1.3 集合的基本运算 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 这份同步练习通过“教材巩固练-基础过关练-能力提升练”三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |教材巩固练|集合运算（并、交、补）概念及简单应用|结合红色文化实践情境，通过填空、判断强化概念辨析，培养数学眼光| |基础过关练|并交补运算、混合运算、参数问题、实际应用|分知识点梯度训练，从基础运算到含参数问题，发展数学思维| |能力提升练|综合运算、集合关系证明、新定义问题|通过多选、“和睦数”新定义题型，深化符号表达与逻辑推理，提升数学语言应用能力|

1.3　集合的基本运算 教材巩固练 1.(数学与生活)为弘扬红色文化、传承文化精神,某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业,并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况(每名同学至少参加一项活动),其中有52人观看了红色电影,43人参观了烈士陵园,49人参观了红色教育基地,既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人,既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人,既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人,则三项活动都参加的人数为　　　　.  2.(填一填,记一记) (1)并集:A∪B=　　　　　　　　　; 运算性质:A∪B=　　　　,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),A⊆B⇔A∪B=B.  (2)交集:A∩B=　　　　　　　　　; 运算性质:A∩B=　　　　,A∩A=A,A∩⌀=⌀∩A=⌀,(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,A⊆B⇔A∩B=A.  (3)补集:∁UA=　　　　　　　　　　　; 运算性质:∁UA⊆U,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=　　　　,A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀.  3.(判对错) (1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集.(　　) (2)若A∩B=⌀,则A,B均为空集.(　　) (3)A,B中分别有3个元素,则A∪B中必有6个元素.(　　) (4)若x∈A∩B,则x∈A∪B.(　　) (5)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一.(　　) (6)∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A.(　　) 4.设S={x|x是平行四边形或梯形},A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},则B∩C=　　　　,∁SB=　　　　,∁SA=　　　　.  5.若集合A={x|-2<x<5},B={x|x≤-1或x≥4},则A∪B=　　　　　,A∩B=　　　　　.  6.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=　　　　.  7.学校举办了排球赛,高一(1)班45名同学中有12名同学参赛.后来又举办了田径赛,班上有20名同学参赛.已知两项都参赛的有6名同学.两项比赛中,高一(1)班共有多少名同学没有参加过比赛? 基础过关练 知识点1　并集、交集的运算 8.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0<x≤2},则A∪B=(　　) A.{x|0≤x<1} B.{x|-1<x≤2} C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<2} 9.设集合A={(1,2),(2,1)},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=(　　) A.{2,1} B.{(1,2)} C.{(2,1)} D.{1,2} 10.已知集合A=x∈Ny=,y∈N,B={x|-1≤x≤4},则A∩B=(　　) A.{1,2,4} B.{0,1,3} C.{x|0≤x≤3} D.{x|-1≤x≤4} 11.若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2} B.{3} C.{-3,2} D.{-2,3} 12.已知集合M={x|-1≤x≤6},N={x|x=2k-1,k∈N*},Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合中的元素共有　　　　个.  知识点2　补集的运算及交、并、补的混合运算 13.已知全集U={-1,0,1,2},A={x|x2=x},则∁UA=(　　) A.{-1,1,2} B.{-1,0,2} C.{-1,2} D.{0,1} 14.已知全集U={2,4,6,8,10},集合M={2,4,8},集合N={4,6},则∁U(M∪N)=(　　) A.{2,10} B.{6,10} C.{2,4,8,10} D.{10} 15.若M={-1,0,1,2,3,4},N={x|x≤0},则(∁RN)∩M=(　　) A.{x|-1≤x≤0} B.{x|1≤x≤4} C.{-1,0} D.{1,2,3,4} 16.已知全集U={2,3,4,5,6,7,8},A,B是U的两个子集,且A∩B={5},A∩(∁UB)={2,3,6},则(∁UA)∪B=(　　) A.{4,7,8} B.{4,5,7,8} C.{2,3,5,6} D.{3,5,6} 17.(多选)能正确表示图中阴影部分的集合的是(　　) A.B∩(∁UA) B.A∩(∁UB) C.∁(A∪B)A D.∁B(A∩B) 18.已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=　　　　.  19.已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},P=,求A∩B,(∁UB)∪P,(A∩B)∩(∁UP). 知识点3　利用集合运算求参数 20.设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤-1},则a=(　　) A.-4 B.2 C.-2 D.4 21.已知集合A={x|1≤x<2},B={x|x>a},若A∪B=B,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≥2} B.{a|a>2} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} 22.已知集合A={1,2},B={x|mx-1=0},若A∩B=B,则符合条件的实数m的值组成的集合为(　　) A. B. C. D. 23.设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=⌀,则实数m的取值范围为　　　　.  知识点4　集合的实际应用问题 24.南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班,两科都不参加的占全班的,只参加数学的占全班的,只参加物理的比只参加数学的少11人,两科都参加的有5人,则全班有 　　　　人.  25.某班共有26名同学参加了学校组织的数学、英语两科竞赛,其中两科都取得优秀的有8人,数学取得优秀但英语未取得优秀的有12人,英语取得优秀而数学未取得优秀的有4人.试求出数学取得优秀的人数、英语取得优秀的人数及两科均未取得优秀的人数. 能力提升练 26.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={2,3,4},P={3,4},则下列运算正确的是(　　) A.M∪N={1,2,2,3,4} B.(M∩N)∩P={0} C.(∁UM)∩N={1,3,4,5} D.∁U(M∪P)={5} 27.已知集合M={0,1,2,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∩N=(　　) A.{0} B.{0,1,2,3} C.{0,1,2} D.{0,3} 28.(多选)设A,B,I均为非空集合,且满足A⊆B⊆I,则下列选项中正确的是(　　) A.(∁IA)∪B=I B.(∁IA)∪(∁IB)=I C.A∩(∁IB)=⌀ D.(∁IA)∩(∁IB)=∁IB 29.已知集合U={(x,y)|x,y∈R},集合A={(x,y)|0<x<2,0<y<1},集合B={(x,y)|y≤x},则以下元素属于集合A∩(∁UB)的是(　　) A. B. C. D. 30.已知集合A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},p,q,r∈R,且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},则p+q+r等于　(　　) A.12 B.6 C.-14 D.-12 31.定义非空数集M的“和睦数H”如下:将M中的元素按照递减的次序排列,然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如,集合{1,2,3,4,5}的“和睦数”是5+4-3+2-1=7,{2,4}的“和睦数”是4+2=6,{1}的“和睦数”是1.对于集合A=,求其所有子集的“和睦数”的总和. 答案 1.答案　17 设集合A={观看红色电影的学生},集合B={参观烈士陵园的学生},集合C={参观红色教育基地的学生},三项活动都参加的人数为x, 则card(A∩B∩C)=x,由题意可得card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C), 即100=52+43+49-24-17-20+x,解得x=17.故答案为17. 2.(1){x|x∈A,或x∈B}　B∪A　(2){x|x∈A,且x∈B} B∩A　(3){x|x∈U,且x∉A}　A 3.(1)√　(2)✕　(3)✕　(4)√　(5)√　(6)√ 4.答案　{x|x是正方形}　{x|x是邻边不相等的平行四边形或梯形}　{x|x是梯形} 5.答案　R　{x|-2<x≤-1或4≤x<5} 　在数轴上表示集合A,B,如图所示: ∴A∪B={x|-2<x<5}∪{x≤-1或x≥4}=R, A∩B={x|-2<x<5}∩{x≤-1或x≥4}={x|-2<x≤-1或4≤x<5}. 6.答案　{1,2,3,4} 　因为集合A={1,2},B={1,2,3}, 所以由集合交集的定义知,A∩B={1,2}, 又因为集合C={2,3,4}, 所以由集合并集的定义知,(A∩B)∪C={1,2,3,4}. 7.　因为两项比赛都参加的有6名同学,有12名同学参加排球赛,有20名同学参加田径赛,所以只参加排球赛的同学有6名,只参加田径赛的同学有14名,两项至少参加一项的有6+6+14=26名同学,由于45-26=19,故两项比赛中,高一(1)班共有19名同学没有参加过比赛. 8.B　集合A={x|-1<x<1},B={x|0<x≤2},所以A∪B={x|-1<x≤2}.故选B. 9.C　由题意知,点(2,1)在直线x-y=1上,点(1,2)不在直线x-y=1上,所以A∩B={(2,1)}.故选C. 10.B　由A=x∈Ny=,y∈N知x+1可取1,2,4,故A={0,1,3}, 又B={x|-1≤x≤4},所以A∩B={0,1,3}.故选B. 11.A　A={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.由x2+x-6=0得x=-3或x=2.所以B={-3,2},题图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}. 12.答案　3 　M={x|-1≤x≤6},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3,5},即阴影部分所表示的集合中的元素共有3个. 13.C　因为全集U={-1,0,1,2},A={x|x2=x}={0,1},所以∁UA={-1,2}.故选C. 14.D　由集合M={2,4,8},N={4,6},得M∪N={2,4,6,8},而全集U={2,4,6,8,10},所以∁U(M∪N)={10}.故选D. 15.D　因为N={x|x≤0},所以∁RN={x|x>0},又M={-1,0,1,2,3,4},所以(∁RN)∩M={1,2,3,4}.故选D. 16.B　因为A∩B={5},A∩(∁UB)={2,3,6},所以A={2,3,5,6},∁UA={4,7,8}, 且5∈B,2∉B,3∉B,6∉B,所以(∁UA)∪B={4,5,7,8}.故选B. 17.ACD　阴影部分在集合B中,但不在集合A中,根据集合的运算分析可知A,C,D正确.故选ACD. 18.答案　{2,3,5,7} 　因为集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}. 19.　将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示. 因为U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},所以A∩B={x|-1<x<2},∁UB={x|x≤-1或x>3}. 又P=,所以(∁UB)∪P=,易知∁UP=, 所以(A∩B)∩(∁UP)={x|-1<x<2}∩={x|0<x<2}. 20.B　因为A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},B={x|2x+a≤0}=,且A∩B={x|-2≤x≤-1},所以-=-1,解得a=2.故选B. 21.D　因为A∪B=B,所以A⊆B,又集合A={x|1≤x<2},B={x|x>a},所以a<1.故实数a的取值范围是{a|a<1}.故选D. 22.C　当m=0时,B=⌀,A∩B=B,符合题意;当m≠0时,B=,要使A∩B=B,则=1或=2,即m=1或m=.故符合条件的实数m的值组成的集合为. 23.答案　{m|m≥2} 由A={x|x+m≥0}={x|x≥-m},U=R,得∁UA={x|x<-m}. 又B={x|-2<x<4},(∁UA)∩B=⌀,所以结合数轴: 可得-m≤-2,即m≥2, 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}. 24.答案　45 设只参加物理的有x个人,则只参加数学的有(x+11)个人,因为两科都不参加的占全班的,所以参加了竞赛班的占全班的,所以只参加数学的占参加了竞赛班的===,解得x=7,所以全班有=45(人).故答案为45. 25.　设全集U={该班26名同学},集合A={数学取得优秀的同学},集合B={英语取得优秀的同学},任意集合X中的元素个数为card(X), 则card(U)=26,card(A∩B)=8,card(A∩(∁UB))=12,card(B∩(∁UA))=4. 所以card(A)=card(A∩B)+card(A∩(∁UB))=8+12=20, card(B)=card(A∩B)+card(B∩(∁UA))=8+4=12, 所以card(∁U(A∪B))=card(U)-(card(A∩B)+card(A∩(∁UB))+card(B∩(∁UA)))=26-(8+12+4)=2. 所以数学取得优秀的人数为20,英语取得优秀的人数为12,两科均未取得优秀的人数为2. 26.D　对于A项,M∪N={1,2,3,4},故A项错误;对于B项,(M∩N)∩P=⌀,故B项错误;对于C项,(∁UM)∩N={3,4},故C项错误;对于D项,∁U(M∪P)={5},故D项正确.故选D. 27.D　因为N={x|x=3a,a∈M}={0,3,6,9},所以M∩N={0,3},故选D. 28.ACD　已知A,B,I满足A⊆B⊆I,画出Venn图, 根据Venn图可判断出A,C,D都是正确的. 29.C　由题意知,∁UB={(x,y)|y>x}, 又A={(x,y)|0<x<2,0<y<1},所以A∩(∁UB)={(x,y)|0<x<2,0<y<1,y>x}, 对于A,元素不符合0<y<1,所以不属于A∩(∁UB),故A错误; 对于B,元素不符合y>x,所以不属于A∩(∁UB),故B错误; 对于C,元素符合条件,所以属于A∩(∁UB),故C正确; 对于D,元素不符合y>x,所以不属于A∩(∁UB),故D错误.故选C. 30.C　因为A∩B={-2},所以-2∈A且-2∈B,将x=-2代入x2-px-2=0中,得p=-1,所以A={1,-2},又因为A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},所以B={-2,5}, 所以q=-(-2+5)=-3,r=-2×5=-10,所以p+q+r=-14. 31.易知A={1,2,3,6},非空子集有24-1=15(个).当子集M为单元素集{1},{2},{3},{6}时,“和睦数”分别为1,2,3,6,和为12; 当子集M为双元素集{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}时,“和睦数”分别为3,4,7,5,8,9,和为36; 当子集M为三元素集{1,2,3},{1,2,6},{1,3,6},{2,3,6}时,“和睦数”分别为4,7,8,7,和为26; 当子集M为四元素集{1,2,3,6}时,“和睦数”为6+3-2+1=8. 故“和睦数”的总和为12+36+26+8=82. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $