1.6 基本不等式几种特殊解法（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦基本不等式特殊解法高考核心考点，涵盖柯西不等式、权方和不等式及对勾函数、齐次式等六种方法，按“知识复习（梳理公式及记忆口诀）—典例精讲”架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料特色在于“公式口诀化+典例分层训练”，如用“左平方右乘和”助记柯西不等式，通过双换元法转化条件培养数学思维，设置多选、填空、解答题分层练习保障效果，能提升学生解题效率，为教师提供精准复习路径。

1.6 基本不等式几种特殊解法（精讲） 第一部分：知识复习 1. 柯西不等式常用形式 (1) 二维形式: 等号成立当且仅当 ad = bc（即两组数成比例）。 (2) n维一般形式： 等号成立当且仅当 。 ‌记忆口诀‌：‌“左平方，右乘和”‌ 左边是两个平方和相乘，右边是对应项乘积之和的平方。 2. 权方和不等式常用形式 (1) 二元形式: 等号成立当且仅当 。 (2) 多元推广： 等号成立当且仅当 。 记忆口诀‌：‌“左方和，右和方”‌ 左边是分式平方和，右边是分子和的平方除以分母和 第二部分：典型例题 典例一：利用对勾函数求最值（取等条件不成立） 1．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 2．（25-26高三上·广东·期中）（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 3．（25-26高三上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为___________. 4．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）在下列各函数中，最小值等于的函数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖南长沙·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．“存在，使得”的否定是“对任意，均有” B．“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C．函数的最小值为1 D．使得对数有意义的实数的范围是 6．（25-26高三上·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．若则 B．函数的最小值是 C．的最小值是2 D．若，则 典例二：齐次式法求最值 7．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三·全国·暑假作业）已知，，，则的最小值为____． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 10．（2026高三·全国·竞赛）若且，则的最小值为_____． 11．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 12．（25-26高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 典例三：双换元法求最值 13．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 14．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 15．（25-26高三上·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 16．（25-26高三上·山西运城·期末）（多选）已知为正实数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B． C．的最大值为4 D．的最小值是 17．（2026·甘肃平凉·模拟预测）（多选）已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（    ） 0 1 2 P 0.2 c a A． B． C． D． 18．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 典例四：多次使用基本不等式求最值 19．（2026·山东日照·模拟预测）（多选）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 20．（25-26高三·全国·二轮复习）已知且，求的最小值为__________. 21．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 22．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 23．（25-26高三上·湖南娄底·阶段检测）设为正实数，则的最小值是____________． 24．（25-26高三上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 典例五：柯西不等式的应用求最值 25．（2026·安徽芜湖·模拟预测）（多选）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，求的最大值． 27．（2026高三·全国·作业）实数满足，求的最小值． 28．（2026高三·全国·作业）设，则的最小值为_____． 29．（2026高三·全国·作业）已知，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2026高三上·江苏·专题练习）已知，则的取最小值时，为_____________. 典例六：权方和不等式求最值 31．（2026高三上·江苏·专题练习）已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2026高三·全国·作业）已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 33．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知正实数、且满足，求的最小值___________. 34．（2026高三·甘肃·作业）已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 基本不等式几种特殊解法（精讲） 第一部分：知识复习 1. 柯西不等式常用形式 (1) 二维形式: 等号成立当且仅当 ad = bc（即两组数成比例）。 (2) n维一般形式： 等号成立当且仅当 。 ‌记忆口诀‌：‌“左平方，右乘和”‌ 左边是两个平方和相乘，右边是对应项乘积之和的平方。 2. 权方和不等式常用形式 (1) 二元形式: 等号成立当且仅当 。 (2) 多元推广： 等号成立当且仅当 。 记忆口诀‌：‌“左方和，右和方”‌ 左边是分式平方和，右边是分子和的平方除以分母和 第二部分：典型例题 典例一：利用对勾函数求最值（取等条件不成立） 1．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若实数，，满足，则； B．若，则函数的最小值为； C．不等式的解集为； D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是． 【答案】AC 【分析】由不等式的性质可判断A；由换元法和对勾函数的单调性可判断B；由二次不等式的解法可判断C；对讨论，结合二次函数的图象和性质可判断D． 【详解】若实数，，满足，可得，则，故A正确； 若，设 ，函数 即， 由对勾函数的性质可知，函数在递增， 则函数的最小值为 ，故B错误； 不等式即为，解得， 即不等式的解集为，故C正确； 当时，不等式恒成立， 若，则恒成立； 若，则，解得． 综上的取值范围是，故D错误． 故选：AC 2．（25-26高三上·广东·期中）（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 3．（25-26高三上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】分离参数，再将不等式有解转化为最值问题即可. 【详解】关于的不等式在区间有解， 则，使得不等式成立，即， 令，则， 令，函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（25-26高三上·安徽阜阳·期中）在下列各函数中，最小值等于的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合函数单调性及基本不等式分别检验各选项可得答案． 【详解】令，设， 则， 当时，，可得， ，所以在上单调递增， 当时，，可得， ，所以在上单调递减. 对于A，令，则，在上单调递增， 函数在处取得最小值，故A错误； 对于B，令，则由得，在上单调递减， 没有最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D,当时，D显然不成立，故D错误． 故选：C． 5．（25-26高三上·湖南长沙·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．“存在，使得”的否定是“对任意，均有” B．“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C．函数的最小值为1 D．使得对数有意义的实数的范围是 【答案】ABD 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题可判断A；根据充分必要条件的定义可判断B；根据复合函数的值域可判断C；根据对数函数的定义域可判断D. 【详解】由存在量词命题的否定是全称命题可知 “存在，使得”的否定是“对任意，均有”，故A正确； 若，，并且关于的方程的两根， 所以两根必是一正一负，所以充分性成立； 若关于的方程有一个正根一个负根， 则，解得，所以必要性也成立， 所以“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件，故B正确； 令，则原函数可化为由对勾函数单调性可知， 在上单调递增，所以，无最小值，即无最小值，故C错误； 由对数函数定义域可知使得对数有意义，则有，解得，故D正确； 故选：ABD 6．（25-26高三上·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ） A．若则 B．函数的最小值是 C．的最小值是2 D．若，则 【答案】D 【分析】利用作差法判断A，利用基本不等式判断B，根据对勾函数的性质判断C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A错误； 对于B：因为，所以, 当且仅当，即时，原式取最大值是,故B错误; 对于C：令，则， 因为在上单调递增， 所以当时取得最小值是， 所以的最小值是，当且仅当时取到，故C错误； 对于D：因为，可得， 所以，故D正确. 故选：D 典例二：齐次式法求最值 7．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值. 8．（26-27高三·全国·暑假作业）已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 10．（2026高三·全国·竞赛）若且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由条件并利用基本不等式，可知 当且仅当（即）时，取到最小值． 故答案为： 11．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 12．（25-26高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题意知， 当且仅当，且，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 典例三：双换元法求最值 13．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 14．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】/0.25 【分析】将原式变形为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案． 【详解】因为均为正实数，且， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”； 则的最小值为， 故答案为： 15．（25-26高三上·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先将分式进行化简，然后利用基本不等式的1的妙用求最小值. 【详解】因为，， 又， 则， 由可得， 不妨设， 则问题转化为当时，求的最小值， ， 当，即时取得等号， 即，解得， 此时最小值是. 故选：D 16．（25-26高三上·山西运城·期末）（多选）已知为正实数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B． C．的最大值为4 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断A，B，依题意可得，从而将转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质判断C，将原式变化为，进而化简，然后设，，而后用进行代换，最后用基本不等式判断D. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A正确； 对于B：因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：因为，所以，则，解得， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以无最值，故C错误； 对于D： ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，故D正确. 故选：ABD 17．（2026·甘肃平凉·模拟预测）（多选）已知离散型随机变量的分布列如表所示.其中,且，则下列说法正确的是（    ） 0 1 2 P 0.2 c a A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由分布列期望的计算公式，可得，再结合基本不等式，逐项判断即可. 【详解】由期望的计算公式可得，得. 对于A：因,则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由，可得，又由A可知，， 故，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C：因，则， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D：令，则，则， 则又因为，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 18．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 典例四：多次使用基本不等式求最值 19．（2026·山东日照·模拟预测）（多选）已知，，则下列说法正确的有（     ） A．若，则的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最小值为4 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式即可判断A；利用拼凑法和基本不等式即可判断B；利用和基本不等式即可判断C；将拆分成，再利用基本不等式即可判断D， 【详解】对于A，已知，，由基本不等式有， 两边平方得，当且仅当 ，即，时等号成立，故A正确； 对于B，因为，所以， 由基本不等式有， 当且仅当 ，即时等号成立， 因为，所以，故B错误； 对于C，已知，，由可得， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，已知，，，则，， ， 由基本不等式有， 当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，，即，时等号成立，故D正确. 20．（25-26高三·全国·二轮复习）已知且，求的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据题意和基本不等式求解可得， 则，再结合一般不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6. 21．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 22．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 23．（25-26高三上·湖南娄底·阶段检测）设为正实数，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】设，从而用表达出，从而原式等于，利用基本不等式求出最值，验证取等条件后得到答案. 【详解】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为： 24．（25-26高三上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【分析】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 典例五：柯西不等式的应用求最值 25．（2026·安徽芜湖·模拟预测）（多选）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D. 【详解】由时，满足，此时，A错， 由，有，当且仅当时取等号，B对， 由，当且仅当时取等号，C对， 由，则，当且仅当，即时取等号，D对. 26．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，求的最大值． 【答案】最大值为1 【分析】方法一：应用三角换元法，再结合三角函数值域及两角和正弦公式得出最大值；方法二：应用柯西不等式计算求解. 【详解】法一：（三角换元）令，，（，）， ， 当且仅当，或者，时等号成立，故最大值为1． 法二：（柯西不等式） ， 当且仅当，或时等号成立． 的最大值为1． 27．（2026高三·全国·作业）实数满足，求的最小值． 【答案】6400 【分析】，根据的符号及柯西不等式进行求解． 【详解】注意到， 若，由柯西不等式， 可得 等号成立时； 若，同理可得， 等号成立时（如）； 若，不妨设，则 ， 等号成立时；若一正二负或一负二正时， 不妨设，且， 此时． 综上，的最小值为6400． 28．（2026高三·全国·作业）设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【分析】根据柯西不等式的性质计算即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 故答案为：. 29．（2026高三·全国·作业）已知，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式可得，从而，；由，得．由于，所以可将看成点到标准单位圆面内点的距离的平方，由此得，从而，即得到其取值范围. 【详解】因为， 则，且，可得， 当且仅当时，等号成立； 又因为，则， 可得． 且， 设点和标准单位圆面内点，则， 又因为，所以， 所以，可得， 则， 当且仅当时，等号成立. 综上所述：所求取值范围是． 故选：C. 30．（2026高三上·江苏·专题练习）已知，则的取最小值时，为_____________. 【答案】 【分析】利用柯西不等式求出的最小值，再根据等号成立的条件求出，进而可求出的值. 【详解】由柯西不等式得：， 则，则， 根据等号成立条件知，解得，，， 所以. 故答案为： 典例六：权方和不等式求最值 31．（2026高三上·江苏·专题练习）已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】变形可得，根据权方和不等式即可求解. 【详解】由权方和不等式，可知 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B 32．（2026高三·全国·作业）已知是一个锐角，那么的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用权方和不等式的性质计算即可. 【详解】应用权方和不等式，有 等号成立时． 所以的最小值是． 故答案为：. 33．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知正实数、且满足，求的最小值___________. 【答案】 【分析】设，，，由权方和不等式计算可得. 【详解】设，，， 由权方和不等式，可知， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 34．（2026高三·甘肃·作业）已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________ . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $