21.3.2 菱形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦菱形的概念、性质、判定及应用，通过回顾矩形（角特殊的平行四边形）自然过渡到菱形（边特殊的平行四边形），构建平行四边形特殊化的知识脉络，为学生提供清晰的学习支架。 其亮点在于结合门窗窗格、中国结等生活实例培养数学眼光，通过性质证明（如对角线垂直平分）和例题（例1-1用勾股定理求周长）发展推理能力与运算能力，对比矩形性质形成知识体系。学生能直观理解并应用知识，教师可借助丰富例题与检测提升教学效率。

21.3.2菱形 第二十一章 四边形 人教版(2024) 素养目标 1 理解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2 探索并证明菱形的性质定理； 3 能熟练运用菱形的性质进行计算和证明. 新知导入 平行四边形 有一个角是直角 矩形 前面研究了角满足特殊条件的平行四边形——矩形. 再来看边满足特殊条件的平行四边形. 平行四边形 一组邻边相等 菱形 探索新知 前面我们学习了矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就成为了矩形. 思考 如果从边的角度将平行四边形特殊化，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 一个角是直角 探索新知 菱形的定义 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 注意：菱形是特殊的平行四边形,平行四边形不一定是菱形. 平行四边形 菱形 一组邻边相等 探索新知 菱形也是常见的几何图形. 有些门窗的窗格、美丽的中国结、活动挂架等都有菱形的形象. 地砖等 你还能举出一些例子吗？ 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 7 【例1-1】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=12cm,AC=6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD,AO=0.5AC,BO=0.5BD. ∵AC=6cm,BD=12cm， ∴AO=3cm,BO=6cm. 在Rt△ABO中,由勾股定理得 ∴菱形的周长=4AB=4×3 =12 (cm)． B A D O C 8 问题2　预习课本P74~P75思考： 已知线段AC，用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线. 小刚的作法如下：如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D四点，四边形ABCD是菱形. 根据小刚的作法猜想有什么条件可以判定一个四边形是菱形？对你的猜想进行证明. 提示　猜想：四条边都相等的四边形是菱形. ∵AB=CD，BC=AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 探究新知 菱形的性质： 1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD; A B C O D AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC. AC⊥BD ; 猜想证明　形成性质　　 　我们得到了菱形的性质．如果把矩形和菱形的性质进行比较，发现它们很相似．你能写出矩形、菱形的定义及它们的特殊性质并进行比较吗？ 矩形和菱形特殊性质比较 平行四边形 矩形 菱形 一个角是直角 一组邻角相等 一组邻边相等 四个角是直 角（相等） 对角线 相等 四条边 相等 对角线互 相垂直 轴对称性 例4 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12， ∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30， ∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. ∵ 又∵菱形两组对边的距离相等， ∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h， ∴13h＝120，得h＝ . 菱形的面积计算有如下方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)； (3)两条对角线长度乘积的一半． C 当堂检测 1.判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ A B C D O E 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC, CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE， ∴四边形ADCE是平行四边形. 又∵∠AOD=90°， ∴四边形ADCE是菱形． 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形. B C A D O E M N （1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE， ∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF为菱形. 如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的 平分线交BC于点E，连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形； （2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． D A B C O D A 如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长. 解　∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8. 练习1 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是( ) A. B. C. D. 解析：A、根据等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意； B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、根据同旁内角互补，两直线平行，不能得到平行四边形是菱形，符合题意； D、根据平行四边形的对边平行，两直线平行，内错角相等，以及等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；故选C. 练习2 在菱形 中,对角线 , 相交于点O, , ,则 的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.3 解析：如图,∵四边形ABCD是菱形, ∴ , , ∵ ,∴ .故选D. 练习3 如图,在菱形 中, , ,O为对角线 的中点,过O作 ,垂足为E,则 的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 $