精品解析：2026年陕西省西安市阎良区九年级中考第三次学情自测数学试题

2026年初中学业水平考试模拟卷数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果体重增加记为，那么体重减少可记为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干给出的正方向规定，即可推出相反意义的量的表示方法. 【详解】解：∵体重增加记为， ∴体重减少记为. 2. 如图是“柯山野叟”朱文瓷印，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面观察所得到的平面图形，根据立体图形的特征（特别是顶部的形状）进行判断即可． 【详解】解：∵主视图是从物体的正面观察所得到的图形 ∴观察立体图形可知，该物体由上下两部分组成；上部顶端两角为圆角，下部为长方体，且从正面看上下部分宽度一致 ∴其主视图应为上下两个矩形组合，且最上方两角为圆角，中间有一条实线分隔 对比选项可知，只有A选项符合题意． 3. 如图，直线、 被直线所截，，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得解． 【详解】 ，，  ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于每个因式分别乘方；运用同底数幂乘除法、积的乘方、完全平方公式计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 5. 已知点和点在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的纵坐标求出和的值，再比较大小． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将 代入解析式得 ， 解得； ∵点在一次函数的图象上， ∴将 代入解析式得， 解得 ， ∵， ∴ ． 6. 如图，在中， ，，在上分别取点D、E，使，，则图中与相等的角（不含自身）共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和 的度数，再找出所有等于的角即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，图中与相等的角有 、 、、 ，共个． 7. 如图，内接于 ，是 的直径，点D是的中点，连接 交于点E，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，进而得到，根据 是的中点，可得，最后利用三角形外角的性质即可求出 ． 【详解】解：是 的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点 是的中点， ， ． 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线C关于原点中心对称后得到抛物线（a为常数，），若抛物线的最小值为1，则抛物线C的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出已知抛物线的参数和顶点坐标，再根据中心对称的性质求抛物线的顶点坐标，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点纵坐标为抛物线的最小值， 由题意最小值为， 可得 ， 解得， ∴已知抛物线的顶点坐标为， ∵ 抛物线关于原点中心对称后得到该抛物线， 因此两个抛物线的顶点也关于原点中心对称， ∵点关于原点中心对称的点坐标为， 设抛物线的顶点为， 则，， 解得， 因此抛物线的顶点坐标为． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个小于2的无理数：____________．（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵负数小于正数， 符合题意（答案不唯一）． 10. 在剪纸活动中，小华想用一张正方形纸片剪出一个正九边形，如图，正九边形的一边与正方形的边重合，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由多边形的外角和计算即可． 【详解】正九边形每个内角相等，即每个外角也相等，多边形的外角和， 正九边形每个外角为，即的度数为． 11. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如从左到右列出的算筹数依次表示方程中未知数x，y的系数和相应的常数项，即表示方程 ，则表示的方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算筹的表示方法，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解：从左到右，第一列1根竖筹表示x的系数为1， 第二列4根竖筹表示y的系数为4，第三列2根横筹和3根竖筹表示常数项为23，所以表示的方程是 ． 12. 如图，菱形的对角线、交于点O， ，，则的长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出 ，，在中利用锐角三角函数定义求出，进而求出即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 13. 某电磁波的波长（单位：m）与该电磁波的频率f（单位：）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．若该电磁波的频率为，则该电磁波的波长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，根据图象经过点利用待定系数法求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设与的函数解析式为， 由图象可知，函数图象经过点， 将点代入，得， 解得， 该反比例函数的解析式为． 当时，． 14. 如图，在四边形中，，动点、分别在边、上运动（不与端点重合），且，连接、，则线段 的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质和垂直定义得出，利用 证明，从而得到 ，将求 的最小值转化为求 的最小值；然后作点关于直线的对称点，连接 ，根据两点之间线段最短可知 的长即为 的最小值；最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ， 连接， 在和中， ，  ，  ， ， 作点关于直线的对称点， 连接 ， ∵ ∴当点三点共线时， 最小，即 最小，最小值为 点与点关于直线对称， ， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，结合不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：  ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先变形统一分母，再去分母转化为一元一次方程，求解后检验分母是否不为零，即可得到原方程的解． 【详解】解：，  将方程右边变形，得， 方程两边同时乘最简公分母，得 ，  去括号，得 ，  移项合并同类项，得 ，  检验：当时，，  因此是原分式方程的解． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点 ，连接 ，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图所示：点 即为所求. 【解析】 【分析】以为顶点，为一边，与点在 的同侧作射线 使得，交 于点 ，则点 即为所求. 【详解】略 19. 如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、 右侧的点，连接、、、 ，延长、 交于点，， ，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】通过论证来证明结论即可. 【详解】略 20. 背景：中国空间站已系统开展了多种生物的空间生命科学研究，研究对象涵盖微生物、植物、动物乃至人类细胞． 素材：生物活动课上，小明和小亮制作了一个可自由转动的转盘，将转盘均分为四个扇形区域，在四个扇形区域内分别写上．斑马鱼、．水稻、．涡虫、 ．白鼠四个上过太空的生物． 素材：小明先转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称；小亮再转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称，两人根据各自转到的生物名称选择该生物进行讨论学习．（若指针指在分割线上，则重转） （1）小明选择的生物是．斑马鱼的概率为________； （2）已知斑马鱼、涡虫、白鼠是动物，水稻是植物，请用画树状图或列表的方法求小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式解答即可； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解． 【小问1详解】 解：小明转动一次转盘，共有种结果，其中是斑马鱼的结果只有种， ∴小明选择的生物是．斑马鱼的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中小明和小亮选择的生物均为动物的结果有种， ∴小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 21. 一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为 （不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、 均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 【答案】路灯距水平地面的距离为． 【解析】 【分析】由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：路灯距水平地面的距离为． 22. 三翻饼是陕西省某地的特色小吃，外皮金黄，油炸后呈翻裂千层之状，犹如花朵盛开，故有“千层之花”的美誉．姗姗准备购买三翻饼送给亲朋好友，她了解到，商店的三翻饼原价为20元/盒，若一次购买不超过10盒，每盒都按原价销售，超过10盒，则超过的部分每盒按原价打9折．设姗姗此次购买x盒三翻饼，所需费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若姗姗此次购买三翻饼的预算不超过300元，则她最多可以购买多少盒三翻饼？ 【答案】（1）当 ，且为整数， ；当 时，且为整数， （2）她最多可以购买盒三翻饼 【解析】 【分析】（1）根据购买数量是否超过10盒，分两种求解即可； （2）首先判断购买数量是否超过10盒，再列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当 时， ； 当 时，， ∴当 ，且为整数， ； 当 时，且为整数，； 【小问2详解】 解：当时，费用为 ∴购买数量超过10盒， ∴由题意得， 解得 ∵为整数， ∴的最大值为， 答：她最多可以购买盒三翻饼． 23. 生态环境法典、民族团结进步促进法、国家发展规划法三部重磅法律草案提请审议，成为今年全国两会的一大焦点．某校邀请专业人士开展法律讲座，讲座结束后，对参加讲座的学生进行了问卷测试（单位；分，满分100分），随机抽取了50名学生的问卷测试成绩，将他们的成绩（用x表示）分成四组： 组别 得分x/分 频数 组内成绩平均分/分 A 8 65 B 10 75 C a 85 D 18 95 若这组数据的众数在C组，且C组的数据为：81，81，82，83，83，84，85，86，87，87，87，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上表中_______；所抽取学生测试成绩的中位数是________分，众数是________分； （2）求所抽取学生测试成绩的平均数； （3）若此次参加讲座的学生共有800名，请你估计测试成绩在80分以上的学生人数． 【答案】（1） ，中位数为 ，众数为 ． （2）平均数为分． （3）估计测试成绩在80分以上的学生人数为 名． 【解析】 【分析】（1）根据总数为50即可求出a的值，再根据中位数和众数的定义求解即可． （2）利用加权平均数的定义求解即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：， ∵，， 且C组的数据从小到大为：81，81，82，83，83，84，85，86，87，87，87，87，88，89． ∵中位数为第25和第26个数的平均数， ∴中位数为： ∵众数在C组，且87出现的次数最多， ∴众数为87． 【小问2详解】 解：（分） 答：平均数为分． 【小问3详解】 解：（名） 答：估计测试成绩在80分以上的学生人数为 名． 24. 如图，内接于 ，为 的直径，点D为 上一点，，连接、、 ，过点D作 的切线交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若四边形 为平行四边形， ，求的长． 【答案】（1）证明：连接 ， ∵是 的切线， ∴，即， ∴． ∵为 的直径， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，先证明，再证明得，进而可得； （2）证明四边形 为菱形得都是等边三角形，设，根据，，可求出 ，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形 为平行四边形， ， ∴四边形 为菱形， ∴， ∴、 都是等边三角形， ∴， 设． ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ． ∵为 的直径， ∴，， ∴． 25. 如图1是一款摇椅，其底座的侧面示意图可抽象为如图2所示的抛物线，已知，抛物线最低点到的距离为，以 为坐标原点，所在直线为轴，经过点 且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，该抛物线的对称轴与轴垂直． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若、两点是该摇椅的扶手与底座的接触点（即点、均在抛物线上），且点、到的距离均为，求、两点之间的水平距离． 【答案】（1） （2）、两点之间的水平距离 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）把代入解析式求的值，再作差即可求解. 【小问1详解】 解：∵，抛物线最低点到的距离为， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 即：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， ∴， 答：、两点之间的水平距离． 26. 解答下列问题： 【思路梳理】 （1）如图1，在中，点 在边上，且，连接 ，若的面积为25，则的面积为_____； （2）如图2，在矩形中， ，点、分别在边和的延长线上，连接， ，求证： ； 【问题解决】 （3）如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中 ，点 在边上，且 ，连接米，以 为边在 左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接 ，沿铺设石子小路，沿 修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计） 【答案】（1）10 （2）证明：∵在矩形中， ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴， 在和 中， ， ∴ ． （3）平方米 【解析】 【分析】（1）得出，则，据此计算即可； （2）先得出 ，再根据相似三角形的判定即可得证； （3）先求出当点 三点共线时，最小，再根据三角形的面积关系可得 ，进而可得的长，则可得的长、 的面积，然后根据 求解即可． 【小问1详解】 解：∵点 在边上，且， ∴， ∵的 边上的高与的边上的高相等， ∴， ∵的面积为25， ∴， 解得 ， 即的面积为10． 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：∵是等边三角形，米， ∴米， ， ∴点在以点为圆心、长为半径的一段圆弧上， ∴由圆的性质可知，如图，当点 三点共线时，最小，最小值为 ， 过点 作于点，作 于点，过点作 ，交 延长线于点， ∴米， ∴ 米， ∵ ， ∴ ， ∴ 米， ∴， ∵的边上的高与的 边上的高相等，且 ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴米，则 米， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 米， 米， ∵， ∴ ，即 ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴米， ∴米， ∴（平方米）， ∵的边上的高与的 边上的高相等，且 ， ∴ ， ∴平方米， 答：当最小时，郁金香园（即）的面积为平方米． 【点睛】本题的难点在于正确判断出点的轨迹，进而确定当最小时，点的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟卷数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果体重增加记为，那么体重减少可记为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是“柯山野叟”朱文瓷印，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、被直线 所截，，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点和点在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，在上分别取点D、E，使 ，，则图中与相等的角（不含自身）共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，内接于 ，是 的直径，点D是的中点，连接交于点E，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线C关于原点中心对称后得到抛物线（a为常数，），若抛物线的最小值为1，则抛物线C的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个小于2的无理数：____________．（写出一个符合题意的数即可）． 10. 在剪纸活动中，小华想用一张正方形纸片剪出一个正九边形，如图，正九边形的一边与正方形的边重合，则的度数为____________． 11. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如从左到右列出的算筹数依次表示方程中未知数x，y的系数和相应的常数项，即表示方程 ，则表示的方程是____________． 12. 如图，菱形 的对角线、交于点O， ，，则的长为____________． 13. 某电磁波的波长（单位：m）与该电磁波的频率f（单位：）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．若该电磁波的频率为，则该电磁波的波长为________． 14. 如图，在四边形 中，，动点、分别在边、上运动（不与端点重合），且，连接 、，则线段 的最小值为_______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，四边形 是矩形，点 、分别是左侧、右侧的点，连接 、、、，延长、 交于点，， ，求证：． 20. 背景：中国空间站已系统开展了多种生物的空间生命科学研究，研究对象涵盖微生物、植物、动物乃至人类细胞． 素材：生物活动课上，小明和小亮制作了一个可自由转动的转盘，将转盘均分为四个扇形区域，在四个扇形区域内分别写上 ．斑马鱼、 ．水稻、．涡虫、．白鼠四个上过太空的生物． 素材：小明先转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称；小亮再转动一次转盘，转盘停止后，记录指针所指扇形区域的生物名称，两人根据各自转到的生物名称选择该生物进行讨论学习．（若指针指在分割线上，则重转） （1）小明选择的生物是 ．斑马鱼的概率为________； （2）已知斑马鱼、涡虫、白鼠是动物，水稻是植物，请用画树状图或列表的方法求小明和小亮选择的生物均为动物的概率． 21. 一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 22. 三翻饼是陕西省某地的特色小吃，外皮金黄，油炸后呈翻裂千层之状，犹如花朵盛开，故有“千层之花”的美誉．姗姗准备购买三翻饼送给亲朋好友，她了解到，商店的三翻饼原价为20元/盒，若一次购买不超过10盒，每盒都按原价销售，超过10盒，则超过的部分每盒按原价打9折．设姗姗此次购买x盒三翻饼，所需费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若姗姗此次购买三翻饼的预算不超过300元，则她最多可以购买多少盒三翻饼？ 23. 生态环境法典、民族团结进步促进法、国家发展规划法三部重磅法律草案提请审议，成为今年全国两会的一大焦点．某校邀请专业人士开展法律讲座，讲座结束后，对参加讲座的学生进行了问卷测试（单位；分，满分100分），随机抽取了50名学生的问卷测试成绩，将他们的成绩（用x表示）分成四组： 组别 得分x/分 频数 组内成绩平均分/分 A 8 65 B 10 75 C a 85 D 18 95 若这组数据的众数在C组，且C组的数据为：81，81，82，83，83，84，85，86，87，87，87，87，88，89． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：上表中 _______；所抽取学生测试成绩的中位数是________分，众数是________分； （2）求所抽取学生测试成绩的平均数； （3）若此次参加讲座的学生共有800名，请你估计测试成绩在80分以上的学生人数． 24. 如图，内接于 ，为 的直径，点D为 上一点，，连接、 、 ，过点D作 的切线交的延长线于点H． （1）求证：； （2）若四边形 为平行四边形， ，求的长． 25. 如图1是一款摇椅，其底座的侧面示意图可抽象为如图2所示的抛物线，已知，抛物线最低点 到的距离为，以 为坐标原点，所在直线为轴，经过点 且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，该抛物线的对称轴与轴垂直． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若 、两点是该摇椅的扶手与底座的接触点（即点 、均在抛物线上），且点 、到的距离均为，求 、两点之间的水平距离． 26. 解答下列问题： 【思路梳理】 （1）如图1，在中，点在边上，且，连接，若的面积为25，则的面积为_____； （2）如图2，在矩形 中， ，点、分别在边和的延长线上，连接 ， ，求证： ； 【问题解决】 （3）如图3，某生态园区计划修建一个形状为的绿地，其中 ，点在边上，且 ，连接米，以为边在左侧作等边，在点处修建一个观景亭，连接 ，沿铺设石子小路，沿 修筑篱笆，将区域规划为郁金香园，为了节约成本，需要石子小路尽可能的短，请你帮助设计师求出当最小时，郁金香园（即）的面积．（观景亭的大小以及小路、篱笆的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $