精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年高一上学期数学单元测试四

泉州五中2028届高一上数学单元测试四 一、单选题 1. 若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据角所在的象限判断所求角所在象限即可. 【详解】由题知，，， 则，在第二象限， 故选：B 2. 下列命题正确的是（ ）． A. 小于的角是锐角 B. 第二象限的角一定大于第一象限的角 C. 与终边相同的最小正角是 D. 若，则是第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角定义判断A，取特殊角判断B，根据终边相同角判断C，确定所在象限判断D. 【详解】，但是由锐角的定义知不是锐角，故A错误； 是第二象限的角，是第一象限的角，但，故B错误； 因为，所以与终边相同的最小正角是，故C正确； 且，所以是第三象限角，故D错误. 故选：C 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式判断函数单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】.因为在上为增函数，且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 4. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数，且在上单调递增，运用对数的运算，将三个自变量化简到内，最后利用单调性、奇偶性比较大小. 【详解】因为函数，定义域为，而且 所以为偶函数， 因为时，在上单调递增； ， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案. 【详解】由的定义域为，得的定义域为. 所以或， 综上，的定义域为. 故选：C. 6. 那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422 【答案】D 【解析】 【分析】根据二分法直接判断即可得解． 【详解】设近似解为， 由零点存在性定理及二分法计算数据： 因为，，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 因为 且，， 所以可取近似解． 故选：D 7. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则,由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为6次． 故选：C. 8. 函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的关系先判断函数是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可判断． 【详解】设，则， 当时，为增函数，也是增函数，则为增函数， 当时，为减函数，也是减函数，则为增函数， 综上可得：为增函数，即在内是单调函数． 因为是单调递增函数，所以若为“梦想函数”， 则有，即方程有两个不同的解， 即可得有两个不同的解， 令，即方程有两个不等的正实数根， 即，有两个不等的正实数根， 即和在的图象有两个不同交点， 又在的最小值为， 所以结合图象可知： 即. 即的取值范围为. 故选：A 二、多选题 9. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可. 【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为, 所以，故A正确； 对于B，若，则，又， 则，故B错误； 对于C，若， 所以，故C正确； 对于D,若，，又， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 10. 已知函数（且）的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据函数单调性分析判断；对于B：根据分析判断；对于C：根据分析判断；对于D：整理可得，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为在定义域内是增函数可知，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为， 由图可知，即， 且，可得，，故C错误； 对于选项D：因， 则，可得， 因在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 若，则，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ） A. 当，有1个零点 B. 当时，有3个零点 C. 当，有2个零点 D. 当时，有7个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】将函数的零点个数问题转化为解的个数问题，设，即有，然后结合每个选项中t的范围作出函数图象，数形结合，即可求解相应方程的解，进而确定函数零点个数. 【详解】令，则，设，则等价于， 则函数的零点个数问题即为解的个数问题； 二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为， 对于A，当时，作出函数的图象如图： 由图象可知有一个根， 则由可知此时方程只有一个解， 此时函数的零点个数为1，A正确； 对于B，当时，， 作出函数的图象如图： 由图象可知有一个根， 令，令， 则有3个解，即和， 此时此时函数有3个零点，B正确； 对于C，当时，分析同A，函数有1个零点，C错误； 对于D，当时，， 作出函数的图象如图： 由图象可知有3个根， 当时，； 当时，， 则对于， 当时，，当时，，此时共有3个解； 对于，此时有1个解， 即有2个解， 对于，此时有1个解， 即无解， 故此时函数有7个零点，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题是关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解. 三、填空题 12. 若非零实数满足且，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据指对互换可得：，，然后将原式转化为，代入并根据对数运算性质进行求解即可. 【详解】， 由，可得：， 解得：. 故答案为：. 13. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，结合二次函数求出最大值，即可求解半径. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大． 故答案为：2 14. 已知函数定义域为，对于任意，当时，，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，令，根据题意可得在上单调递减，将不等式转化为，利用单调性解不等式即可得到答案. 【详解】因为函数定义域为，所以，所以， 又时，， 即，令，则， 又，所以在上单调递减，， 因为，所以，即， 即，根据的单调性得，解得， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知的定义域为集合A，函数，的值域为集合B． （1）求； （2）若集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分析得到的定义域和的值域，再利用交集运算性质可得结果； （2）由，可得，分和进行讨论，利用集合之间的关系分析即可. 【小问1详解】 要使函数有意义， 则且，解得， ∴其定义域为； 对于函数， ∵，∴，故，其值域为集合． ∴． 【小问2详解】 ∵，∴．当时，即时，，满足条件； 当时，即时，要使，则，解得． 综上可得：． 16. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与的函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 【答案】（1），59 （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求得、和时的解析式，综合即可得答案，代入数据，即可求得，时的值. （2）分别求出、时的表达式，结合基本不等式，反比例函数性质，分析即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则， 所以当时，； 【小问2详解】 由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 17. 已知函数，在区间上有最大值2和最小值，设． （1）求a，b的值； （2）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)讨论二次函数在给定区间的单调性和最值，即可列出方程组求解； (2)根据（1）求得，从而方程可化为，换元法，讨论二次函数的根的分布情况，列出不等式求解. 【小问1详解】 由题，且对称轴，所以函数在单调递增， 所以即， 即，所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 方程转化为， 即， 设，则方程化为，， 因为原方程有三个不同的实数根， 由的图象如下： 由图象可知，有两个正根，且， 设， 从而有解得，或此时无解， 综上，. 18. 已知为奇函数，． （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求得，然后检验满足即可得解； （2）根据，结合不等式性质求解函数的值域； （3）先判断为增函数，令，然后将函数有两个零点转化为在上有两不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为， 因为为奇函数，所以 当时，，所以，故， 则，经检验，满足条件，故． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，即，所以， 所以函数的值域． 【小问3详解】 因为为增函数，所以为增函数，为减函数， 所以为增函数．令，则． 由（2）可知，当时，仅一根， 所以在上有两不等根， 所以，解得，所以． 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数的取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 【答案】（1）是“伪偶函数”，不是“伪奇函数”； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用“伪偶函数”、 “伪奇函数”的定义分别判断即得. （2）①利用“伪奇函数”的定义建立等式，分段讨论并分离参数求出范围；②利用“伪奇函数点”的定义，结合零点存在性定理求出范围，再将分别用表示出，借助单调性推理得证. 【小问1详解】 由函数，得， 显然不存在非零实数满足，因此不是“伪奇函数”； 由，得，整理得，解得， 即存在非零实数满足，因此为“伪偶函数”. 所以函数是“伪偶函数”，不是“伪奇函数”. 【小问2详解】 ①由函数为定义在上的“伪奇函数”， 得存在非0实数，使得，即， 则当时，，即，因此； 当时，，即，而函数在上单调递减， 因此，所以实数的取值范围是. ②由函数在上存在两个“伪奇函数点”， 得关于的方程在上有两个解，不妨设， 令函数， 函数在上是单调函数，则在上至多一个解， 若在上有两个解，则与矛盾， 因此在上有一个解，在上有一个解， 由，得，且， 而当时，函数在上单调递减， 又，则方程在上必有一个解，， 因此， 令函数，而函数在上都单调递减， 则函数在上单调递减，，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2028届高一上数学单元测试四 一、单选题 1. 若α是第四象限角，则90º－α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 下列命题正确的是（ ）． A. 小于的角是锐角 B. 第二象限的角一定大于第一象限的角 C. 与终边相同的最小正角是 D. 若，则是第四象限角 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，记，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422 7. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 函数定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，扇形的半径，则 C. 若扇面为“美观扇面”，则 D. 若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为 10. 已知函数（且）图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 当时， 11. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ） A. 当，有1个零点 B. 当时，有3个零点 C. 当，有2个零点 D. 当时，有7个零点 三、填空题 12. 若非零实数满足且，则的值为__________. 13. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为___________． 14. 已知函数定义域为，对于任意，当时，，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知的定义域为集合A，函数，的值域为集合B． （1）求； （2）若集合，且，求实数a的取值范围． 16. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. （1）写出与函数关系式，并求出当，时的值； （2）该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 17. 已知函数，在区间上有最大值2和最小值，设． （1）求a，b的值； （2）若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 18. 已知奇函数，． （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 19. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”，为函数的“伪奇函数点”，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”，为函数的“伪偶函数点”. （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”，是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若函数为定义在上的“伪奇函数”. ①求实数取值范围； ②若函数在上存在两个“伪奇函数点”，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $