精品解析：江西省九江市永修县外国语学校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度下学期八年级数学期中检测卷 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟； 2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中的点，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，直线分别与边，交于点D，E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 6. 如图，在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，点的坐标为，．点P在射线上运动，连接．当为等腰三角形时，则（ ） A 或或 B. 或或 C. 或或 D. 或或或 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设_________． 8. 一次函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为___________． 9. 一种微波炉进价为1000元，出售时标价为1500元，双十一打折促销，但要保持利润率不低于20%，则最低可打_____折． 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则_____． 11. 已知中，，，平分，若，则的长为________． 12. 如图，在中，，分别作边，的垂直平分线，，垂足分别是，．甲、乙、丙的结论如下，下列说法一定正确的是_____． 甲：； 乙：点在线段BC的垂直平分线上； 丙：直线上到点，的距离之和最小的点是点； 丁：点F为线段的三等分点． 三、解答题（本大题共5题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 14. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 15. 利用无刻度的直尺在正方形网格纸中完成以下画图： （1）在边上找一点P，使得点P到两边距离相等； （2）在射线上找一点Q，使得．（保留画图痕迹） 16. 小马虎解不等式出现了错误，解答过程如下： 不等式两边都乘以6，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，合并同类项，得．（第三步） 解得（第四步） （1）小马虎解答过程是从第______步开始出错的，出错的原因是______． （2）请写出此题正确的解答过程． 17. 【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对直角边等于斜边的一半． （1）请写出上述定理的逆命题； （2）判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，如图： （1）以点为旋转中心，将顺时针转动，得到．在坐标系中画出，写出的坐标； （2）在（1）中，若上有一点，直接写出对应点的坐标； （3）作出关于点O的中心对称图形． 19. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 20. 如图，在五边形中，，，，点D是上一点，连接、，有，求证：． 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“友好解”． （1）请判断方程的解是不是不等式的“友好解”； （2）若关于的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； （3）当时，方程的解是不等式的“友好解”，请直接写出的最小整数值． 22. 书店用1500元首次购进了甲、乙两种杂志，甲种杂志每本进价为18元，乙种杂志每本进价为15元，书店在销售时甲种杂志每本售价为26元，乙种杂志每本售价为20元，全部售完后共获利润600元． （1）求书店购进甲、乙两种杂志各多少本？ （2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种杂志，购进甲种杂志的数量是第一次的2倍，而购进乙种杂志的数量不变，甲种杂志降价出售，而乙种杂志按原售价出售．当两种杂志销售完毕时，要使再次获利不少于800元，求甲种杂志每本最低售价应为多少元？ （3）某活动中心准备用280元购买甲、乙两种杂志，甲种杂志的单价是（2）的条件下的最低售价，在280元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 将图形中三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题： （1）如图1，等腰直角中，，，D为边上的一点，，作，且（即旋转至），连接，，请证明：； （2）如图2，四边形中，，，若，则四边形面积为_____； （3）如图3，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期八年级数学期中检测卷 考生须知： 1、全卷满分120分，考试时间120分钟； 2、试卷和答题卡都要写上班级、姓名； 3、请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， A、，原写法错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、可能大于0，小于0，等于0，那么与的大小不确定，故不符合题意， 故选：B． 3. 平面直角坐标系中的点，将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的坐标平移，解题的关键是熟练掌握坐标平移规律． 根据平移的坐标变化规律，向左平移横坐标减小，向下平移纵坐标减小，依次计算即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中的点，向左平移过程中，横坐标减小，纵坐标不变， ∴将点向左平移个单位长度，得到点， 向下平移过程中，横坐标不变，纵坐标减小， ∴点向下平移个单位长度，得到点， 故选：． 4. 如图，在中，，直线分别与边，交于点D，E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵中，， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴， 故选：D． 5. 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作于点D，再根据含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质以及线段的和差求解即可. 【详解】解：过点P作于点D， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点和点关于轴对称，点的坐标为，．点P在射线上运动，连接．当为等腰三角形时，则（ ） A 或或 B. 或或 C. 或或 D. 或或或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据题意进行分类讨论． 由题意可得线段的长度，根据等腰三角形顶点的位置进行分类讨论，解三角形，即可得不同情形对应的的长度． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点和点关于轴对称， ∴， ∵为等腰三角形， ∴，或，或， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 当时，如图， 作于点，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴或或，   故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设_________． 【答案】三角形的三个外角中至少有两个锐角 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个外角中至多有一个锐角”，应先假设三角形的三个外角中至少有两个锐角， 故答案为：三角形的三个外角中至少有两个锐角． 【点睛】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 8. 一次函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可. 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为， 当时，函数的图象在函数的图象的上方，关于的一元一次不等式的解为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，以及一次函数的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键. 9. 一种微波炉进价为1000元，出售时标价为1500元，双十一打折促销，但要保持利润率不低于20%，则最低可打_____折． 【答案】8 【解析】 【分析】设打x折出售，根据利润＝售价﹣进价结合润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论. 【详解】解：设打x折出售， 依题意，得：1500×﹣1000≥1000×20%， 解得：x≥8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键. 10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，等边对等角，先由平行线的性质得到，再由旋转的性质可得，，进而根据等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，则可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 11. 已知中，，，平分，若，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知，，结合，从而推出，然后由角平分线的性质可知，得到，，从而证明，最后由，得到，即可得到答案． 【详解】解： ， 平分 ， 又 故答案为：2． 12. 如图，在中，，分别作边，的垂直平分线，，垂足分别是，．甲、乙、丙的结论如下，下列说法一定正确的是_____． 甲：； 乙：点在线段BC的垂直平分线上； 丙：直线上到点，的距离之和最小的点是点； 丁：点F为线段的三等分点． 【答案】甲、乙、丙  【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得角之间的关系，根据角的和差计算即可得，可判断甲，连接，，，由线段垂直平分线的性质，等量代换，可判断乙，由线段垂直平分线的性质 结合两点之间线段最短，可判断丙，由等边三角形结合线段垂直平分线的性质，可判断丁． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴甲说法一定正确，符合题意， 连接，，， ∵，分别是，垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在线段垂直平分线上， ∴乙说法一定正确，符合题意， ∵，两点之间线段最短， ∴直线上到点，的距离之和最小的点是点， ∴丙说法一定正确，符合题意， 当时，为等边三角形，则，点F为线段的三等分点， ∵和不一定相等， ∴点不一定为线段的三等分点， ∴丁说法不一定正确，不符合题意， 故答案为：甲、乙、丙 ． 三、解答题（本大题共5题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 14. 如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 15. 利用无刻度的直尺在正方形网格纸中完成以下画图： （1）在边上找一点P，使得点P到两边距离相等； （2）在射线上找一点Q，使得．（保留画图痕迹） 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合小网格的特征，作出的角平分线与的交点，即为点P，进行作答； （2）结合小网格的特征，作出的垂直平分线与射线的交点，即为点Q，进行作答； 【小问1详解】 解：点P如图所示： 【小问2详解】 解：点Q如图所示： 16. 小马虎解不等式出现了错误，解答过程如下： 不等式两边都乘以6，得（第一步） 去括号，得（第二步） 移项，合并同类项，得．（第三步） 解得（第四步） （1）小马虎解答过程是从第______步开始出错的，出错的原因是______． （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一，去分母时漏乘常数项 （2）不等式的解集为，解答过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据解不等式的基本步骤，一步步探析判断即可． （2）根据解不等式的基本步骤，求解断即可． 【小问1详解】 两边应该同时乘以6， 不等式左边=， 右边=， 即从第一步开始出错，出错原因是去分母时漏乘常数项， 故答案为：一，去分母时漏乘常数项． 【小问2详解】 不等式两边都乘以6得： ， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：． 即不等式的解集为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 17. 【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）请写出上述定理的逆命题； （2）判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）此命题是真命题，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了命题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）交换原命题的题设和结论即可； （2）延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【小问1详解】 逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； 【小问2详解】 此命题是真命题，理由如下： 已知：在中，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 在平面直角坐标系中，的点坐标分别是，如图： （1）以点为旋转中心，将顺时针转动，得到．在坐标系中画出，写出的坐标； （2）在（1）中，若上有一点，直接写出对应点的坐标； （3）作出关于点O的中心对称图形． 【答案】（1）图见解析， （2） （3）图见解析 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形和旋转的作图，准确作图是解题的关键． （1）分别作出点、、以点为旋转中心，顺时针转动，得到的对应点，顺次连接即可得到，写出的坐标即可； （2）根据（1）中的作图可知，绕原点顺时针旋转后，点的横坐标和纵坐标数值互换位置，并且纵坐标符号与原来相反，据此写出点的坐标即可； （3）分别作出点、、关于点O的中心对称点，顺次连接即可得到． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标是； 【小问2详解】 在（1）中，若上有一点，则对应点的坐标为； 【小问3详解】 如图，即为所求． 19. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】解：（1）解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）∵， ∴，， 则原式． （3）由不等式的解为，知； 所以， 又因为， 所以， 因为m为整数， 所以． 20. 如图，在五边形中，，，，点D是上一点，连接、，有，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 连接，首先证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】解：连接， 在和中， 有 ∴， ∴． 在和中， 有 ∴， ∴． 五、解答题（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“友好解”． （1）请判断方程的解是不是不等式的“友好解”； （2）若关于的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； （3）当时，方程的解是不等式的“友好解”，请直接写出的最小整数值． 【答案】（1）方程的解是不等式的“友好解” （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【小问1详解】 解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解是不等式的解， ∴方程的解是不等式的“友好解”； 【小问2详解】 ， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； 【小问3详解】 由，得， ∵， ∴， ∴，即， 由，得． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 22. 书店用1500元首次购进了甲、乙两种杂志，甲种杂志每本进价为18元，乙种杂志每本进价为15元，书店在销售时甲种杂志每本售价为26元，乙种杂志每本售价为20元，全部售完后共获利润600元． （1）求书店购进甲、乙两种杂志各多少本？ （2）若书店以原进价再次购进甲、乙两种杂志，购进甲种杂志的数量是第一次的2倍，而购进乙种杂志的数量不变，甲种杂志降价出售，而乙种杂志按原售价出售．当两种杂志销售完毕时，要使再次获利不少于800元，求甲种杂志每本最低售价应为多少元？ （3）某活动中心准备用280元购买甲、乙两种杂志，甲种杂志的单价是（2）的条件下的最低售价，在280元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？ 【答案】（1）购进甲、乙两种杂志各50本和40本； （2）甲种杂志每本最低售价应为24元； （3）方案一：甲、乙两种杂志分别购买5本、8本；方案二：甲、乙两种杂志分别购买10本、2本． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程（组），一元一次不等式的应用； （1）设购进甲、乙两种杂志各x本和y本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲种杂志每本售价应为m元，根据题意列出一元一次不等式，解不等式，即可求解； （3） 依题意得出，进而得出，根据a、b为正整数，求整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设购进甲、乙两种杂志各x本和y本， ∴， ∴， ∴购进甲、乙两种杂志各50本和40本； 【小问2详解】 设甲种杂志每本售价应为m元， ∴， ∴， ∴甲种杂志每本最低售价应为24元． 【小问3详解】 设购买甲种杂志a本，乙种杂志b本， 则， ∴ ∵a、b为正整数， ∴或 答：共有两种购买方案： 方案一：甲、乙两种杂志分别购买5本、8本； 方案二：甲、乙两种杂志分别购买10本、2本 六、解答题（本大题共12分） 23. 将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，可帮助解决很多几何问题： （1）如图1，等腰直角中，，，D为边上的一点，，作，且（即旋转至），连接，，请证明：； （2）如图2，四边形中，，，若，则四边形面积为_____； （3）如图3，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和勾股定理； （1）利用和得则有，从而得，，进而可得，然后根据勾股定理进行计算即可； （2）先构造出，进而判断出是直角三角形，四边形的面积等于的面积，由此即可求解； （3）以为边在的右侧作等边，连接，是等边三角形即可证明，从而可得，然后再求出，在中，利用勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长至，使，连接， 在四边形中， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：以为边在的右侧作等边三角形，连接，如图： ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴的长为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $