河南商丘市睢县高级中学2025-2026学年高一下学期第二次月考测试数学试题

2025-2026学年高一数学下学期第二次月考测试卷答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B D D A C A C BD AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】（或） 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1），平均数为69.5 （2）21.9 【解析】（1）由题意知，解得． 3分 估计这200名候选者面试成绩的平均数，即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5． 6分 （2）设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 7分 且这两组的频率之比为4∶1，则这两组的平均数为， 10分 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9． 13分 16．【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】（1），， 故，所以． 2分 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为 4分 （2）设，， ，又， 6分 或， 或． 8分 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 11分 所以且与不共线 即 13分 解得且 即的取值范围是 15分 17．【答案】（1）； （2）最大值为，此时圆柱的高为． 【解析】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为，高为．已知母线长，圆锥侧面展开图为半圆，因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入，得， 2分 圆锥的高 4分 因此圆锥的体积为 6分 （2）设圆柱的底面半径为，高为． 由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系 9分 圆柱侧面积公式为，代入得 11分 这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积 13分 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为 15分 18．【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）解：由正弦定理可知，，， 2分 又，，， ，，，； 4分 （2）解：由（1）及余弦定理得，即①， 5分 又因为，则，则， 即，所以②， 7分 由得， 8分 所以； 10分 （3）解：由（1）得，则，即， 12分 由正弦定理可知，， 所以． 14分 因为为锐角三角形，所以，，则，， 则，即， 16分 则， 故的周长的取值范围为． 17分 19．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】（1）因为底面，平面，则， 又因为底面为正方形，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以平面平面 4分 （2）在正方形中，则， 且平面，平面，可知平面， 且平面，平面平面，所以 8分 （3）存在点在的处，使得平面． 在线段上取点，使，连接，，． 在中，，即， 则，且， 11分 在正方形中，在的处，则，且， 可得，且，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，所以平面， 13分 在的处取点，连接，． 中，点，分别为，的处，则，且， 因为平面，则平面，即在平面上的射影， 15分 可知即为与底面所成角， 在中，， 若，，所以 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第二次月考测试卷20260610 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册第六~九章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，，则（ ） A． B． C． D． 2．某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A． B． C． D． 3．设，表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如图示），则原平面图形的周长为（ ） A． B． C．4 D．8 5．若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 6．记样本数据1，2，2，2，3的方差为，样本数据3，5，5，5，7的方差为，则（ ） A． B． C． D． 7．正三棱柱中，各棱长均相等，分别为棱的中点．则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了养成良好的运动习惯，小明记录了自己一周内每天的运动时长（单位：min），分别为53、57、45、61、79、49、a，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则a的只可能为（ ） A．59 B．58 C．62 D．64 10．在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点正方形及其内部运动，且，则下列正确的选项有（ ） A． B．点的轨迹的长度为 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的最小值为 11．的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则是等边三角形 B．已知，，若有两解，则的取值范围是 C．在中，若，，且满足条件，则动点经过的重心 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设、为单位向量，若，则______． 13．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，若河宽至少12米，则塔高______米． 14．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 16．（15分）已知平面向量，，，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17．（15分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的体积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，，． （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 19．（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，底面． （1）证明：平面平面； （2）设平面平面于直线，证明：； （3）若在线段上是否存在点，使得平面，若存在点，则为何值时，直线与底面所成角为． 学科网（北京）股份有限公司 $