河南省叶县高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习训练卷（3）

**基本信息** 2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷，覆盖必修二全册，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合概率、向量、立体几何等知识，考查空间观念、运算能力与数据意识，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|概率（第1题对立事件）、复数（第2题运算）、向量（第3题共线）|基础题注重概念辨析，多选题（第9题统计）考查数据处理能力| |填空题|3题/15分|概率（第12题投篮模型）、斜二测画法（第13题直观图）|结合实际情境，如第12题分步概率体现应用意识| |解答题|5题/77分|向量运算（第15题）、解三角形（第16题）、立体几何翻折（第19题）|综合题（第19题）融合空间想象与函数最值，培养推理能力与创新意识|

2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷（3）（解析版） 范围：人教A版必修二全册 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A 2．若，则（   ） A． B．i C． D．1 【答案】C 【详解】由题意得：， 所以. 3．已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先根据向量减法法则，计算出的坐标，再利用向量垂直的性质（两个向量垂直，则它们的数量积为0），列方程求出参数的值和的坐标，并计算的坐标，最后根据向量模长公式，求出的值即可. 【详解】由题知， 因为， 所以，解得 所以，则：， 所以. 4．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据和的关系确定正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以三角形解的个数为. 5．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式计算求解. 【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为，， 又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次， 则只有一个人投中的概率是. 6．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 7．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定，取的中点，连接，以为坐标原点，建立直角坐标系，通过向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以向量所在直线与的平分线重合， 又，即与垂直， 由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则⊥， 又， 其中， 所以，，故， 以为坐标原点，建立直角坐标系， 则，， ，设， ， ， ， 当时 的最小值为，故的最小值为. 8．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，，进而可得即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下（满分10分）：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是（    ） A．该班的平均得分是9 B．该班得分的第70百分位数是9.1 C．该班得分的方差是0.72 D．若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小 【答案】ABD 【分析】利用平均数，百分位数，方差的定义和性质逐个选项判断即可． 【详解】把得分按从小到大排列：8.5，8.8，8.8，8.9，9.0，9.0，9.0，9.2，9.3，9.5 对于A：平均分为，故A正确 对于B：因为，故第70百分位数为第7个数据与第8个数据的平均数： ，故B正确 对于C：方差为，故C错误 对于D：由于最高分和最低分平均数是9，故平均分不变，去掉后，数据更集中，故方差变小，D正确. 10．在中，D在线段AB上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为8 C．的周长为 D．为钝角三角形 【答案】BCD 【分析】在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答. 【详解】如图，在中，因，由余弦定理得， 则有，即，而，解得，， 在中由余弦定理得，故，故A错误； 在中由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， ，的面积，B正确； 的周长为，C正确； 显然AB是最大边，，角为钝角，为钝角三角形，D正确； 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 【答案】/0.9375 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得答案． 【详解】“有人投中”的对立事件为“三人投篮都不中”， 故所求概率为． 13．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，所以，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为 . 14．如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 四、解答题 15．（13分）已知向量与的夹角，且，． (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）先求出的值，再由夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由已知，得， ； （2）. 设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为． 16．（15分）记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用和差角正弦公式、三角形内角和性质化简已知条件为，即可求； （2）由题设及（1）的结论得、，再应用三角形面积公式、余弦定理求边长，即可得. 【详解】（1）由题意得， 所以， 即， 即，又， 所以，又，所以. （2）因为，且，所以， 因为，所以， ，解得，所以， 由余弦定理得，， 所以的周长为. 17．（15分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)，85； (2)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分位数公式即可得到答案； （2）计算出相关区间内的数据，代入分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 18．（17分）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设、满足方程，求，； (2)设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，再利用方程求解； （2）利用复数的几何意义表示向量，再根据向量与的夹角为钝角，最后利用向量的数量积求出实数的取值范围. 【详解】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数， 设，则，那么 代入 可得 ， 即， 则有，故. （2）设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为. 19．（17分）如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，． (1)当时，求三棱锥的体积； (2)若平面⊥平面． ①求证：； ②求的最小值. 【答案】(1) (2)①过点作交于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，则； 根据题意平面图形翻折后，， 且，是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面， 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面； 又平面，则. ② 【分析】（1）利用等体积法转换棱锥的底和高进行求解； （2）①利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而得到线线垂直；②利用余弦定理和均值不等式进行求解. 【详解】（1）根据题意可知，，且， 所以，且为二面角的平面角，即， . （2）①略， ②取的中点S，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，由①得，所以， 在中，， 在中，， 在中，，因此， 化简得到， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期人教A版数学期末复习训练卷（3） 范围：人教A版必修二全册 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 2．若，则（   ） A． B．i C． D．1 3．已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 5．甲乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是（     ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 8．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下（满分10分）：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是（    ） A．该班的平均得分是9 B．该班得分的第70百分位数是9.1 C．该班得分的方差是0.72 D．若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小 10．在中，D在线段AB上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为8 C．的周长为 D．为钝角三角形 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 13．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 14．如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 四、解答题 15．（13分）已知向量与的夹角，且，． (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值． 16．（15分）记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 17．（15分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 18．（17分）已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设、满足方程，求，； (2)设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 19．（17分）如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，． (1)当时，求三棱锥的体积； (2)若平面⊥平面． ①求证：； ②求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $