【小问2详解】 在中，，， ， ， ， 故答案为：钟鼓楼的高度为． 22. 五一假期，不少人选择乘坐飞机出游．妈妈和小明从航站楼入口点处前往登机口点处登机．已知点位于点东北方向且米．点的正东方向有另一入口点，商店位于点的正北方向，同时位于点的南偏东，米． （1）求两个入口的距离；（结果保留根号） （2）妈妈和小明到达航站楼时间为上午9：00，登机时间为9：30.妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店处逛逛，他们沿路线行走，步行速度为60米/分，在商店处逗留25分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？（参考数据：，） 【答案】（1）米 （2）能 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，，解、求得、，即可求解； （2）通过解，求得、，进而求得，根据“时间=路程速度”求得整个行走的时间，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ， 在中，，， （米）， 在中，，， （米）， （米）， 答：两个入口的距离为米． 【小问2详解】 解：在中，，， （米）， 在中，，， （米）， 四边形是矩形， （米）， （米）， ， 妈妈和小明可以能准时登机． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边可绕点O开合，在边上有一固定点P，支柱可绕点P转动，边上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得的长为，为，支柱为． （1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求的度数； （2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点P作于点D，设，则，由勾股定理可得方程，解方程得到，则，据此可得答案； （2）过点P作于点H，解直角三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点P作于点D，设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：如图所示，过点P作于点H， 在中，， ， 在中，由勾股定理得， ∴， ， 答：相邻两个卡孔的间距为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期质量检测 九年级数学试题 （时间：120分钟，满分：120分） 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1. 在中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，，则的值（ ） A. B. C. D. 4. 函数y=中，自变量x的取值范围为（　　） A. x＞ B. x≠ C. x≠且x≠0 D. x＜ 5. 下列表达式中，y是x的二次函数的个数（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若是二次函数，则的值为（ ） A. 2 B. -1 C. -1或2 D. 以上都不对 7. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，垂足为，若 ，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A. 24.1 B. 23.7 C. 18.1 D. 20.2 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11. 在中，若，，都是锐角，则是___________三角形． 12. 如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是____． 13. 若二次函数，则此二次函数图象的对称轴是______． 14. 如图，某一时刻某海域有两艘自西向东航行的渔政执法船．（船B在船A的正东方向），此时船A测得在其东北方向30海里处有一渔船C．同时船B测得渔船C在它的北偏东的方向，则两船相距_______海里．（结果保留根号） 15. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 16. 教学楼前有一棵大树，小强用一块含有的直角三角尺测量这棵树的高度，示意图如图所示，已知，小强的眼睛与地面之间的垂直高度为，小强与树之间的水平距离为，则这棵树的高度约为______．（结果精确到，参考数据：） 三、解答题 （本题共计7小题，共计72分 ） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，在中，，垂足为，，，． （1）求和的长； （2）求的值． 19. 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为，且两边的摆动角度相同，如图所示，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．（结果精确到，参考数据） 20. 已知二次函数的图象与直线交于点． （1）求a和b的值； （2）当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ （3）求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 21. 如图，位于大同街的钟鼓楼曾是民国时期徐州的最高建筑，某校综合实践小组利用测角仪测量钟鼓楼的高度，测角仪的目镜距离地面，他们在地面处测得钟鼓楼顶部的仰角为，然后沿地面前进至点处，测得点的仰角为，已知． （1）求的长（结果保留根号）； （2）求钟鼓楼的高度（结果精确到）．（参考数据：，） 22. 五一假期，不少人选择乘坐飞机出游．妈妈和小明从航站楼入口点处前往登机口点处登机．已知点位于点东北方向且米．点的正东方向有另一入口点，商店位于点的正北方向，同时位于点的南偏东，米． （1）求两个入口的距离；（结果保留根号） （2）妈妈和小明到达航站楼时间为上午9：00，登机时间为9：30.妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店处逛逛，他们沿路线行走，步行速度为60米/分，在商店处逗留25分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？（参考数据：，） 23. 如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边可绕点O开合，在边上有一固定点P，支柱可绕点P转动，边上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N．当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得的长为，为，支柱为． （1）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求的度数； （2）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $