精品解析：河南省叶县高级中学2025-2026学年高一下学期6月期末调研考试数学试题

2025——2026学年第二学期高一期末调研考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干定义 ，求出集合，再求出 . 【详解】根据题干定义 ，集合 所以， . 2. 已知2017—2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，则这8个数据的分位数是（ ） A. 445 B. 479 C. 551 D. 623 【答案】D 【解析】 【分析】应用百分位数定义计算求解. 【详解】因为， 由于这8个数是按照从小到大的顺序排列的， 所以这8个数据的 分位数是第6个数，即623. 故选：D. 3. 在平行四边形 中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】 ， 其中， 故． 故选：B． 4. 某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（ ） A. 56 B. 52 C. 48 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】利用频率和为1求参数，再估计身高低于170cm的人数. 【详解】由图可得，得， 所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为． 故选：A 5. 从1～5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出两数之积大于8包含的基本事件个数，由此能求出两数之积大于8的概率. 【详解】这个试验的样本空间，， 包含10个样本点．设事件“这两个数字之积大于8”， 则，，包含4个样本点， 所以． 故选：D. 6. 若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知 ，两边同时平方： ， 即 . 由题目可知 ， 则 . 所以， 即 ，B正确. 7. 已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【详解】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B 8. 奔驰定理：已知 是 内的一点，若、 、 的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长 交 与点 ，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵ 是 的垂心，延长 交 与点 ， ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中 ， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式和对立事件的加法公式注意判定ABC；D根据判定. 【详解】对于A，因是互斥事件，故，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若与C是对立事件，则，即，得，故C错误； 对于D，因为互斥，所以，故， 所以事件不相互独立，故D正确. 故选：ABD 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A不正确； 对于B，由，得，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知在 中，BC的长为2， 的面积为2，则下列命题正确的是（ ） A. 外接圆面积的最小值为 B. 的最大值为 C. 内切圆的半径的最大值为 D. 若 的内角满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理进行判断A选项与D选项，B选项利用余弦定理判断，C选项利用内切圆半径与三角形面积公式进行判断. 【详解】设边分别为 ，则. 对于A选项：设外接圆半径为 ，由正弦定理， 所以外接圆的面积为，当，时，外接圆面积最小为 ； 又因为时，，由 面积为2，得到，； 而与上式矛盾，故A错误. 对于B选项：,则；由余弦定理， 得到，两边同除以 ， 得到，令，则，， 当且仅当时，时， 最大且为，故B正确； 对于C选项：由内切圆半径 的公式：，而， 故 最大时，最小；当时，最小，此时， 所以，故C正确； 对于D选项：由和，得到，则. ，由正弦定理， 得，即， ，两边除以，得到, 所以; 由B为锐角，所以， ，故D正确. 故答案为：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知 ， ，且，则的最大值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】应用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为 ， ，且，所以，故， 当且仅当等号成立，所以的最大值为8. 故答案为：8 13. 如图，在棱长为4的正方体中，点E，F分别为棱， 的中点，过点F作与DE垂直的平面 ，则 截正方体所得截面的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先取的中点G，连接EG，GD，过点F作GD的垂线，与相交于点M，根据线面垂直的性质得到；再连接 ，过点M作 的垂线，交CD于点H，根据线面垂直的性质得到，从而根据线线垂直的性质得到平面就是平面 ，最后即可求得其周长． 【详解】如图，取的中点G，连接EG，GD，过点F作GD的垂线，与相交于点M， 即，，且 ，平面EGD，则平面EGD， 又 平面EGD，所以，且， 所以． 连接 ，过点M作 的垂线，交CD于点H， 因为，,且 ，平面，则平面， 又 平面EGD，所以， 又 ，平面，所以平面， 所以平面就是平面 ，且， 所以，， 即所得截面的周长为． 故答案为：． 14. 已知在平行四边形ABCD中， ， ，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设，，利用坐标运算化简，最后求一元二次函数的最值即可. 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，则， 设，，其中，， 则，， 由，可得，即， 所以， 所以当时，取得最大值5. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中 的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 解得． 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分数据的第75百分位数位于区间中， 所以上四分位数为：． 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为 ， ， 采用分层随机抽样的方法，在内抽取人数为，在内抽取人数为， 故4人中评分等级不良好的有1人（记为），评分等级良好的有3人（记为，，），试验的样本空间， 设事件“选取2人的评分等级都为良好”， 则， 所以． 16. 如图，在三棱台中， 平面ABC，， ． （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合已知求出，再利用棱台的体积公式计算得解． （2）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证． （3）利用线面角的定义求解． 【小问1详解】 在三棱台中， 平面 ， 平面 ，则 ， 在直角梯形中，由，得， 而，则，， 所以 ． 【小问2详解】 由 平面 ， 平面 ，得， 又 ，，平面，则 平面， 又 平面，所以平面平面． 【小问3详解】 连接 ， 由（2）知， 平面，则与平面所成角即为， 在中， ，，， 则，即与平面所成角的正弦值为． 17. 已知在 中，内角 的对边分别为且. （1）求C； （2）若AB边上的高为h，求的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用内角和消元化简，即可得，从而得解； （2）利用等面积法把转化为边的关系，再利用余弦定理结合不等式即可求最大值. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， 所以， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以. 【小问2详解】 因为，AB边上的高为h， 由三角形的面积公式得，所以. 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，所以， 即的最大值为. 18. 设函数（ ，）． （1）判断函数的单调性（无需证明）； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，解关于实数 的不等式． 【答案】（1）函数在上单调递增 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定定义域，再由各组成函数单调性判断 单调性； （2）计算或，验证为常数，证明中心对称； （3）利用对称性将不等式转化，结合单调性和定义域列不等式组求解． 【小问1详解】 解：的定义域为，， 当 时，，，都是增函数，所以函数在上单调递增． 【小问2详解】 证明：的定义域为， 由于， （或） 所以关于点中心对称． 【小问3详解】 解：当时，由（2）知，关于点中心对称， 关于 的不等式等价于，即， 由解得所以不等式的解集为． 19. 为了调查某校高一地理学科学生的学习情况，用分层抽样从该校高一年级学生中抽取一个容量为100的样本进行质量监测，男生40个，女生60个. 将监测后40个男生的成绩（满分为100分）分为6个区间：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据以上样本数据，估计该校高一年段地理学科男生成绩的平均数； （2）若从男生成绩样本数据和内随机抽取两个样本，求这两个样本来自同一区间的概率； （3）已知样本数据中男生成绩的方差为194，样本数据中女生成绩的平均数和方差分别为76和120，以此估计该校高一年段地理学科成绩的总体平均数和方差. 【答案】（1）71 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）利用列举法求解即可； （3）先根据题意求出总样本的平均数，再利用方差公式求解方差. 【小问1详解】 根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数 ， 所以男生成绩样本数据的平均数为71. 【小问2详解】 在区间和内的男生成绩样本数据分别有4个和2个， 分别用和 表示，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间 包含的样本点 有，， 个数为， 记事件“这两个样本来自同一区间”， 则事件 包含的样本点有 个数为， 所以； 【小问3详解】 设男生成绩样本数据为，，…，，其平均数为，方差为 女生成绩样本数据为，，…，，其平均数为， 方差为；总样本的平均数为，方差为. 由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 得. . 所以总样本的平均数和方差分别为和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年第二学期高一期末调研考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知2017—2024年中国教育智能硬件市场规模（单位：亿元）依次为376，393，411，445，479，623，807，962，则这8个数据的分位数是（ ） A. 445 B. 479 C. 551 D. 623 3. 在平行四边形 中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高（单位：cm），将得到的数据按分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为（ ） A. 56 B. 52 C. 48 D. 44 5. 从1～5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 奔驰定理：已知是 内的一点，若、 、 的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是 的垂心，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知在 中，BC的长为2， 的面积为2，则下列命题正确的是（ ） A. 外接圆面积的最小值为 B. 的最大值为 C. 内切圆的半径的最大值为 D. 若 的内角满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知 ， ，且，则的最大值为______. 13. 如图，在棱长为4的正方体中，点E，F分别为棱， 的中点，过点F作与DE垂直的平面 ，则 截正方体所得截面的周长为__________． 14. 已知在平行四边形ABCD中， ， ，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中 的值，并估计评分数据的第75百分位数； （2）若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 16. 如图，在三棱台中， 平面ABC，， ． （1）求三棱台的体积； （2）证明：平面平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 17. 已知在 中，内角 的对边分别为且. （1）求C； （2）若AB边上的高为h，求的最大值. 18. 设函数（ ，）． （1）判断函数的单调性（无需证明）； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，解关于实数 的不等式． 19. 为了调查某校高一地理学科学生的学习情况，用分层抽样从该校高一年级学生中抽取一个容量为100的样本进行质量监测，男生40个，女生60个. 将监测后40个男生的成绩（满分为100分）分为6个区间：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据以上样本数据，估计该校高一年段地理学科男生成绩的平均数； （2）若从男生成绩样本数据和内随机抽取两个样本，求这两个样本来自同一区间的概率； （3）已知样本数据中男生成绩的方差为194，样本数据中女生成绩的平均数和方差分别为76和120，以此估计该校高一年段地理学科成绩的总体平均数和方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $