精品解析：江西九江市永修外国语学校2025-2026八年级下册数学期中测试

江西九江市永修外国语学校2025-2026八年级下册数学期中测试 考试范围：第1-3单元 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该图形不是中心对称图形，不符合题意； B. 该图形是中心对称图形，符合题意； C. 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 若 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质为：不等式两边加或减同一个数或整式，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵已知 ， ∴对A选项：不等式两边同时加3，不等号方向不变，可得，故A错误； 对B选项：不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，故B错误； 对C选项：不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得 ，故C错误； 对D选项：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，故D正确． 3. 用反证法证明命题“两直线平行，同位角相等”，首先应假设（ ） A. 两直线不平行 B. 同位角不相等 C. 两直线不平行，同位角不相等 D. 同位角不一定相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反证法的基本步骤，反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，找到原命题的结论后，给出结论的否定即可得到答案． 【详解】解：原命题“两直线平行，同位角相等”中，条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． ∵ 反证法的第一步是假设命题的结论不成立， ∴ 需要假设“同位角相等”不成立． 4. 已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】 解： 解不等式①得， ， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴表示在数轴上为 故选：C． 5. 如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将 旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 连接，，，分别作，，的垂直平分线交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，、，分别作，，的垂直平分线交点为点B，即点B是旋转中心， 故选：B． 6. 定义：关于同一个未知数的不等式A和B，若不等式A的解集包含了不等式B的解集，则称不等式B是A的子集，例如不等式A：，不等式B：，因为包含了所以我们称A是B的子集．已知，若A是B的子集，则符合要求的正整数的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，再根据题目给出的“子集”定义，得到关于的不等式，最后找出符合要求的正整数的个数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， ， 解不等式， 移项得， ， 根据定义，若是的子集，则的解集包含的解集， ， 不等式两边同乘得， 解得， 是正整数， 符合条件的为，共个． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______ ． 【答案】 80 【解析】 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可求解. 【详解】解： 等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等， 顶角的度数为. 8. 如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，添加的条件为 ， ， ， 故答案为：． 9. 不等式的正整数解________个 【答案】3 【解析】 【分析】先按一元一次不等式的解法求解不等式，得到x的取值范围，再找出范围内的正整数，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 ， ∴不等式的正整数解为1，2，3，共3个． 10. 某种商品的进价为250元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于 ，则至多可在标价的基础上打_____________折． 【答案】七## 【解析】 【分析】设可打折，根据利润率不低于 ，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设可打折，由题意得： 化简得， 移项得， 系数化为得， 故至多可打折． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，过点E作 轴，点C为轴正半轴上的动点，点D为射线上的动点，始终满足 轴，则 的最小值是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】将点B向上平移4个单位到点P，连接，证明四边形 为平行四边形，得出 ，从而证明 ，根据两点之间线段最短，得出当A、C、P三点共线时， 最小，即 最小，根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】解：将点B向上平移4个单位到点P，连接，如图所示： 根据平移可得点P的坐标为， 轴， ， ∵ ， ∴ 轴， ∴ 轴， ∴ ， ∵点C在x轴上，点D在射线上， ∴， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当A、C、P三点共线时， 最小，即 最小，最小值为的长度， ∵， ∴， ∴ 的最小值为． 12. 如图在平面直角坐标系中，点分别在 轴上，，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，_____ 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当， 时，过点P作轴，当， 时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴，，，， ∴，解得：， ∴，； 当， 时，过点P作轴，如图， 同理可得：， ， ∵， 设， ∴，，，， ∴ ，，解得：， ∴，； 当， 时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵ 设， ∴，，，， ∴，，解得：， ∴，； 综上，的长为或或． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成以下问题 （1）已知点向右平移4个单位后与点重合，分别求的值． （2）已知中，为的角平分线，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先推导出，求出，即可解答； （2）先求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵点向右平移4个单位后与点重合， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ． 14. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示． 【答案】 不等式组的解集为 ，在数轴上表示如图： 【解析】 【详解】解： 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式组的解集为 ， 数轴略. 15. 如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： （1）图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”） （2）请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复） 【答案】（1）轴对称 （2）解：如图所示， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行解答即可； （2）根据中心对称的定义进行解答即可． 【小问1详解】 解：图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是轴对称图形； 【小问2详解】 略 16. 如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． （1）求证：平分 （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （2）15 【解析】 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴． 17. 如图，直线上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线向左平移到图中的三角板位置，为与的交点．． （1）求平移的距离； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，则平移的距离为，即可解答； （2）先求出，再根据，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， 平移的距离为； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． （1）分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； （2）某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】（1）；（ ，为正整数） （2）当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，当人数在 20人以上时，选择方案二优惠 【解析】 【分析】本题考查了函数的表达式，方程或不等式的应用． （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）分三种情况：当时， 当 时， 当 时，再建立方程或不等式求解可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，； ； ；（ ，为正整数）； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得： ， 当 时，则， 解得：， 当 时，则， 解得： ， 所以，当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠， 当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以， 当人数在 20人以上时，选择方案二优惠． 19. 如图，直线经过点．与直线的解析式相交于点C，直线与y轴交于点E． （1）求直线的解析式； （2）①求的面积 ②根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将点，代入直线中求解 、，得到直线解析式； （2）①根据直线的解析式求出，联立，求出点的坐标，利用三角形的面积公式求解即可； ②根据图象，得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点，代入中得： ， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①令，则， ； 在中，令，则， ， ， 联立， 解得：， ， ， 即直线与直线及轴围成图形的面积为； ②解：由图象可知，直线与直线交于点， 关于的不等式的解集为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点按顺时针方向旋转得到， （1）画出； （2）在轴上寻找点P，使得有最小值，并求出点P的坐标． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点、、的位置，描出，并顺次连接、、即可； （2）作出点C关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为点P，求出直线的解析式为，当时，，则点P的坐标为，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作点关于x轴对称的点为，连接，与x轴的交点即为点P，如图 ∴，， ∴， 根据两点之间，线段最短，可得此时取得最小值，为， 设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点P的坐标为． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，的垂直平分线相交于点O，与BC分别交于点，连接 ． （1）若的周长为15，求BC的长； （2）若， ①求 的度数； ②若，求DE的长． 【答案】（1）15 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线性质， ，因此的周长可转化为 ，即的长度． （2）①由得 ，由 得 ，结合三角形内角和定理可求出 的度数，进而得到 的度数，用减去该和即可得 的度数．②过E作 ，交于．根据含30度的直角三角形性质得 ，由勾股定理得．得．由勾股定理得． 【小问1详解】 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴， ． ∵ 的周长为 ， ∴ ． 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 则． ②过E作 于． 则 ． ∵ ， ， ∴ ， ∴． ∵， ∴． ． 22. 学校安排192名学生外出研学一天，旅游公司有两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 1 1 37 2 3 96 （1）求两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； （2）为了将每位学生安全送往研学地，学校向旅游公司租用型和型中巴车共10辆， ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②已知每辆型中巴车每天的租金500元，每辆型中巴车每天的租金800元．要使总租金最少，应该选择哪种租车方案？ 【答案】（1）种型号中巴车满载时可乘载15人，种型号中巴车满载时可乘载22人； （2）①4种； ②租4辆型中巴车和6辆型中巴车时，总租车费用最少． 【解析】 【分析】（1）设种型号中巴车满载时可乘载人，种型号中巴车满载时可乘载人，根据题意建立二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设租用辆型中巴车，则租用辆型中巴车，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解； ②设租了辆型中巴车，总租车费用元，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设种型号中巴车满载时可乘载人， 种型号中巴车满载时可乘载人． 根据题意得，， 解得， 答：种型号中巴车满载时可乘载15人，种型号中巴车满载时可乘载22人． 【小问2详解】 ①设租用辆型中巴车，则租用辆型中巴车， 由题意得，， 解得，， 两种车都要租，，且为正整数， ， 学校共有4种租车方案； ②设租了辆型中巴车，总租车费用元， 由题意得，， ， 越大，越小， 由①可知，最大为4， 租4辆型中巴车和6辆型中巴车时，总租车费用最少． 六、解答题（本题共12分） 23. 综合实践 如图1， ，点D是上任意点，连接，数学兴趣小组对，三者之间是否存在某种数量关系展开了探究． 【特例感知】 （1）①当D与B重合时， ____________； ②当D在中点时， ___________． 【猜想证明】 （2）猜想点D为上任意点时（1）中发现的结论都正确，兴趣小组找到了证明这个结论的方法，将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图2所示，请完成证明． 【方法迁移】 （3）如图3在正方形中，点 分别是上的动点，连接 ，始终保持 ，请自主探究 之间的数量关系并完成证明． 【拓展延伸】 （4）如图4在等边中，点为内部一点，已知 ，求的长． 【答案】（1）①2；②2 （2）证明：由旋转，得 ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解： ，证明如下： 延长至点，使 ，连接，如图 在正方形中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ； （4） 【解析】 【分析】（1）①先推导出，得到，则，即可解答； ②先推导出 ，则，即可解答； （2）先推导出 ，得到，进而推导出 ，得到，则，即可解答； （3）延长至点，使 ，连接，推导出 ，得到 ，进而推导出 ，证明出 ，得到 ，则 ，即可解答； （4）将绕点A逆时针旋转至，过点作 的延长线于点，连接，推导出是等边三角形，得到 ，推导出是直角三角形，且 ，得到， ，求出，则，即可解答． 【小问1详解】 解：①如图 ， ， ， ； ②如图 ，点为的中点，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：将绕点逆时针旋转至，过点作 的延长线于点，连接，如图， 则 ， 是等边三角形， ， ， ， 是直角三角形，且 ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西九江市永修外国语学校2025-2026八年级下册数学期中测试 考试范围：第1-3单元 注意事项： 1．满分120分，答题时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明命题“两直线平行，同位角相等”，首先应假设（ ） A. 两直线不平行 B. 同位角不相等 C. 两直线不平行，同位角不相等 D. 同位角不一定相等 4. 已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将 旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 定义：关于同一个未知数的不等式A和B，若不等式A的解集包含了不等式B的解集，则称不等式B是A的子集，例如不等式A：，不等式B：，因为包含了所以我们称A是B的子集．已知，若A是B的子集，则符合要求的正整数的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 8. 如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是_________． 9. 不等式的正整数解________个 10. 某种商品的进价为250元，出售时标价为500元，后由于商品滞销，但要保持利润率不低于 ，则至多可在标价的基础上打_____________折． 11. 在平面直角坐标系中，已知点，过点E作 轴，点C为轴正半轴上的动点，点D为射线上的动点，始终满足 轴，则 的最小值是_____________ 12. 如图在平面直角坐标系中，点分别在 轴上，，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，_____ 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成以下问题 （1）已知点向右平移4个单位后与点重合，分别求的值． （2）已知中，为的角平分线，求的长 14. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示． 15. 如图，请你仔细观察图①中三个网格中的阴影部分构成的图案，按要求回答下列问题： （1）图①中的三个图案都具有一个共同的特征：都是_____图形（填“轴对称”或“中心对称”） （2）请你在图②、图③的网格中分别选择两个小正方形涂上阴影，使阴影部分构成的图案都是中心对称图形（要求不能重复） 16. 如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． （1）求证：平分 （2）若，求的面积． 17. 如图，直线上摆放着直角三角形纸板，将三角板沿直线向左平移到图中的三角板位置，为与的交点．． （1）求平移的距离； （2）求阴影部分的面积． 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． （1）分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； （2）某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 19. 如图，直线经过点．与直线的解析式相交于点C，直线与y轴交于点E． （1）求直线的解析式； （2）①求的面积 ②根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点按顺时针方向旋转得到， （1）画出； （2）在轴上寻找点P，使得有最小值，并求出点P的坐标． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，的垂直平分线相交于点O，与BC分别交于点，连接 ． （1）若的周长为15，求BC的长； （2）若， ①求 的度数； ②若，求DE的长． 22. 学校安排192名学生外出研学一天，旅游公司有两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 1 1 37 2 3 96 （1）求两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； （2）为了将每位学生安全送往研学地，学校向旅游公司租用型和型中巴车共10辆， ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②已知每辆型中巴车每天的租金500元，每辆型中巴车每天的租金800元．要使总租金最少，应该选择哪种租车方案？ 六、解答题（本题共12分） 23. 综合实践 如图1， ，点D是上任意点，连接，数学兴趣小组对，三者之间是否存在某种数量关系展开了探究． 【特例感知】 （1）①当D与B重合时， ____________； ②当D在中点时， ___________． 【猜想证明】 （2）猜想点D为上任意点时（1）中发现的结论都正确，兴趣小组找到了证明这个结论的方法，将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图2所示，请完成证明． 【方法迁移】 （3）如图3在正方形中，点 分别是上的动点，连接 ，始终保持 ，请自主探究 之间的数量关系并完成证明． 【拓展延伸】 （4）如图4在等边中，点为内部一点，已知 ，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $