山东省泰安市泰山区2025--2026学年八年级下学期期末考试自我检测模拟卷

**基本信息** 山东省泰安市泰山区八年级下学期期末模拟卷，以几何与代数知识为核心，通过太阳能路灯测量、头盔销售利润等真实情境题，考查学生用数学思维解决实际问题的能力，体现应用意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/40分|菱形性质、二次根式、相似三角形判定等|结合图形辨析（如第1题菱形面积计算），考查基础概念理解| |填空题|5题/20分|二次根式意义、一元二次方程根与系数关系、黄金分割等|融入上海东方明珠黄金分割应用（第14题），体现文化与数学结合| |解答题|9题/90分|一元二次方程应用、四边形证明与计算、相似三角形实际应用等|设计分层任务，如第23题头盔销售利润问题，先求增长率再算售价，考查建模与运算能力；第24题平行四边形综合题，融合全等与相似推理，提升逻辑思维|

山东省泰安市泰山区八年级下学期期末考试自我检测模拟卷 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（     ） A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 3．（本题4分）如图，点为正方形内一点，，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（本题4分）的值是（　　） A．5 B． C．25 D． 5．（本题4分）下列式子中，是最简二次根式的是（  ） A． B． C． D． 6．（本题4分）将一元二次方程配成的形式，则m的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 7．（本题4分）如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）某商场一月份的利润是万元，三月份的利润是万元，设利润平均每月增长率为，则依题意列方程为(　　) A． B． C． D． 9．（本题4分）如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（ ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）若，则的值为________． 12．（本题4分）使式子有意义的x的取值范围是 ___________ ． 13．（本题4分）一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 14．（本题4分）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 15．（本题4分）如图，在中，点D在边上，，，若点E在边上，且，线段与线段交于点F，若，则______． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题9分）如图，在中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)已知，证明四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，直接写出四边形的面积． 19．（本题9分）如图，P为等边的边BC上一点，D为上一点，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（本题10分）太阳能路灯的使用既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某同学想测量一盏太阳能路灯灯泡离地面的高度．他带着竹竿和皮尺，利用路灯本身的灯光，通过测量影长来推算路灯高度．如图，B处在路灯灯泡A的正下方，该同学在路灯前的水平空地进行测量，他先将竹竿直立在C处，此时竹竿的影子长为；再将竹竿直立在E处，此时竹竿的影子长为．已知，，点B，C，G，E，H在同一直线上，竹竿长为（即），，求该太阳能路灯灯泡A到地面的高度． 21．（本题11分）已知关于x的方程：． (1)若该方程有一个根是2，求k的值； (2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 22．（本题11分）如图，在正方形中，G是对角线的延长线上的点，以线段为边作正方形，连接，与边交于点P，连接，与交于点H． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 23．（本题12分）吉水县公安局提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为40元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为50元时，月销售量为500个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 24．（本题12分）在中，于点E，于点F． (1)如图1，若，求的值． (2)如图2，若，连接并延长，交的延长线于点G． ①求证：． ②当时，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区八年级下学期期末考试自我检测模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A D A A D A D 1．A 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入已知对角线长度计算即可． 【详解】解：如图， ∵重叠的部分为菱形， ∴菱形的面积， ∵，， ∴． 2．A 【分析】①利用同旁内角互补，两直线平行，即可证得此四边形的两组对边分别平行，得平行四边形；②、③举反例等腰梯形，即可判断；④根据平行四边形与菱形的判定即可证得． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 即相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形， 故①是符合题意的； 对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形， 故②是不符合题意的； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； 故③是不符合题意的； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 故④是符合题意的； 3．C 【分析】 先由及求出的度数，再利用正方形性质得到及，进而求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ 4．A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．D 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母，2被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：根据最简二次根式的定义判断： 对于A，的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 对于B，，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 对于C，，36是能开得尽方的数，，不满足条件，不是最简二次根式； 对于D，，13是质数，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，因此是最简二次根式． 6．A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题关键． 通过配方法将方程化为完全平方形式，对比系数得出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将一元二次方程配成的形式， ∴． 故选：A． 7．A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意． 故选：A． 8．D 【分析】先根据每月增长率的意义，依次表示出二月份、三月份的利润，再结合三月份的实际利润列出方程，最后对比选项得出答案． 【详解】解：∵设利润平均每月增长率为，一月份的利润是万元， ∴二月份的利润为万元， ∴三月份的利润为万元， ∴依题意列方程为，对应选项D． 9．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、但没有夹角相等，不能判定，故该选项符合题意； B、由可判定，故该选项不符合题意； C、由，可判定，故该选项不符合题意； D、由且，可判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 10．D 【分析】根据位似图形的性质得到位似比，，进而得到，根据相似比得到两个三角形的面积比即可． 【详解】解：以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ，，点、、三点在同一条直线上， ， ；则选项B和C正确； ， ， ， 则选项A、B、C正确，D错误； 故选：D． 11． 【分析】根据题意得到，再把代入所求式子中约分，即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 12． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 要使分式有意义，分母不能为零，且分母中的二次根式被开方数必须非负．结合两者，被开方数必须大于零． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 14． 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 15． 【分析】过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：过点A作于点G，交于点H，连接并延长，交于点N，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ， ∴， 设，，则有， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、平行线的性质、全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16．(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ∴，； （2）解： 或 ∴，； 17．(1)2 (2) 【分析】（1）先分母有理化，再根据二次根式的性质、立方根的定义化简，再合并即可； （2）先根据负整数指数幂、完全平方公式、绝对值的意义计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)见解析； (2)18． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，进而证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）证明得，再由勾股定理求得，即可解决问题． 此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵共线， ∴ ∵ ， ∵ ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质得出，根据三角形的外角定理和角度的和差关系得出，即可证明； （2）根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∵，且， ∴， ∴． （2）解：∵等边，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：． 20． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，通过构建两组相似三角形，利用已知的竹竿长度，影子长度以及线段之间的关系列出比例式，进而求解出路灯高度． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴，， 即，， 可得：，解得， 经检验是原方程的解， ∴， 解得， ∴， 即该太阳能路灯灯泡A到地面的高度为． 21．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有一个根是2， ∴， 解得； （2）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 22．(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理的应用， （1）通过证明即可证明结论； （2）利用全等三角形性质得出，进而证明从而得出结论； （3）过点G作，交的延长线于点M，先证明，再根据勾股定理得出，求出再根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形， ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：． 理由：由（1）知，， ． ，，， ， ． （3）解：如图，过点G作，交的延长线于点M． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， 是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理得， 解得（负值已舍去）． ∵四边形是正方形，， ， ． 在中，由勾股定理得． 23．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元 【分析】（1）设月增长率为，根据4月和6月的销量，利用平均增长率的数量关系列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果； （2）设实际售价为元，根据“总利润=单个利润×月销售量”列一元二次方程，结合尽可能让顾客得到实惠的要求，舍去不符合题意的解，即可得到结果． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意得， 整理得， 解得，， 因为要尽可能让顾客得到实惠， 所以舍去， 所以， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 24．(1) (2)①见解析②见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键， （1）证明，运用相似三角形的性质可得结论根据平行四边形的面积公式解答即可； （2）①根据平行四边形的性质，利用得到，然后根据对应边相等证明即可； ②根据推理得到，，即可得到，然后根据相似三角形的对应边成比例证明即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ， ∴，，， 又，， ∴， ∴， ∴， 又，且， ∴； （2）解：①证明：∵四边形是平行四边形 ，且， ∴平行四边形是菱形， ∴,， 又，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $