4.1.2三角形的高、中线和角平分线 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线和角平分线，系统讲解定义、画法、性质及应用。通过“什么是三角形的高”等问题导入，结合折纸、画图等动手操作，衔接三角形基本概念，构建几何入门知识支架。 其亮点是分层设计（基础到培优）、易错辨析（如高是线段非直线）及典例精析（等面积法求高、中线周长计算）。通过对比不同三角形高的位置培养几何直观，中线面积推理提升运算能力，规范解答强化数学语言表达。助力学生夯实基础、提升解题能力，为教师提供系统教学资源和清晰思路。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.1.2三角形的高、中线和角平分线 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.1.2 三角形的高、中线和角平分线同步讲义与练习 本节核心考点：掌握三角形三条重要线段（高、中线、角平分线）的定义、画法与性质；利用中线求边长、周长、面积；利用角平分线求角度；区分不同三角形高线的位置，是几何入门核心基础考点。 一、核心知识点精讲 1. 三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 核心性质： ① 每个三角形都有三条高； ② 三条高所在直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 不同三角形高的位置（必考区分）： ① 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ② 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部（斜边上的高）； ③ 钝角三角形：钝角所对边上的高在内部，另外两条高在三角形外部（需延长对边作图）。 重要结论：三角形的高是线段，不是直线、射线。 2. 三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 核心性质： ① 每个三角形有三条中线，都在三角形内部； ② 三条中线交于一点，叫做三角形的重心； ③ 中线等分面积：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（考试超级高频）； ④ 重心性质：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。 3. 三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。 核心性质： ① 每个三角形有三条角平分线，全部在三角形内部； ② 三条角平分线交于一点，叫做三角形的内心； ③ 角平分线上的点到角两边的距离相等。 4. 三大线段易错辨析（必考判断） 1. 高、中线、角平分线都是线段，不是直线、射线； 2. 只有钝角三角形有高在外部，锐角、直角三角形高均不外漏； 3. 中线只平分面积，不平分角度；角平分线只平分角度，不平分边长和面积。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列关于三角形高的说法正确的是（） A. 三角形的高是直线 B. 任意三角形都有三条高 C. 钝角三角形没有高 D. 直角三角形只有一条高 2. 三角形的中线是（） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 垂线 3. 能把三角形分成两个面积相等的三角形的线段是（） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 任意线段 4. 钝角三角形的高在三角形内部的有（） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 5. 三角形的三条角平分线的交点是（） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 中点 6. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC面积为20，则△ABD的面积为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 直角三角形的两条________互为高。 8. 三角形三条中线的交点叫做________。 9. 已知AD是△ABC的中线，BC=8，则BD=________。 10. 锐角三角形的三条高都在三角形________。 11. 若AE是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，则∠BAE=________°。 12. 三角形的三条高所在直线的交点叫做________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础概念解答： （1）简述锐角、直角、钝角三角形高线的位置区别； （2）说明三角形中线的核心作用。 14.（18分）中线周长与面积计算： 在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=7，AC=5，△ABD周长为18，求△ACD的周长。 15.（18分）角度计算： 在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=30°，∠C=70°，求∠CAE与∠CAD的度数。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（三角形都有三条高；高是线段；直角三角形两条直角边为高）； 2.C（三角形的高、中线、角平分线均为线段）； 3.B（中线等分三角形面积，是固定性质）； 4.B（钝角三角形仅钝角对边的高在内部，另外两条在外部）； 5.C（角平分线交点为内心，中线交点为重心，高线交点为垂心）； 6.B（中线平分面积，20÷2=10）。 二、填空题 7. 直角边 8. 重心 9. 4（中线平分对边，BD=BC÷2=4） 10. 内部 11. 40（角平分线平分内角，80°÷2=40°） 12. 垂心 三、解答题 13. 解： （1）锐角三角形三条高全部在三角形内部；直角三角形两条直角边为高，一条高在内部；钝角三角形一条高在内部，两条高在三角形外部。 （2）①平分对边边长；②将三角形分成面积相等的两个小三角形，常用于面积计算与转化。 14. 解： ∵AD是BC中线，∴BD=CD， △ABD周长=AB+BD+AD=18，AB=7，∴BD+AD=11， △ACD周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=5+11=16。 答：△ACD周长为18。 15. 解： ∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°-30°-70°=80°， ∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=80°÷2=40°， ∵AD是高，∴∠ADC=90°， 在△ADC中，∠CAD=180°-90°-70°=20°。 答：∠CAE=40°，∠CAD=20°。 本节易错必记 1. 高、中线、角平分线都是线段，考试选择题高频挖坑； 2. 钝角三角形有两条高在外部，画图题极易漏画、错画； 3. 中线只平分面积、平分边长，不平分角度；角平分线只平分角度； 4. 直角三角形高线不要误以为只有一条，实际共三条； 5. 重心、垂心、内心名称严禁混淆，对应不同线段交点。 学习目标 1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念 2.会用工具正确画出三角形的高、角平分线与中线； 3.学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自 主探究意识，并培养动手实践能力. 学习目标 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠AHB = ∠AHC = 90° A B C H 垂足 注意：标明垂直记号和垂足的字母. 高 三角形的高 1 ② AH⊥BC，垂足为 H； ③ 点 H 在 BC 上，且∠AHB = 90° (或∠AHC = 90°). ① AH 是△ABC 的高； A B C H 高的描述方法（如图）：有三种 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系? (3) 锐角三角形的三条高是在三角形 的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. O A B C D E F 合作探究 直角边 BC 上的高是 ； 直角边 AB 上的高是 . (2) 斜边 AC 上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高； AB CB 它们有怎样的位置关系? D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高是哪条线段？ AB 边上的高是哪条线段？ BC 边上的高是哪条线段？ BF CE AD A B C D F (3) 钝角三角形的三条高相交 吗？ (4) 它们所在的直线交于一点 吗？这点位于何处？ O E 钝角三角形的三条高不相交. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1) 过该边所对的顶点；(2) 垂直于该边，且垂足必须在该边或在该边的延长线上. D 典例精析 例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为 ． 方法总结：首先判定△ABC 为锐角三角形，得出 BP 最小等于 AC 边上的高；然后利用面积相等作为桥梁(可不求面积)去求这条高．此法通常称为“等面积法”． _____ 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 所在的射线即为∠BAC 的平分线. A B C D 三角形的角平分线 2 思考：在一张薄纸上任意画一个三角形，你能通过折纸的方法得到它吗? 三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线. ∠1 =∠2 = ∠BAC 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片 各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系 ? 做一做 观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 三角形的三条角平分线交于同一点. 例3 如图，CD 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ CD 平分∠ACB， 又 DE∥BC， ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. A B C E D 典例精析 定义： 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. A B C 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BE = CE = BC E 如图，BE = CE，则线段 AE 是△ABC 的 BC 边上的中线． 三角形的中线 3 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 例4 如图，AD 是△ABC 的中线， AE 是△ABC 的高. （1）图中共有几个三角形？请分别列举出来； 解：图中有 6 个三角形， 它们分别是： △ABD， △ADE， △AEC， △ABE， △ADC， △ABC. （2）其中哪些三角形的面积相等？ 解：因为 AD 是△ABC 的中线， 所以 BD = DC. 因为 AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高， 因此 S△ABD = S△ADC . 所以 S△ABD = BD • AE， S△ADC = DC • AE， 总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分. 19 解：∵AD 是△ABC 的中线，∴CD = BD. ∵△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm， ∴AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm). 又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm， ∴AB - AC = 3 cm. ∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm. 例5 如图，△ABC 中，AB > AC，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长. A C D B 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段 ∵ AD是△ABC的边BC上的中线， ∴ BD=CD= BC. A B C D A B C D A B C D ( 1 ( 2 返回 1．用三角板画△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(　　) C 考试考法 22 返回 2．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了说明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE＝10，AF＝6，则△ABC的面积是________． 120 考试考法 23 D 返回 考试考法 24 （第4题） 4.如图，在中，是 的平 分线，是的平分线，若 的度数为 ，则 的度数为 ____. 【点拨】因为是 的平分线， 是的平分线，所以, 所以 . 返回 考试考法 25 5.如图，在中，是高， 平分 ， ， ，求 的度数. 【解】因为是高，所以 .所以 . 因为 ，所以 . 因为平分， ，所以 ， 所以 . 返回 考试考法 26 返回 A 考试考法 27 返回 7．如图，△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝8，AC＝6，DF＝5，则DE＝________． 考试考法 28 8．如图，在△ABC中，已知点D是边BC上一点，E，F分别是AD，CE的中点，且 S△ABC＝4，则△BEF的面积是________． 1 考试考法 29 返回 考试考法 9．[张家界市期末]如图，在△ABC中，AB＞AC，AD交边BC于点D.设△ABC的重心为M，若点M在线段AD上，则下列结论正确的是(　　) A．∠BAD＝∠CAD B．AM＝DM C．△ABD的周长等于△ACD的周长 D．△ABD的面积等于△ACD的面积 D 返回 考试考法 31 10．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D沿CB自点C向点B运动(点D与点C，B不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，在点D的运动过程中，BE＋CF的值(　　) A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．无法确定 B 返回 考试考法 32 11. 如图，在中， , , ,若四边形 的面积为28,则 的面积为 ( ) A A. 60 B. 56 C. 70 D. 48 考试考法 33 三角形的重要线段 高 注意钝角三角形两短边上高的画法 中线 会把原三角形的面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 是线段，不是射线 课堂小结 3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的 是(　　) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 6．[湘潭市期末]在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若中线BD将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为(　　) A.　　B．4　　C.或4　　D.或4 【点拨】因为S△ABC＝4，所以S△ABD＋S△ACD＝S△ABC＝4.因为E是AD的中点，所以S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD.所以S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝S△ABD＋S△ACD＝×4＝2.因为F是CE的中点，所以S△BEF＝S△BCE＝1. $