21.3.3 正方形（第2课时）课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过学校制作正方体灯笼的实际问题导入，连接菱形、矩形的旧知，引导学生从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发探究添加条件转化为正方形，构建判定方法的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过对比表格和研究路径流程图发展数学语言，强调“既是矩形又是菱形”的逻辑推理（数学思维）。例题与练习结合证明与实际应用，帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学。

正方形（第2课时） 数学人教版八年级下册 1 学校在元宵节要制作一批不同大小的正方体形状灯笼，需要在卡纸上画出正方形的面．小明负责裁剪，他画了一个四边形，却无法确定它是否为正方形．若测量四条边均相等，也可能是菱形；若测量四个角都是直角，也可能是矩形．他陷入了困惑：究竟需要满足哪些条件，才能准确判定一个四边形是正方形呢？请结合所学知识，帮小明总结正方形的判定方法． 问题 问题1 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论． 矩形 证明图形是菱形 正方形 对角线垂直 或有一组邻边相等 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论． 问题1 证明图形是矩形 正方形 菱形 有一个角是直角 或对角线相等 问题1 平行四边形 正方形 证明图形既是矩形 又是菱形 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论． 分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论． 问题1 正方形 四边形 平行四边形 无论从哪个图形出发，最终都要证明这个四边形既是矩形也是菱形． 证明图形既是矩形 又是菱形 证明图形既是矩形 又是菱形 问题2 结合刚才对正方形判定的探究，思考：矩形、菱形、正方形在概念，边，角，对角线，对称性，判定这几个方面，有哪些相同点和不同点？它们之间存在怎样的关系？ 矩形 菱形 正方形 概念 边 角 对角线 轴对 称性 判定 有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 对边平行且相等 对边平行且四边相等 对边平行且四边相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 互相平分且相等 互相平分、垂直且平分一组对角 互相平分、垂直、相等且平分一组对角 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 1.定义法 2.对角线相等的平行四边形 3.三个角是直角的四边形 1.定义法 2.对角线互相垂直的平行四边形 3.四条边相等的四边形 证明既是矩形又是菱形 问题2 回顾学习这三种图形的全过程，我们是按照怎样的路径来研究这些特殊的平行四边形的？ 概念 性质 判定 应用 从“平行四边形—特殊的平行四边形（矩形、菱形）—正方形”的特殊化路径，从一般到特殊的几何研究思路． 例1 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的矩形； （3）对角线相等的菱形； （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 分析：不论从哪个图形出发，最终要明确这个四边形既是矩形又是菱形，这是判定正方形的核心本质． 解：（1）是，满足条件的平行四边形既是菱形也是矩形； 菱形 矩形 10 例1 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的矩形； （3）对角线相等的菱形； （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形． 解：（2）是，满足条件的矩形也是菱形； 菱形 矩形 菱形 矩形 （3）是，满足条件的菱形也是矩形； （4）是，满足条件的四边形是平行四边形，同时既是菱形也是矩形． 菱形 矩形 11 归纳 （1）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； （2）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形； （3）有一组邻边相等的矩形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）有一个角是直角的菱形是正方形； （6）对角线相等的菱形是正方形． 正方形判定的几种方法 12 例2 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形 EFGH 是正方形． 分析： 要证明 EFGH 是正方形 证明它既是菱形也是矩形 先证四条边相等 再证一个角是直角 先证三个角是直角 再证一组邻边相等 证明△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等 13 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA． 又 AE＝BF＝CG＝DH， ∴ EB＝FC＝GD＝HA． ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． ∴ HE＝EF＝FG＝GH． 例2 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形 EFGH 是正方形． 14 ∴ 四边形 EFGH 是菱形． ∵ △AEH≌△BFE， ∴ ∠2＝∠3． 又 ∠1＋∠2＝90°， ∴ ∠1＋∠3＝90°． ∴ ∠HEF＝180°－(∠1＋∠3)＝90°． ∴ 四边形 EFGH 是正方形． 例2 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形 EFGH 是正方形． 有一个角是直角的菱形是正方形． 还有其他证明方法吗？ 15 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA． 又 AE＝BF＝CG＝DH， ∴ EB＝FC＝GD＝HA． ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴ △AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． ∴ ∠2＝∠3． 例2 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形 EFGH 是正方形． 16 又 ∠1＋∠2＝90°， ∴ ∠1＋∠3＝90°． ∴ ∠HEF＝180°－(∠1＋∠3)＝90°． 同理 ∠EFG＝∠HGF＝90°． ∴ 四边形 EFGH 是矩形． ∵ △AEH≌△BFE， ∴ HE＝EF．∴ 矩形 EFGH 是正方形． 例2 如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，且 AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形 EFGH 是正方形． 有一组邻边相等的矩形是正方形． 17 归纳 正方形的性质和判定的综合应用问题，往往先由正方形的性质得到相等的线段、相等的角等条件，再将这些条件通过全等三角形等几何知识进行转化，进而得到判定正方形的条件． 18 　　1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．求证：四边形 CEDF 是正方形． 分析： 矩形 CEDF 角平分线的性质 DE＝DF 　　1．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为 E，F．求证：四边形 CEDF 是正方形． 证明：∵ DE⊥BC，DF⊥AC， ∴ ∠DEC＝∠DFC＝90°． 又 ∠ACB＝90°， ∴ 四边形 CEDF 是矩形． ∵ CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴ DF＝DE．∴ 矩形 CEDF 是正方形． 角平分线的性质 有一组邻边相等的矩形是正方形． 2．王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合．王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾．你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？ 解：不一定．因为她的方法只能证明四边形是菱形．应该再沿着一组对边的中点将丝巾对折，看看相邻两角是否重合，如果重合说明它们是直角，这样才能判定四边形是正方形． 正方形的判定 定义法 从矩形判定 一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 从菱形判定 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形 $