精品解析：上海市文来中学2025-2026学年九年级下学期6月节点作业检测数学试卷

九年级6月数学学科节点作业检测卷 满分：150分 时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在﹣3，0，π，这四个数中，最小的无理数是（ ） A. 0 B. ﹣3 C. π D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 3. 某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（ ） A. 精确到百分位，有3个有效数字 B. 精确到百位，有3个有效数字 C. 精确到百分位，有5个有效数字 D. 精确到百位，有5个有效数字 4. 知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外离 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B. 等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C. 有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 6. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：__________． 8. 在中， 的取值范围为_______． 9. 方程的根是_______． 10. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值是__________． 11. 年月日至日，以“数智赋能·品牌化引领庆阳苹果高质量发展”为主题的中国苹果年会暨庆阳苹果营销大会圆满举行．大会现场签订购销协议份，签约金额达元，数据用科学记数法表示是______． 12. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是______． 13. 已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_______． 14. 为引导学生合理规划周末时间，养成健康向上的课余生活习惯，学校针对学生周末娱乐方式开展专项抽样调查，科学分析学生课余时间分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：（看视频），（玩游戏），（看课外书），（运动），（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式．则估计该校名学生中看视频和玩游戏为主的学生有________人． 15. 如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 16. 如图，中，点在上，且．设，，那么可以用向量，表示为：________． 17. 如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是_________． 18. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解不等式组：． 21. 已知：如图，在中，，，，点O为斜边的中点，以O为圆心，5为半径的圆与相交于E、F两点，连结、． （1）求的长； （2）求的正弦值． 22. 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 23. 如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求证：． 24. 如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF． （1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标； （3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值． 25. 如图1，矩形，点，分别在边和上，平分，交于点． （1）记为， ①用含有的代数式表示； ②若，求的值； （2）如图2，连接，若的面积为7，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级6月数学学科节点作业检测卷 满分：150分 时间：100分钟 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在﹣3，0，π，这四个数中，最小的无理数是（ ） A. 0 B. ﹣3 C. π D. 【答案】D 【解析】 【分析】从四个数中先找出无理数，再根据实数大小比较的法则进行比较即可得出答案． 【详解】解： 无理数有π和， ∴最小的无理数是； 故选：D． 【点睛】本题考查实数大小的比较，解题的关键是掌握实数大小比较的基本方法． 2. 下列运算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的运算法则逐个选项计算即可求出答案． 【详解】A. ，选项错误，不符合题意； B. ，选项正确，符合题意； C. ，选项错误，不符合题意； D. ，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 3. 某市参加中考的学生人数约为人．对于这个近似数，下列说法正确的是（ ） A. 精确到百分位，有3个有效数字 B. 精确到百位，有3个有效数字 C. 精确到百分位，有5个有效数字 D. 精确到百位，有5个有效数字 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法与有效数字，先把科学记数法表示的数还原，看6在原数中的位置就是精确到的数位，而有效数字是9，0，6，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴它有3个有效数字，9，0，6，精确到百位． 故选B． 4. 知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交． 【详解】解：的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米， 的半径为15厘米， ， 两圆的位置关系是相交. 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B. 等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C. 有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 6. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根． 直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 在中， 的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【详解】解：要使有意义， 则且， 解得且． 9. 方程的根是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 10. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式，建立关于m的方程，求出m的取值． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴Δ=， 即， ∴m=． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：熟记（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根是解题的关键． 11. 年月日至日，以“数智赋能·品牌化引领庆阳苹果高质量发展”为主题的中国苹果年会暨庆阳苹果营销大会圆满举行．大会现场签订购销协议份，签约金额达元，数据用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值以及的值即可． 【详解】∵， 故答案为：． 12. 掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数， 共有六种可能，其中2、3、5是素数， 所以概率为=， 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数性质列出不等式即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：． 14. 为引导学生合理规划周末时间，养成健康向上的课余生活习惯，学校针对学生周末娱乐方式开展专项抽样调查，科学分析学生课余时间分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：（看视频），（玩游戏），（看课外书），（运动），（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式．则估计该校名学生中看视频和玩游戏为主的学生有________人． 【答案】 【解析】 【分析】先求出本次调查的样本容量，再用分别乘以样本中看视频和玩游戏为主的百分比并求和即可． 【详解】解：（人）， 所以，本次调查的样本容量是200； （人） 所以，估计看视频和玩游戏为主的学生有776人； 15. 如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为9， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 如图，中，点在上，且．设，，那么可以用向量，表示为：________． 【答案】 【解析】 【分析】D在上，且，即，所以．利用向量加法即可把分解到和上． 【详解】解：， ，即 由向量加法的三角形法则： ， 又，代入： ， ， ， ，， ． 17. 如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形， ∵正六边形对边互相平行，且内角为， ∴ 过点作于， ∴ 设正六边形的边长为1，则，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 18. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】， 将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为， 当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质、负分数指数幂的运算法则、分母有理化方法、零指数幂的运算法则分别化简每一项，再合并同类项计算最终结果． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 因此原不等式组的解集． 21. 已知：如图，在中，，，，点O为斜边的中点，以O为圆心，5为半径的圆与相交于E、F两点，连结、． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）过点O作OG⊥EF于点G，根据垂径定理得出EG=FG，然后由O为AB的中点，OG∥AC可推出OG为△ABC的中位线，从而可求出OG的长，在Rt△OEG中，由勾股定理可求出EG的长，从而可得出EF的长； （2）首先由直角三角形斜边中线的性质可得出CO=BO，然后根据等腰三角形的性质可得出CG=BG，由（1）中EG=3可得，CE=5=OE，所以∠COE=∠OCE，在Rt△OCG中，求出sin∠OCG的值即可得出结果． 【详解】解：（1）过点O作OG⊥EF于点G， ∴EG=FG，OG∥AC， 又O为AB的中点， ∴G为BC的中点，即OG为△ABC的中位线， ∴OG=AC=4， 在Rt△OEG中，由勾股定理得，EG=， ∴EF=2EG=6； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=， 又O为AB的中点， ∴CO=BO=4， 又OG⊥BC， ∴CG=BG=BC=8， ∴CE=CG-EG=8-3=5， ∴CE=EO， ∴∠COE=∠OCE， ∴sin∠OCE=． ∴∠COE的正弦值为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角函数，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，作出辅助线，综合运算基本性质进行推理是解题的关键． 22. 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 （1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 （2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． 23. 如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形； （2） 证明：连接，与交于点，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（）由，得四边形是平行四边形，由得，得到，同理得，进而由得到，即可求证； （）连接，与交于点，证明得到，进而由，，，可得，据此即可求证； 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF． （1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标； （3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）0 【解析】 【分析】（1）在Rt△ADC中，设OC=x，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解； （2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，进而求解； （3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解． 【详解】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝4， 故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0）， 由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5， 连接BC，如下图， ∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD， ∵BC＝BC， ∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL）， 故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2， 设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝， 故点C的坐标为（0，）， 则抛物线的表达式为y＝x2+； （2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC， 由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝， 故直线CD的表达式为y＝x+②， 联立①②并解得，故点D的坐标为（，）， 如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF， 故DE＝yD＝， 则yF＝yC+DE＝， 故点F的坐标为（0，）； （3）∵点E是BO的中点，故点E（，0）， 由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③， 联立①③并解得，点D的坐标为（，）， 而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m）， ∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE， 即（﹣）2+（）2＝（）2+m2， 即9m2﹣36m＝0， 解得m＝4（舍去）或0， 故m＝0． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等． 25. 如图1，矩形，点，分别在边和上，平分，交于点． （1）记为， ①用含有的代数式表示； ②若，求的值； （2）如图2，连接，若的面积为7，求的面积． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由矩形的性质可得，再根据同角的余角相等得出，由角平分线的定义得出，即可得解；②先证明，再结合正切的定义计算即可得出结果； （2）过点作，由等腰三角形的性质可得，证明，结合相似三角形的性质可得，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $