21.3.2 菱形 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件围绕菱形的定义、性质及判定展开，课堂导入通过类比矩形（平行四边形角的变化），提出平行四边形边变化的问题，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生自然过渡到菱形的探究。 其亮点在于注重探究式学习，通过折纸观察对称性、测量验证边和对角线关系（数学眼光的几何直观），小组讨论推导性质（数学思维的推理意识），结合典型例题和对应训练巩固应用（数学语言的模型意识）。课堂小结系统梳理概念和性质，帮助学生构建知识体系，提升学习效率，也为教师提供清晰的教学流程和互动素材。

平行四边形 21.3.2 菱 形 1 1．理解并掌握菱形的定义和性质． 2．能熟练运用菱形的性质进行计算和证明． 学习目标 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形. 有一个角是直角 那么当平行四边形边发生变化时，会得到什么特殊平行四边形呢？ 情景导入 探究点1 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折,然后打开. 观察图形,回答下列问题: （1）菱形在对称性方面有什么特点? 菱形的性质 菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 菱形在平行四边形的基础上多了邻边相等的条件. 探究点1 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折,然后打开. 观察图形,回答下列问题: （2）菱形是特殊的平行四边形,它和平行四边形相比,有什么特殊之处? 菱形的性质 由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形,由平行四边形对边相等的性质容易发现菱形的四条边都相等. 探究点1 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折,然后打开. 观察图形,回答下列问题: （3）平行四边形的两组对边分别相等,那么菱形的四条边有怎样的关系呢? 菱形的性质 归纳总结：菱形的四条边都相等. 思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思考：从哪些方面考虑它的特殊性质呢？ (1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法. A B C D O 边特殊化 A B C O D 活动：准备素材：直尺、量角器、课本等. (1) 请同学们以小组为单位，测量书本中菱形的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. 探究新知 同样地，菱形是四条边相等的四边形. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？ 你能用折纸的办法得到一个菱形吗？ 先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形． 展开 猜想2：四条边相等的四边形是菱形. 如何证明这个猜想呢？ 探究新知 猜想2：四条边相等的四边形是菱形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD； ∴AB=CD ， BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 求证：(2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC， ∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB， ∠ABD =∠CBD. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. A B C O D 分析： 平行四边形 ABCD OA = OC，OB = OD AB = AD △ABD 是等腰三角形 AO⊥BD，AO 平分∠BAD ∠DAC =∠BAC 同理可证∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD (2) ∵AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中，OB = OD， ∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC. 同理可证∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD. A B C O D 典型例题 例 4 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形． 证明：∵EF 垂直平分 AC， ∴AE＝EC，AF＝FC，OA＝OC. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠1＝∠2. 在△OAE 和△OCF 中， ∴△OAE≌△OCF (ASA). ∴EA＝FC， ∴EA＝EC＝FA＝FC， ∴四边形 AFCE 是菱形. A B C D F E O 1 2 解：证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D =90°, AD=BC，AB=CD. ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD ，AD的中点， ∴AH=DH=BF=CF,AE=BE=CG=DG. ∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)， ∴HE=FE=FG=HG，∴四边形EFGH是菱形. 对应训练 1. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD ，AD的中点. 求证：四边形EFGH 是菱形. F E H G C B A D 2. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？ 对应训练 【选自教材P58，练习第3题】 A B C D 解：四边形ABCD是一个菱形. 理由：过点A作AE⊥BC于点E,作AF⊥CD于点F. ∵AD∥BC，AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D. 又∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF， ∴△ABE≌△ADF(AAS)， ∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. E F 例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长 (结果保留小数点后两位) 和花坛的面积 (结果保留小数点后一位). 解：∵花坛 ABCD 的形状是菱形， ∴AC⊥BD， ∠ABO = ∠ABC = ×60°=30°. 在 Rt△ABO 中，AO = AB = ×20 = 10. BO = = = . ∴花坛的两条小路长为：AC = 2AO = 20 (m) ， BD = 2BO = ≈ 34.64 (m) . 花坛的面积为：S菱形ABCD = AC·BD = ≈ 346.4 (m2) 当堂检测 C 当堂检测 D 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=90°, (2)菱形ABCD的面积 ∴AC=2AE=2×12=24(cm). D B C A E 如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求：(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积. 20 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE． ∵CE=CE， ∴△BCE≌△DCE（SAS）． ∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC. ∴∠AFD=∠CBE． A D C B F E 如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E. 求证：∠AFD=∠CBE. 21 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为CD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（　　） A．32 B．24 C．16 D．18 D A B C O E DC=2OE=4 周长=4DC=16 C 菱形 概念 特殊性质 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ①四条边都相等； ②对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ③轴对称图形. 课堂小结 3.如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O，过点A作，交BC于点E，若，则CE的长度是( ) A. B. C. D. 解析：四边形ABCD是菱形， ，. 菱形ABCD的面积为 ，.故选C. 4.如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则的长为( ) A.2 B. C.4 D. $