精品解析：陕西省咸阳市实验中学2026年九年级中考模拟考试数学试题

咸阳市实验中学初三年级模拟考试（九） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 姓和氏，是人类进步的两个阶段、是文明的产物．下列姓氏中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点 在直线 上，在 上方作射线 ，在 下方作 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中， ， ， 边的垂直平分线分别与 、 交于点 、 ，连接，则 的周长为（ ） A. 17 B. 24 C. 26 D. 27 6. 在平面直角坐标系中，直线（b为常数）与直线（k为常数， ）交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 内接于圆O，点 是劣弧 的中点，连接 、 ， 与 交于点 ．若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将二次函数（ 为常数，且）的图象沿轴向下平移2个单位长度，得到的新二次函数图象经过点，则关于二次函数的说法不正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的最小值为 C. 当时， D. 当时，的值随 值的增大而减小 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在实数，，3， 中，最小的一个数是_____． 10. 如图，将正八边形绕着它的中心 旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 11. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入 的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是 ,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 12. 矩形 和矩形的位置如图所示，点 分别在边上，且点 是 的中点，连接交于点 ．若，则的长为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（ ， ）和的图象上，点 在轴上，连接 、 、 ， 轴于点 ，若，则 的值为_____． 14. 如图，在菱形 中，，，连接 ，点为 的中点，点 、 均在对角线 上，且点 在点 的左侧，，连接、 ，则的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 化简：． 18. 如图，已知 ，请用尺规作图法在 下方求作一点，连接，使得 与 互余，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在四边形 中， ，E为上一点，且，连接 、， ，求证：． 20. 七巧板是我国民间流传的智力玩具，传统七巧板是由如图所示的七块板组成的，这七块板分别为五块等腰直角三角形（两块小型三角形③和⑤、一块中型三角形⑦和两块大型三角形①和②）、一块正方形④和一块平行四边形⑥．小平和小安用七巧板做游戏，将①、②、④、⑥号板分别放入形状大小完全相同的四个不透明盒子中，将盒子混匀后，小平先从这四个盒子中随机选取一个盒子，记录盒子中板的形状后放回混匀，小安再从这四个盒子中随机选取一个盒子． （1）事件“小平选取的盒子中装有③号板”为_____事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用画树状图或列表的方法，求小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的概率． 21. 智能机器人代表我国新质生产力走进百姓视野，参与日常生活．如图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形 ，是上部显示屏，是侧面的支架．已知，，，，．请你根据以上数据，计算该机器人的最高点 距离地面 的高度．（结果精确到 ，参考数据：，，） 22. 小泽家是陕西关中地区某村的草莓种植大户，每到草莓成熟季节，小泽妈妈将采摘好的草莓按标准重量分装成果盆（每盆草莓重量相同，忽略差异）进行售卖．妈妈统计了一周的销售量，小泽发现每天的销售量（盆）与售价 （单位：元/盆）之间存在一次函数关系，且部分数据如下： 售价 （元/盆） 每天销售量（盆） （1）请根据表格中数据，求出与 之间的函数关系式； （2）若某天小泽的妈妈至少要销售盆草莓，求这天草莓的售价最多为多少元/盆？ 23. 随着电视剧《主角》的热播，秦腔文化再度引发大众关注．为引导学生了解并传承秦腔艺术，某校进行了“探秘秦腔文化·传承非遗经典”问卷测试，测试后从七、八年级各随机抽取10名学生，统计了他们的测试成绩（满分：10分），并将统计结果绘制成如下统计图： 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）七年级所抽取学生测试成绩的众数为_____分，中位数为_____分； （2）求八年级所抽取学生测试成绩的平均数； （3）若该校七年级共有240名学生参加本次问卷测试，八年级共有280名学生参加本次问卷测试，请你估计这两个年级在本次测试中得满分的共有多少名学生？ 24. 如图， 是 的直径，点A是的中点， 的平分线 交 于点F，过点F作 的切线，分别交 、 的延长线于点E、D． （1）求证：； （2）若，求 的长． 25. 如图1，某校有一块种植田，其外轮廓是由抛物线和线段组成的封闭图形，其中米， 米，米，以 所在直线为 轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示，已知图中抛物线的函数表达式为（ 、 为常数，且） （1）求图中抛物线的函数表达式； （2）该校计划在抛物线上的点 处设立一个取水阀，若点 到轴的距离为6米，求点 到 的距离． 26. 综合实践 （1）问题提出：如图1，在梯形 中， ， ，连接 ，若的面积为 ，则 的面积为_____； （2）问题探究：如图2， 内接于 ， 为 的直径，，点 为 上一点，连接 、，与 交于点，点 在 上，连接 ，，若，求的长； （3）问题解决：为深耕青少年科创教育，某市拟修建青少年科创中心，大致规划示意图如图3所示， 、 、 为 条小路，，米， 上的点 处有一个公交站，米， 上方的点 处有一个报刊亭，为锐角，且，米．设计员计划在上取一点 ，以为边向上作等腰，使得 ，，沿 修建科普展廊，取的中点，将区域规划为创作实践区，请你帮助设计人员判断：随着 长度的变化，创作实践区（）的面积是否变化？若变化，请说明的面积与 长度之间的关系；若不变，求出的面积．（报刊亭、公交站的大小及小路、科普展廊的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学初三年级模拟考试（九） 数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零指数幂运算法则：任何不等于 的数的 次幂等于 ． 【详解】解：． 2. 姓和氏，是人类进步的两个阶段、是文明的产物．下列姓氏中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，不符合题意； C是轴对称图形，符合题意； D不是轴对称图形，不符合题意． 3. 如图，点 在直线 上，在 上方作射线 ，在 下方作 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开原式后，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原式． 5. 如图，在 中， ， ， 边的垂直平分线分别与 、 交于点 、 ，连接，则 的周长为（ ） A. 17 B. 24 C. 26 D. 27 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得 ，则 的周长，即可求解． 【详解】解：∵是 边的垂直平分线， ∴ ， ∴ 的周长． 6. 在平面直角坐标系中，直线（b为常数）与直线（k为常数， ）交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两条一次函数直线的交点坐标，就是两个函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【详解】∵ 二元一次方程组的解就是对应两条直线的交点坐标，又已知两条直线交于点， ∴ 方程组的解是． 7. 如图， 内接于圆O，点 是劣弧 的中点，连接 、 ， 与 交于点 ．若， ，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接 ， ，利用垂径定理可得 ，，由圆周角定理可得 ，利用等腰三角形的性质可得，使用三角函数计算出 与 ，再计算出即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ∵点 是劣弧 的中点， ∴ ，， ∵ ， 又∵ ， ∴， 在 中，，， ∵ ， ∴． 8. 在平面直角坐标系中，将二次函数（ 为常数，且）的图象沿轴向下平移2个单位长度，得到的新二次函数图象经过点，则关于二次函数的说法不正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的最小值为 C. 当时， D. 当时，的值随 值的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移规则得到新函数解析式，代入已知点求出参数 的值，再结合二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法． 【详解】解：∵原二次函数沿y轴向下平移2个单位， ∴新二次函数解析式为， ∵新函数经过点， 代入得， 解得 ， ∴原二次函数解析式为， ∴原二次函数对称轴为 ； A、∵ ， ∴图象开口向下，该选项正确； B、∵开口向下，对称轴为 ， ∴当时，y随x增大而减小， ∴ 时y取最小值，代入得，， ∴该选项正确； C、当时，代入解析式得，该选项错误； D、∵开口向下，对称轴 ， ∴时，y随x增大而减小， 又∵， ∴时，y随x增大而减小，该选项正确． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在实数，，3， 中，最小的一个数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将给定实数按正负分类，根据负数小于正数，只需比较两个负数的大小，再根据两个负数比较大小的规则，绝对值大的反而小，即可得到最小的数． 【详解】解：和 是正数，和 是负数，根据实数大小关系，正数大于一切负数，计算两个负数的绝对值：，， ， ， 因此在，， ， 中，最小的数是． 10. 如图，将正八边形绕着它的中心 旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____°．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】45，90，135，180，225，270，315 【解析】 【分析】正八边形可以被平分成八部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转45度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：该图形被平分成八部分，， ∴该图形绕旋转中心旋转的整数倍时能够与自身重合， ， 可以为 或90或135或180或225或270或315． 11. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入 的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是 ,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 12. 矩形 和矩形的位置如图所示，点 分别在边上，且点 是 的中点，连接交于点 ．若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】以点B为原点建立直角坐标系，得到，求出直线 的解析式为，直线 的解析式为，由此求出点O的坐标，根据两点间距离公式求出的长. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系， ∵四边形 和都是矩形，， ∴， ∴， ∵点 是 的中点， ∴， ∴， 设直线 的解析式为 ， ，解得 ， ∴直线 的解析式为； 设直线 的解析式为 ， ，解得， ∴直线 的解析式为； 解方程组，得， ∴， ∴ 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（ ， ）和的图象上，点 在轴上，连接 、 、 ， 轴于点 ，若，则 的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点 的坐标为，根据 轴可知点、 的横坐标均为 ，分别代入两个反比例函数解析式表示出 和 的长度，利用建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：设点 的坐标为，其中 ， 轴于点 ， 点、 的横坐标均为 点在反比例函数的图象上，点 在反比例函数的图象上， ，， 由图象可知，点在第一象限，点 在第四象限， ，， ， ， ， ． 14. 如图，在菱形 中，，，连接 ，点 为 的中点，点 、 均在对角线 上，且点 在点 的左侧，，连接 、 ，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形，平行四边形，等边三角形，垂直平分线的性质，通过作辅助线，利用轴对称和平行四边形性质将的值转为的值，再根据两点之间，线段最短求得答案，解题时，利用三角函数能加快求解． 【详解】如图，作，，连接 ， ，连接 交 于点 ． 在菱形 中， 且 ， ，， ， ， ，，， 在 中， ， ， 是等边三角形， ， 在 中， ， ，， ， ，点 为 的中点， ， ，, 四边形是平行四边形， ， ， 是 的垂直平分线， 的值可以转化为的值， 由此可见，当 , , 三点共线时，的值最小，最小值为 ， ， , ，， 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出立方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的结果，再合并计算即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ∴ 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式展开中括号内的项，合并同类项后再做多项式除以单项式的运算即可得到结果． 【详解】解： ． 18. 如图，已知 ，请用尺规作图法在 下方求作一点 ，连接，使得 与 互余，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 点P为所作． 【解析】 【分析】作 的垂线 ，再以点为圆心， 为半径画弧，交于点 即可． 【详解】解： 与 互余，即 ， 以为圆心，任意长为半径画弧，交 于 两点，以点 ，点 分别为圆心，半径不变画弧，交于点 ，连接，再以点为圆心， 为半径画弧，交于点 ，则点P为所作． 19. 如图，在四边形 中， ，E为 上一点，且，连接 、， ，求证：． 【答案】证明：在四边形 中 ∵ ， ∴, ∵ , ∴ , ∴ ， 在 和中， ∴ ∴ 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及等边对等角即可知 ，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 20. 七巧板是我国民间流传的智力玩具，传统七巧板是由如图所示的七块板组成的，这七块板分别为五块等腰直角三角形（两块小型三角形③和⑤、一块中型三角形⑦和两块大型三角形①和②）、一块正方形④和一块平行四边形⑥．小平和小安用七巧板做游戏，将①、②、④、⑥号板分别放入形状大小完全相同的四个不透明盒子中，将盒子混匀后，小平先从这四个盒子中随机选取一个盒子，记录盒子中板的形状后放回混匀，小安再从这四个盒子中随机选取一个盒子． （1）事件“小平选取的盒子中装有③号板”为_____事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） （2）请用画树状图或列表的方法，求小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】（1）必然事件一定会发生，随机事件有可能发生，不可能事件一定不会发生； （2）正方形④和一块平行四边形⑥是四边形，找出所有符合条件的情况加起来即可得到所求概率． 【小问1详解】 解：因为四个不透明盒子中没有③号板，所以事件“小平选取的盒子中装有③号板”为不可能事件； 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可知，共有 种等可能的结果，其中小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形的结果有 种， （小平和小安抽取的盒子中板的形状至少有一个为四边形）． 21. 智能机器人代表我国新质生产力走进百姓视野，参与日常生活．如图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形 ，是上部显示屏，是侧面的支架．已知，，，，．请你根据以上数据，计算该机器人的最高点 距离地面 的高度．（结果精确到 ，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点 、 分别作于点，于点 ，过点 作于点 ，证明四边形是矩形得，在Rt中，求出，，在中，求出，进而可求出点 距离地面 的高度． 【详解】解：过点 、 分别作于点，于点 ，过点 作于点 ， ∴， ∴四边形是矩形， ， 在Rt中，，， ，， ． 在中，，， ， ， 四边形 是矩形， 点 到地面 的距离， 该机器人的最高点 距离地面 的高度约为． 22. 小泽家是陕西关中地区某村的草莓种植大户，每到草莓成熟季节，小泽妈妈将采摘好的草莓按标准重量分装成果盆（每盆草莓重量相同，忽略差异）进行售卖．妈妈统计了一周的销售量，小泽发现每天的销售量（盆）与售价 （单位：元/盆）之间存在一次函数关系，且部分数据如下： 售价 （元/盆） 每天销售量（盆） （1）请根据表格中数据，求出与 之间的函数关系式； （2）若某天小泽的妈妈至少要销售盆草莓，求这天草莓的售价最多为多少元/盆？ 【答案】（1） （2）这天草莓的售价最多为 元 盆 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数关系式即可； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设与 之间的函数关系式为 ， 将，； ，代入 ，得， ， 解得， ∴与 之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵， ∴， 解得， ∴ 最大为． 答：这天草莓的售价最多为 元 盆． 23. 随着电视剧《主角》的热播，秦腔文化再度引发大众关注．为引导学生了解并传承秦腔艺术，某校进行了“探秘秦腔文化·传承非遗经典”问卷测试，测试后从七、八年级各随机抽取10名学生，统计了他们的测试成绩（满分：10分），并将统计结果绘制成如下统计图： 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）七年级所抽取学生测试成绩的众数为_____分，中位数为_____分； （2）求八年级所抽取学生测试成绩的平均数； （3）若该校七年级共有240名学生参加本次问卷测试，八年级共有280名学生参加本次问卷测试，请你估计这两个年级在本次测试中得满分的共有多少名学生？ 【答案】（1）9；9 （2）8分； （3）估计这两个年级在本次测试中得满分的共有104名学生 【解析】 【分析】（1）利用众数和中位数的定义求解即可； （2）利用平均数的定义求解即可； （3）样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：先整理七年级10名学生的成绩： 成绩：6分：1人；7分：2 人；8分：1人；9分：4人；10分：2人； 按从小到大排列：6，7，7，8，9，9，9，9，10，10； 众数：出现次数最多的是9分（4次），所以众数为9分； 中位数：10个数据，中位数是第5、6个数的平均数，第5、6个都是9， ，所以中位数为9分； 【小问2详解】 解：先从散点图提取八年级10人成绩： 编号1-10成绩依次：10，6，8，8，10，7，6，8，8，9， 平均数为：分； 【小问3详解】 解：七年级抽取的10人中满分（10分）有2人，满分率，七年级240人： ∴名； 八年级抽取的10人中满分（10分）有2人，满分率，八年级280人： 名； 合计：名； 答：估计这两个年级在本次测试中得满分的共有104名学生． 24. 如图， 是 的直径，点A是的中点， 的平分线 交 于点F，过点F作 的切线，分别交 、 的延长线于点E、D． （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得出，根据角平分线的定义和等边对等角可得出∴，得出，然后根据平行线的性质即可得证； （2）连接 ，先求出，，然后求出，得出， ，然后根据平行线分线段成比例求解即可． 【小问1详解】 证明：连接 ， ∵ 是 的切线， ∴， ∵ 平分 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接 ， ∵点A是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， ∴． 25. 如图1，某校有一块种植田，其外轮廓是由抛物线和线段组成的封闭图形，其中米， 米，米，以 所在直线为 轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示，已知图中抛物线的函数表达式为（ 、 为常数，且） （1）求图中抛物线的函数表达式； （2）该校计划在抛物线上的点 处设立一个取水阀，若点 到轴的距离为6米，求点 到 的距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）先求出点 的坐标，代入计算可得函数解析式，再求出自变量 的取值范围即可； （2）先求出点 的横坐标为6，再代入函数解析式求出点 的纵坐标即可． 【小问1详解】 解：由题意得：点的坐标为，点 的坐标为， 将点，代入函数得：， 解得， 所以图中抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵点 到轴的距离为6米，且点 位于第一象限， ∴点 的横坐标为6， 将 代入函数得：， ∴， 答：点 到 的距离为米． 26. 综合实践 （1）问题提出：如图1，在梯形 中， ， ，连接 ，若的面积为 ，则 的面积为_____； （2）问题探究：如图2， 内接于 ， 为 的直径，，点 为 上一点，连接 、 ， 与 交于点 ，点 在 上，连接 ，，若，求的长； （3）问题解决：为深耕青少年科创教育，某市拟修建青少年科创中心，大致规划示意图如图3所示， 、 、 为 条小路，，米， 上的点 处有一个公交站，米， 上方的点 处有一个报刊亭，为锐角，且，米．设计员计划在 上取一点 ，以为边向上作等腰，使得 ，，沿 修建科普展廊，取的中点，将区域规划为创作实践区，请你帮助设计人员判断：随着 长度的变化，创作实践区（）的面积是否变化？若变化，请说明的面积与 长度之间的关系；若不变，求出的面积．（报刊亭、公交站的大小及小路、科普展廊的宽度均忽略不计） 【答案】（1） （2） （3）不变，的面积为平方米 【解析】 【分析】（1）过点 作 的平行线，交 于点 ，容易证明四边形是平行四边形，则，，结合 可得； （2）由圆周角定理可得， ， ，结合可得，从而得到，由三角函数可得，因此； （3）延长 、 交于点 ，连接、，过点 作 的垂线，交直线 于点 ，由等腰三角形的性质可得，，，结合可得，因此．容易判断是等腰直角三角形，则，，由可判断、、 、 四点共圆，则，进而证明．利用等积变形可得，利用三角函数求出 ，再求出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，过点 作 的平行线，交 于点 ， ∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ 为 的直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长 、 交于点 ，连接、，过点 作 的垂线，交直线 于点 ， ∵， ∴ ， 在中，， ∴（米）， ∵ ，点为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， ∵， 又∵和都是锐角， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，（米）， ∴（米）， ∵， ∴点与点 都在以为直径的圆上，即、、 、 四点共圆， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（平方米）为定值， ∴随着 长度的变化，的面积不变，的面积为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $