精品解析：2026年河南省平顶山市叶县第二教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100 分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 3. 国家统计局发布数据显示，截至2026年1月底，我国太阳能发电装机容量约亿千瓦，同比增长；风电装机容量约亿千瓦，同比增长．新能源发电装机规模约亿千瓦，占全国电力总装机规模以上，已超过煤电装机，其中数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则，逐一判断选项即可 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，运算符合同底数幂除法法则， D正确 5. 如图，点，，分别是各边上的中点， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到， 是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴， 是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 6. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 明天北京会下雨 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是0 D. 如果 ，那么 【答案】D 【解析】 【分析】先明确必然事件的定义，必然事件是指一定会发生的事件，根据定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A明天北京是否下雨不确定，是随机事件； B车辆随机到达路口，遇到绿灯是不确定事件，属于随机事件； C正方体骰子的点数为，不存在点数0，因此向上一面点数为0是不可能事件； D根据等式的基本性质，若 ，则等式两边同时加1，等式仍然成立，即一定成立，是必然事件； 故选：D． 7. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 8. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出所有等可能的结果数和“”回到格子A的结果数，利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：如图，一共有4种等可能情况，最后回到A的情况有2种， ∴“”回到格子A的概率是． 9. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长 交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接 ，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接 ， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3 分，共15 分） 11. 写出一个比大的实数：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．根据，可得，因此，即可写出比大的实数． 【详解】解：， ， ， 比大的实数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式 ，得  ； 解不等式 ，得 ． 所以不等式组的解集是 ． 故答案为：． 13. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________ ． 【答案】97 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 14. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______． 【答案】99 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 15. 如图，在中， ，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与 相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与 相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与 相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与 相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则 ， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为 ； 故答案为：； ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与化简： （1）计算：． （2）先化简：，再从，0，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】（1） （2）；当时，原式；当 时，原式． 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：， ∵分式要有意义， ∴， ∴ 且 ， ∴当时，原式； 当 时，原式． 17. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】（1）60 （2）85，36 （3）900 【解析】 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键； （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）由（1）（2）及题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生． 【小问2详解】 解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ； 故答案为85，36． 【小问3详解】 解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 18. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，， ， ， ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作 ，垂足为点E，则四边形为矩形，可得，解 求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点A作 ，垂足为点E． ∵线段和都与地面垂直， ∴四边形为矩形， ∴． 在 中，， ∴． 在中，， ． 答：的长为． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是 的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出 ．即可求解； 【小问1详解】 解：， ． 由作图可知，是 的角平分线， ． 【小问2详解】 解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 20. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元 （2）该游客最多购买11个A种挂件 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； 【小问2详解】 解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 21. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点， ，且 ，连接． （1）求证：与相切； （2）若 ， ，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得 ，进而证明 ，推出 ，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得 ，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若 ，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形 区域内（包括边界），且点在 和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： ∵ ，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将 代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将 代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在 和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点 时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 ∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵正方形 ， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在 和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点 时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将 代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 23. 在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接DE． （1）如图1， 求 的度数； （2）如图2， ，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接 ．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3， 连接．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转（得线段 ，连接，作 交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将 沿所在直线翻折到 所在的平面内，得，连接 ，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 如图，连接 ， ∵ ，， ∴ ． 由旋转知，，， ∴，即 ， ∴ ， ∴， ∴， ， ∴ ． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ，． ∵点是的中点，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ，即 ． ∵点F是的中点，， ∴ ， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，即 ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可判定是等边三角形，利用等边三角形和旋转的性质即可求解． （2）连接 ，根据题意可得 ，由旋转的性质可得，，进而证明，再利用全等三角形和等边对等角可得，即 ，，进而结合等腰直角三角形的性质可证 ． （3）解：取中点， 中点 ，连接 ，利用旋转和等边三角形的性质可得，即 ．由点 为固定点， ，得点在过 点且垂直于 的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点 重合时，最小，，故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当 依次共线时，取最大值，连接，过点作 于点，过点作 于点 ，利用相似三角形和全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取中点， 中点 ，连接 ， ∵，， ∴ ， ， ， ∴ ． ∵ 是 中点， ∴ ， ∴ ． 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ∴ ， ∴， ∴ ． 由点 为固定点， ，得点在过 点且垂直于 的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点 重合时，最小，如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当 依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作 于点，过点作 于点 ， 由旋转知 ，， ∴是等边三角形， ∴ ，． ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ． ∵，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∴． ∵为 中点， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∴． ∵ ， ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴，， 解得， ∴． ∵ ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研 数学 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100 分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 国家统计局发布数据显示，截至2026年1月底，我国太阳能发电装机容量约亿千瓦，同比增长；风电装机容量约亿千瓦，同比增长．新能源发电装机规模约亿千瓦，占全国电力总装机规模以上，已超过煤电装机，其中数据“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点， ，分别是各边上的中点， ，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 明天北京会下雨 B. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 C. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是0 D. 如果 ，那么 7. 已知是关于 的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形 的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形 所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与 轴平行或垂直，且满足，点， ， ， 均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3 分，共15 分） 11. 写出一个比大的实数：_______． 12. 不等式组的解集是_____． 13. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________ ． 14. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______． 15. 如图，在中， ，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与化简： （1）计算：． （2）先化简：，再从，0，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 17. 跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65 70 73 80 85 95 96 96 98 组别 次数 （单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； （3）若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 18. 某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，， ， ， ． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交 于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 21. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点， ，且 ，连接． （1）求证：与相切； （2）若 ， ，求 的长． 22. 用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 ，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若 ，在水面上有一个截面宽，高的矩形 的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形 区域内（包括边界），且点在 和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 23. 在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接DE． （1）如图1， 求 的度数； （2）如图2， ，过点作，交的延长线于 ，连接．点是的中点，点 是的中点，连接 ．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3， 连接．点从点 移动到点 过程中，将 绕点 逆时针旋转（得线段 ，连接 ，作 交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到 所在的平面内，得，连接 ，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $