5.4.1角平分线的性质定理 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质定理”，通过折纸、量角器画角平分线等直观操作导入，过渡到实际材料无法对折的问题，再结合角平分仪原理（SSS全等）引导探究，构建从直观到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以“问题链-猜想-验证-应用”流程培养几何直观与推理意识，如探究中作垂线验证PD=PE，例题结合面积计算与全等证明。分层练习覆盖基础到综合，小结提炼“三要素”解题技巧，助力学生提升逻辑推理和应用能力，为教师提供系统教学资源。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 5.4.1角平分线的性质定理 第5章 直角三角形 5.4.1 角平分线的性质定理 练习题 核心知识点：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。几何语言：若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，则PM=PN。定理使用前提：点在角平分线上、垂直角的两边、垂线段长度相等。常用于求线段长度、证明线段相等、转化距离问题，是几何证明高频考点。 一、基础填空题 1. 角平分线上的点到角两边的________相等。 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=4cm，则PE=______cm。 3. 在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为______。 二、单项选择题 4. 下列关于角平分线性质的说法正确的是（） A. 任意一点到角两边距离相等 B. 角平分线上的任意点到角两边距离相等 C. 角平分线上的点到角顶点距离相等 D. 角内点都能使用该定理 5. 已知OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，PA=5，则PB的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 三、基础解答证明题 6. 已知：如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：DB=DC。 7. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若AB=8，BC=6，DE=3，求△ABC的面积。 四、综合应用题 8. 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，AC=AE。求证：CD=DE。 参考答案与解析 1. 距离 解析：直接考查角平分线性质定理文字定义。 2. 4 解析：点P在角平分线上，到角两边垂线段相等，PE=PD=4cm。 3. 4 解析：CD=BC-BD=10-6=4，AD是角平分线，D到AB距离=CD=4。 4. B 解析：定理核心：点在角平分线上，垂线段距离相等，其余选项条件不满足。 5. C 解析：OP为角平分线，PA、PB为两边垂线段，故PB=PA=5。 6. 证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DB=DC。 7. 解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF=DE=3。S△ABC=S△ABD+S△BCD=$$\frac12\times8\times3+\frac12\times6\times3=12+9=21$$。答：△ABC面积为21。 8. 证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，根据角平分线的性质定理，可得CD=DE。得证。 练习小结：使用角平分线性质定理的三要素：①点在角平分线上；②过点向角两边作垂线；③垂线段相等。解题技巧：看到角平分线+垂直，直接转化线段长度，无需反复证全等，简化解题步骤，是八年级几何快速解题的关键。 学习目标 1.探究并掌握角平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 3. 学习目标 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB = AD，BC = DC.将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线， 你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是 SSS，两全等三角形的 对应角相等. 角平分线的性质 A O B P D E C 探究 在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，作 PD ⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 猜想： PD = PE 如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD = PE. 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO(角角边). ∴ PD = PE. 验证猜想 A O B P D E C 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 要点归纳 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 A O B P D E C ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 应用格式： 注意事项：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏. A O B P D E C 判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 BD ＝CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C 例1 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (斜边、直角边). ∴ EB = FC. 典例精析 例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 1. 应用角平分线的性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质： 面积 周长 条件 角平分线的性质 方法归纳 1. 如图，为 的平分线， ，，垂足分别是, ,则 下列结论不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 14 2．[娄底市期末]如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是________． 4 考试考法 15 返回 考试考法 返回 8 考试考法 17 4．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO.若∠AOD＝55°，则∠BAC＝(　　) A．35° B．55° C．60° D．70° D 考试考法 18 返回 考试考法 5. 如图，，， 分别平分 ，，过点，且与垂直，若 ， ，则四边形的面积是____ . 40 返回 考试考法 20 6. 如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC＝10 cm2，则S△ABC等于(　　) A．20 cm2 B．30 cm2 C．25 cm2 D．不能确定 A 考试考法 21 7. 如图，在等腰三 角形中，， ， 为的中点，点在 上， ， 若是等腰三角形 的 或 腰上的一点，则当是以 为腰的等腰三角形时， 的度数是_____________. 考试考法 22 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 【点拨】如图，过点D作DF⊥AC于点F.因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF＝DE＝2.因为△ABC的面积是10，CDBD＝23，所以S△ADC＝S△ABC＝×10＝4，所以S△ADC＝AC·DF＝AC×2＝4，解得AC＝4. 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以点A为圆心，任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，则△BFG的周长等于________cm. 【点拨】因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠ODA＝∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，所以△BOD≌△COE(角角边)，所以OD＝OE.又因为CD⊥AB，BE⊥AC，点O在∠BAC的内部，所以AO平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠OAB.因为∠ODA＝90°，∠AOD＝55°，所以∠OAB＝90°－55°＝35°，所以∠BAC＝2×35°＝70°，故选D. $