4.6 第2课时 作垂直平分线和角平分线课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，涵盖作垂线、已知底边及高作等腰三角形等应用。通过“说一说”引导学生依据垂直平分线逆定理思考作图依据，以性质定理为支架连接定义与操作步骤，构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动（如“如何过点作垂线”）结合原理探究（强调弧半径需大于线段一半的理由），培养数学思维中的推理意识。通过公共汽车站选址等实际问题体现数学眼光观察现实世界，用规范几何语言表述作法。帮助学生掌握作图逻辑，教师可借助例题和小结提升教学效率。

4.6 第2课时 作垂直平分线和角平分线 32100 1.能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线． 2.能够利用直尺和圆规作已知直线的垂线． 3.会在已知三角形底边及底边上的高线的条件下 作等腰三角形，会作一个角的平分线. 4.通过作线段的垂直平分线去解决实际问题. 学习目标 32100 线段的垂直平分线 定义 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 性质定理 文字语言： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 数学语言：若点P在线段AB的垂直平分线上(AC=BC，PC⊥AB)，则PA=PB 性质定理的逆定理 文字语言： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 数学语言： 如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 复习导入 32100 说一说：已知线段 AB，如果要作线段 AB的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？ 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段AB的垂直平分线. A B 32100 作法： (1)分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画弧，两弧相交于点C 和点D； ②过点 C，D 作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线. A B C D 为什么？ 如果画的弧小于AB的长，那么两弧没有交点； 如果画的弧等于AB的长，那么两弧只有一个交点. D 【例1】作一条线段的垂直平分线. 如图，已知线段AB.求作线段AB的垂直平分线. 典型例题 32100 5 因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点. A B C D 32100 6 想一想：如何用尺规过一点P作已知直线l的垂线呢？ 若能找到直线l上一条线段AB，使AB的的垂直平分线经过点P，则该垂直平分线就是所求作的直线. 点P与已知直线l的位置关系有两种: P l P l 点P在直线l上 点P在直线l外 新知讲解 32100 7 (1)点P在直线l上. ①以点P为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线l于点A，B； ②分别以A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C； ③过点C，P作直线CP,则直线CP为所求作的直线. l P A B C 32100 8 (2)点P在直线l外. ①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的长度为半径画圆弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，以相同长度(大于AB的长)为半径画圆弧，两弧相交于点C； ③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线. A B C P l 32100 9 【例2】已知底边及底边上的高线作等腰三角形. 如图，已知线段a，b. 求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. 分析：由于等腰△ABC的底边BC上的高线AD也是底边上的中线，从而直线AD是底边的垂直平分线，因此，首先作出该等腰三角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h的线段就可确定三角形的另一个顶点. · · · · h a 典型例题 32100 作法： (1)作线段BC=a; 【例2】已知底边及底边上的高线作等腰三角形. 如图，已知线段a，b. 求作△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h. (2)作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D; (3)在射线DM(或DN)上截取线段DA，使DA=h； (4)连接AB，AC，则△ABC为所求作的等腰三角形(如图). · · · · h a A D C B N M · · · · 32100 【例3】求作一个角的平分线. 如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线. 分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB的顶点O为顶点，两腰分别在射线OA，OB上，构造等腰△ODE，然后过点O作底边DE的垂直平分线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线. A B O 32100 【例3】求作一个角的平分线. 如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线. A B O A B O D E C · (2)分别以点D，E为圆心，以相同长度(大于DE的长)为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C； 作法: (1)以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与OA，OB交于点D，E，连接DE； (3)作射线 OC，则OC为所求作的∠AOB的平分线（如图). 说一说：为什么OC是∠AOB的平分线？ 提示：角内部的全等三角形. 32100 1.在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　） A.∠A的平分线 B. AC边的中线 C. AB边上的高线 D. AB边的垂直平分线 D 随堂小练 基础练习 32100 14 2.如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以AB的垂直平分线与公路的交点便是. A B 公共汽车站 解：如图，点P即为公共汽车站应建的位置. P 随堂小练 基础练习 32100 15 3.如图，作出等腰△ABC的边BC上的高. A B C 解：如图. 随堂小练 基础练习 32100 ①作已知线段的垂直平分线 本节课你学到了哪些作图？ 在作线段的垂直平分线的过程中，弧的半径一定要大于已知线段长的一半. 课堂小结 32100 ②过一点P作已知直线l的垂线 规定“以大于已知线段的一半 (AB) 的长为半径”是两弧有两个交点的前提；两弧的交点到线段的两个端点的距离相等. 课堂小结 32100 ③已知底边及底边上的高线作等腰三角形 作图依据：等腰三角形的三线合一. 作图思路：运用“作一条线段等于已知线段”和“作线段的垂直平分线”的基本作图方法. 课堂小结 32100 ④作一个角的平分线 注意：“ 以大于DE 的长为半径画弧”是因为若以小于DE的长为半径画弧，画出的两弧不能相交； “作射线OC”不能叙述为“ 连接OC”，因为角的平分线是射线而不是线段. 课堂小结 32100 $