专题03 二次函数y=a(x-h) +k的图象与性质（暑假自学讲义）2026-2027学年 沪教版（五四制）数学九年级上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=a(x-h)²+k的图象 题型2 二次函数y=a(x-h)²+k的性质 题型3 二次函数y=a(x-h)²+k的平移 题型4 待定系数法和数形结合法 · 能画出y=a(x-h)²+k的图象，明确其为抛物线。 · 掌握y=a(x-h)²+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性。 · 理解y=a(x-h)²+k与y=ax2的平移关系，会进行图象平移变换。 知识点讲解 1. 二次函数+k的图像和性质 二次函数+k的图像可通过将二次函数的图像向左（）或向右（）平移个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移 |k|个单位得到。 (1)当 时，开口向上；当 时，开口向下; (2)对称轴是 直线x=h; (3)顶点坐标是 （h，k） 2. 平移规律（口诀：左加右减，上加下减） +k 3. 增减性和最值 从二次函数y=a(x—h)²+k的图象可以看出： （1）如果a>0,那么 当x<h时，y随x的增大而减小， 当x>h时，y随x的增大而增大， 当x=h时，y取最小值，最小值为k; （2）如果a<0,那么 当x<h时，y随x的增大而增大， 当x>h时，y随x的增大而减小， 当x=h时，y取最大值，最大值为k. 题型归纳 题型1 二次函数+k的图象 【例1】已知函数，和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象； (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数的性质． 【例2】已知抛物线． (1)该抛物线开口向 　　，对称轴是 　　，顶点坐标是 　　． (2)在直角坐标系中画出的图象． 【点睛】因为二次函数y=a(x-h)²+k的图像具有轴对称性，故在列表取值时就要注意取值的对称性，顶点坐标（h，k）在表格中要处于居中位置。 【变式练习】 1．画出下列抛物线的大致图象： (1)； (2)． 2．在平面直角坐标系中画出函数的图像． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． (2)说明该函数图像与二次函数的图像的关系． (3)根据图像说明，何时随的增大而减小． 题型2 二次函数+k的性质 【例1】已知二次函数的表达式为：，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【例2】若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知抛物线 当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______________． 【点睛】利用二次函数y=a(x-h)²+k的增减性比较大小时，首先要判断两个点是否在对称轴的同侧。不然就必须借助数形结合比较大小。 【变式练习】 1．试说出函数（a、h、k是常数，）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 5．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点坐标在第几象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．对于抛物线，给出下列说法：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的有_____．（填序号） 8．若，两点在二次函数的图象上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 9．已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10. 已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_______． 题型3 二次函数图象的平移 【例1】将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【例2】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【点睛】抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【变式练习】 1．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 2．要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 3．抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是(    ) A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平格6个单位，再向下平移3个单位 4．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 题型4 待定系数法和数形结合法 【例1】在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【例2】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式练习】 1．已知抛物线，将此抛物线绕原点旋转后，得到新抛物线的函数表达式为_____． 2．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 3．已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，原点为，该抛物线交轴于点，求的面积． 5．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上； (2)求出此抛物线上纵坐标为的点的坐标． 6．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线． (1)当时，求的长； (2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积； (3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：． 过关练习 一、单选题 1．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法正确的（   ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的对称轴是：直线 C．该函数有最大值 D．当时，随的增大而增大 3．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．抛物线有最低点，最低点的坐标是 B．抛物线有最高点，最高点的坐标是 C．抛物线有最高点，最高点的坐标是 D．抛物线有最低点，最低点的坐标是 5．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 6．要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 7．已知二次函数，当时，的最小值是（ ） A．1 B．0 C． D． 8．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 9．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标是______． 12．抛物线的图象在对称轴的______侧的部分上升（填“左”或“右”）． 13．抛物线在对称轴右侧的部分是______的．（填“上升”或“下降”） 14．已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为________． 15．已知二次函数，则它关于y轴的对称图像的解析式为____________ 16．已知二次函数，当时，的最小值是______． 17．点，，为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系用“<”连接起来是______． 18．如果两个二次函数与的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数的梦函数解析式为______． 三、解答题 19．求抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标． 20．在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：，． 21．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 22．在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)直接写出函数值随增大而增大时的取值范围； (2)比较的大小，并说明理由． 23．已知抛物线L：经过点，其顶点为M． (1)用含m的式子表示； ①直接写出顶点M的坐标 ； ②直接写出点关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标 ； ③求抛物线L的表达式． (2)当时，求与抛物线L关于直线成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表示）． (3)规定：抛物线L与直线l：所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”．当时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数 ． 24．综合实践：小实在学习了抛物线的平移与翻折后，对抛物线的旋转产生了兴趣，并尝试通过类比的方法进行探究． 基础尝试： （1）将抛物线绕原点旋转得到新的抛物线的表达式为______； 初步感知：小实运用几何画板，将抛物线绕原点顺时针旋转后得到了如图1所示的抛物线，经资料查阅，该抛物线的表达式为． 类比探究：仿照平移的探究过程，小实尝试探究平移的性质． （2）试在图2中画出抛物线的图象．根据图象可得抛物线是由抛物线向______（填“上、下、左、右”）平移1个单位长度得到：类比思考，将抛物线向上平移1个单位长度得到新的抛物线的表达式是______． （3）已知抛物线，当时，借助图象可得的取值范围是______． 拓展延伸： （4）将抛物线绕原点逆时针旋转得到新的抛物线的表达式是______． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题03二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1二次函数y=a(x-h)+k的图象 ● 能画出y=a(x-h)+k的图象，明确其为抛物线。 题型2二次函数y=a(x-h)2+k的性质 ·掌握y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最值及增减性。 题型3二次函数y=a(x-h)2+k的平移 题型4待定系数法和数形结合法 ·理解y=a(x-h)2+k与y=ax2的平移关系，会进行图象 平移变换。 知识点讲解 1.二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 二次函数y=a(x一h)2+k的图像可通过将二次函数y=ax2的图像向左(h<0)或向右(h>0) 平移h个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移k个单位得到。 (1)当a>0时，开口向上：当a<0时，开口向下： (2)对称轴是直线x=h;, (3)顶点坐标是(h,k) 2.平移规律（口诀：左加右减，上加下减） y=ax2 左加y=a(x-h)2上如 y=a(x-h)2+k 右减 下减 【易错提醒】 平移方向：左加右减是对(x一h)而言，上加下减是对k而言。 3.增减性和最值 从二次函数y=a(xh)+k的图象可以看出： (1)如果a>0,那么 当xh时，y随x的增大而减小， 当x>h时，y随x的增大而增大， 当x=h时，y取最小值，最小值为k (2)如果a<0,那么 当x<h时，y随x的增大而增大， 1 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 当xh时，y随x的增大而减小， 当x=h时，y取最大值，最大值为k 【易错提醒】 增减性区间：必须以对称轴为分界，开口方向决定增减趋势。 目 题型归纳 题型1二次函数y=a(x-h)2+k的图象 【倒】已知医数y,y+2+2和y=+2P-3. 1 2 (1)在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象： (2)分别说出这三个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试讨论函数y=二(x+2)2-3的性质 【详解】(1) 解：列表： -2 -1 0 2 1 1 2 0 2 2 2 列表： -3 0 y2x+2+2 1 5 A 2 列表： 中 … -4 -3 -1 y2x+2-3 J … -1 -3 如图所示为所求： 2 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) y= 】(x+2)2+2 ) V= 1x+223 (2) y=. :开口向上，对称轴为直线x=0,顶点坐标为0,0小 y=2+2+2:开口向上，对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,2)； y=红+2-3：开口向上，对称轴为直线x=-2,顶点坐标为-2，-3) (3) 函数)=x+2P-3开口向上，对称轴为直线x=-2,当x<-2时，y随x的蜡大面减小，当>-2时，y随 x的增大而增大函数有最小值，最小值为-3， 【例2】己知抛物线y=-(x-2)+3. -J-3 3 -J--1 210 2 (1)该抛物线开口向一，对称轴是一，顶点坐标是一· (2)在直角坐标系中画出y=-(x-2)+3的图象. 【详解】(1)解：由抛物线y=-（x-2)+3可知， a=-1<0,开口向下， 对称轴是：直线x=2, 顶点坐标为：(2,3)； 3 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剂析+例题讲解+变式训练+过关检测） 故答案为：下，直线x=2,(2,3); (2)①列表： 0 2 故答案为：(0，-1)，(1,2)，(2,3)，(3,2)，(4，-1)： ②描点、连线： 4 2 【点晴】因为二次函数y=a(x-)2+k的图像具有轴邮对称性，故在列表取值时就要注意取值的对称性，顶点坐标(h, k)在表格中要处于居中位置。 【变式练习】 1.画出下列抛物线的大致图象： (1)y=(x-3)2-2: (2)y=-2(x-1)2+3. 【详解】(1)解：函数y=(x-3)2-2的顶点坐标为(3，-2)，对称轴为x=3,令x=0得y=(0-3)-2=7, 即该抛物线与y轴的交点为0,7)， 则图象开口向上，对称轴在y轴右侧，顶点在第四象限，故函数图象如图所示： 4 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 6 5 34 123456 -1 (2)解：函数y=-2(x-1)2+3的顶点坐标为1,3)，对称轴为x=1,令x=0得y=-2(0-1)2+3=1,即该 抛物线与y轴的交点为(0,1)， 则图象开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限，故函数图象如图所示： y 3 456x 2.在平面直角坐标系中画出函数y=-二(x-3)的图像. (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标. (2)说明该函数图像与二次函数y= 的图像的关系 1 (3)根据图像说明，何时y随x的增大而减小 【详解】(1)解：列表如下： y= -1 0 y=- -2 0 2 y=- (x-3)2 5 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 4 y=- 2x-3) -2 0 2 2 描点连线，画出二次函数y= 2r和y=-(-3}的函数图象如图所示： 34 6x 2 3 3 V= .a= 该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0)： (2)解：由图象可知： 二次函数y= 2x-3的图象是由二次函数y=- x的图象向右平移3个单位长度得到的： (3)解：由图象可知： 当x>3时，y随x的增大而减小. 题型2二次函数y=a(x-h)2+k的性质 【例1】己知二次函数的表达式为：y=(x-22-5,写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【答案】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2，-5) 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知 识点是解题的关键 【详解】解：：二次函数的表达式为y=(x-2)2-5,a=1>0, ·二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标(2，-5) 6 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 【倒2】素（分小B3小，C(2三点都作二次函数y--2+台的图象上.则为为的 大小关系为() A.y<y2<y3 B.y<y3<y2 C.y3<y<y2 D.y;<y2<y 【详解】解：二次函数y=-(x-2)+h的图象开口向下，对称轴为x=2, ∴.C(2,y3)正好是抛物线的顶点坐标， “⅓是二次函数的最大值， :在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 又：-2} .y1<y2<y3· 故选：A 【例3】已知抛物线y=-2(x-k)-3,当x>1时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 【答案】k≤1 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质， 根据抛物线y=-2(x-)2-3的对称轴为x=k,抛物线开口向下，可知在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 然后可得答案 【详解】解：抛物线y=-2(x-k)2-3的对称轴为x=k,a=-2<0, .抛物线开口向下， :在对称轴右侧，y随x的增大而减小， :当x>1时，y随x的增大而减小， k≤1， 故答案为：k≤1. 【点晴】利用二次函数y=(x-)2+k的增减性比较大小时，首先要判断两个点是否在对称轴的同侧。不然就必须 借助数妍形结合比较大小。 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 【变式练习】 1.试说出函数y=a(x-)+k(a、h、k是常数，a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写 下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 【答案】 对称 顶点坐 开口方向 轴 标 开口 y=a(x-h)2+k a>0 向上 直线 (h,k) 开口 x=h a<0 向下 2.抛物线y=（x-1)+2的顶点坐标是() A.（-1,2 B.（-1,-2 C.(1,-2 D.(1,2 【详解】解：抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是1,2). 故选：D 3.抛物线y=2(x-3)+4的对称轴是() A.直线x=1 B.直线x=2 C.直线x=3 D.直线x=4 【详解】解：依题意，抛物线y=2(x-3)2+4的对称轴是x=3, 故选：C 4.对于二次函数y=-4(x+6)-5的图象，下列说法正确的是() A.开口方向向上 B.对称轴是直线x=6 8 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） C.顶点坐标为-6,5) D.当x<-6时，y随x的增大而增大 【详解】解：二次函数为y=-4(x+6)2-5, A、a=-4<0,开口向下，故此选项错误，不符合题意； B、对称轴为x=-6,故此选项错误，不符合题意； C、顶点坐标为(-6，-5)，故此选项错误，不符合题意； D、a=-4<0开口向下，∴当x<-6时，y随x的增大而增大，故此选项正确，符合题意. 故选：D 5.在平面直角坐标系中，二次函数y=(x+h)2-3h≠0)的图象可能是() 【详解】解：：二次函数的解析式为y=(x+)-3h≠0)， :这个二次函数图象的开口向上、顶点的纵坐标为-3， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A. 6.抛物线y=3(x-1)2-1的顶点坐标在第几象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【详解】解：：抛物线y=3x-1)-1是顶点式， 顶点坐标为(1，-， :x=1>0,y=-1<0, 9 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 点(1，-1)在第四象限. 故选：D. 7。对于抛物线)=-x+3-1,给出下列说法：①抛物线的开口向下：②对称轴为直线x=3:③顶点坐 标为-3，；④当x>3时，y随x的增大而减小.其中正确的有 (填序号) 【详解】解：=次函数y=x+3-1中的a=0, :抛物线的开口向下，则说法①正确； 由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3，-，则说法②和③均错误； :一次函数的解所式为y=-+)-1,地物线的开口响下，对称辅为直线x=-3。 :当x>-3时，y随x的增大而减小， 3>-3, ·当x>3时，y随x的增大而减小，则说法④正确； 综上，说法正确的有①④， 故答案为：①④ 8.若A(-1,),B(32)两点在二次函数y=-2(x-2)+k的图象上，则y,的大小关系为() A.y<2 B.=y2 C.>y2 D.无法确定 【详解】解：：二次函数解析式为y=-2(x-2)2+k, 二次函数开口向下，对称轴为直线x=2, :点A(-1,y和点B3,2在图象上， 点A到对称轴的距离为-1-2=3，点B到对称轴的距离为3-2=1， “点A距离对称轴更远， 开口向下， “函数值随距离增大而减小， .<y2 故选：A 9.己知二次函数y=3(x-1)+k的图象上有三点A-1,y),B(2,y2),C(-2,y3),则y,2,3的大小关系 10 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 是() A.y>2>3B.y2>y>y3 C.y3>y>y2 D.y3>y2> 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是求解二次函数的对称轴，分析图象开口方 向。 根据二次函数图象开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，由此判断即可. 【详解】解：：二次函数y=3x-1)2+k中，二次项系数3>0， 抛物线图象开口向上，对称轴为直线x=1, “点离对称轴越远，函数值越大， 点A(-1,)与对称轴距离为1-1=2， 点B(2,y2)与对称轴距离为2-1=1： 点C(-2,y3）与对称轴距离为-2-1=3， 3>2>1, 3>乃>y2 故选：C. 10.已知关于x的二次函数y=(x-m+1)+5,若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 【答案】m≥3 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线x=m,则在 对称轴左侧y随x的增大而减小，然后根据题意得到m-1≥2，求解可得答案， 【详解】解：：二次函数解析式为y=(x-m+1)2+5, :二次函数开口向上，对称轴为直线x=m-1, :.在对称轴左侧y随x的增大而减小， :当x≤2时，y随x的增大而减小， m-122, m≥3. 故答案为：m≥3. 11 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 题型3二次函数图象的平移 【例1】将抛物线y=(x+2)-3,先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析 式() A.y=(x+5)2-1B.y=(x+5)2-5C.y=(x-1)2-1D.y=(x-1)2-5 【详解】解：将抛物线y=(x+2)2-3,先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的 解析式为：y=(x+2-3)2-3-2,即y=(x-1)2-5; 故选：D 【例2】把二次函数y=a(x-h)+k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二 次函数y2=。(x+1)2+3的图象 2 (1)则a=,h=，k=-； (2)指出二次函数y=a(x-h)+k的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当-2<x<5时，求二次函数y的取值范围 【详解】(1)解：把二次函数y=a(x-h)+k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到y=a(x-h+3)2+k+4, :三次函数为=x++3与y=ax-h+3到++4是同-函数， 1 六a=2,3-h=1，k+4=3, 解得a=2h=2,k=-1. 故答案为：2,2，-1 (2)解：二次函数y=ax-A+k的解折式为y=x-2-1, .函数图象开口向上，对称轴是直线x=2,顶点坐标是2，-)； 3解yx-2-1 y的最小值为-1： x=-2时，y=7, e5时5-2r-1=35, 12 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 当-2<x<5时，-1≤y1<7 【点睛】抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可. 【变式练习】 1.已知抛物线y=(x-h)向右平移3个单位长度后得到抛物线y=4 (1)求a、h的值； (2)写出抛物线y=a(x-h)2的对称轴及顶点坐标. 【详解】(1)解：：抛物线y=a(x-h)2向右平移3个单位长度， :得到的抛物线解析式y=a(x-h-3)2, 即a=4 1 又x-h-3=x, 解得h=-3, a=4'h=-3. (2)解：抛物线y=a(x+3)的对称轴是x=-3,顶点坐标是(-3,0). 2.要得到抛物线y=4(x-2)2-3,可以将抛物线y=4x2() A.向右平移2个单位，再向下平移3个单位 B.向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C.向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D.向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【详解】解：：y=4x2与y=4(x-2)-3相比较横坐标减2， :是向右平移2个单位， :y=4x2与y=4x-22-3相比较函数值减3， :是向下平移3个单位， 故抛物线y=4x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到y=4(x-2)2-3, 故选：A 3.抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=(x-6)2+3,平移过程正确的是() 13 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） A.先向左平移6个单位，再向上平移3个单位 B.先向左平移6个单位，再向下平移3个单位 C.先向右平移6个单位，再向上平移3个单位 D.先向右平格6个单位，再向下平移3个单位 【详解】由题意得： 由抛物线y=x2先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线y=(x-6)2+3 故答案为：C. 【点晴】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象平移的规律，掌握二次函数图象平移的规律是解题关 键. 4.关于抛物线y=(x-1)+1,下列说法正确的是（) A.抛物线开口向下 B.对称轴是x=-1 C.顶点坐标是L,) D.抛物线y=x2向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线y=x-1)+1 【详解】A、抛物线y=(x-1)2+1中的1>0，则该抛物线的开口方向向上，本选项错误： B、抛物线y=(x-1)+1的对称轴是x=1,本选项错误； C、抛物线y=（x-1)+1的顶点坐标是(L,),本选项正确： D、抛物线y=x2向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线y=(x+1)+1,本选项错误。 故选：C 题型4待定系数法和数妍形结合法 【例】在平面直角坐标系0，中，已知抛物线y=x-小炉+过点4L,B5,小. (1)求抛物线的解析式； (2)已知M(x,y)和N(x2,y2)是抛物线上的两点，若对于0≤x≤2，a≤x2≤a+1,都有y<y2,求a的取 值范围。 【详解】（D解：将A,,B5,代入y=x-+k得 14 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) =-+天 -5-+e [h=3 解得： k=-1 :抛物线解析式为y=（x-3}-1; （2)解：y=2-3-1,则抛物线的对称轴为直线x=3 :0≤x≤2， .M(x,y)在对称轴的左侧， :M(x,)关于x=3的对称点为6-x,), .4≤6-x≤6， :y<2,a≤x2≤a+1, a+1<0或a>6, 解得：a<-1或a>6. 【例2】如图，二次函数y=（x+2)-1的图象与y轴交于点A,与轴交于点B,C (1)求点A,B,C的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点P,使S。P4B=S。ABo？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请 说明理由 【详解】(1)解：令x=0,得y=(x+2)2-1=3, 则A0,3), 令y=0,得y=(x+2-1=0, 15 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 解得：x1=-1,x2=-3, B-3,0),C-1,0): (2)解：设直线AB的解析式为y=c+b, 将A0,3),B(-3,0代入， b=3 得： -3k+b=0’ k=1 解得： b=3 :直线AB的解析式为y=x+3, A0,3,B(-3,0), 0A=0B=3, :.SAMB0=2义 7×0AxOB=9 SPAB=S4BO .S.n2 9 如图，过点P作PM⊥AB所在直线于点M, 设Pm,(m+2)2-1,则M(m,m+3), 则PM=m+22-1-m-3, 则Sw=Sw-Smu=PM(,-PM,-=PM(化，-小， 同理当点P在抛物线上B段时，Spa=Sw+Sav号PM-化，-+PM,-g-PM国，-g, 当点P在抛物线上点A右侧时，Snm=Sm-5wPM(,-,-PM(-,PM(化，-， 16 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 综上，SPB=×PM×(x4-xB), 则aw小 ×m+2-1-m-33 9 即m2+3m=3, ,=3+2 当m2+3m=3时，解得m=3,m 2 2 分别代入y=(x+2)2-1, 得y= 9-V21.9+√21 2 -，2= 2 -3-V219-V21 即点P的坐标为 2’ 或-39+ 2 2 2 当m2+3m=-3时，由△=b2-4ac=9-4×1×3<0,无解； -3-V219-V21 综上所述，点P的坐标为 或-3+29+2 2 ’2 2 2 【变式练习】 1.已知抛物线y=-2(x+1)+3,将此抛物线绕原点旋转180°后，得到新抛物线的函数表达式为 【详解】解：由二次函数y=-2(x+1)+3可知：顶点坐标为-1,3)，开口向下， 所以将此抛物线绕原点旋转180°后，得到新抛物线的函数开口向上，顶点坐标为1，-3)， ·新抛物线的函数表达式为y=2(x-1)2-3; 故答案为y=2(x-1)2-3. 2.已知二次函数y=a(x-1)-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则a的值为(). A.2或4 c成4 【详解】解：二次函数y=a(x-1)2-a(a≠0)的对称轴为：直线x=1, (1)当a>0时，当x=1时，y取得最小值， 抛物线的顶点坐标为(1，-4) :y=a(1-1-a=-4, 17 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) .a=4; (2)当a<0时，当-1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小， 当x=4时，y取得最小值， 抛物线经过点(4,4) y=a(4-12-a=-4, 1 :a=2 故选：D 3. 已知抛物线y=(x-2)+n-4(n为常数)的顶点在直线y=-2x-3上，求抛物线的函数表达式 【详解】解：根据题意，抛物线的顶点坐标为(2，n-4), 将(2，n-4)代入y=-2x-3, 得n-4=-7,解得n=-3, 抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-7. 4.在平面直角坐标系中，己知抛物线y=3(x-2)的顶点为A,原点为0，该抛物线交y轴于点B,求 △OAB的面积. 【详解】解：如图：：抛物线y=3(x-2)的顶点为A, :.抛物线的顶点坐标为A2,0),当x=0时，y=3(0-22=12,即该抛物线交y轴于点B(0,12), OA=2,OB=12, 1 ∴△0AB的面积。OAOB=。×2×12=12. 2 B 5.已知抛物线y=-(x-2)2+1. 18 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） (1)判断点(3，-2)是否在此抛物线上： (2)求出此抛物线上纵坐标为-3的点的坐标. 【答案】(1)不在此抛物线上 (2)4,-3)或(0，-3 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的 图象性质，函数解析式与图象上的点之间的关系：点在图象上，则点的坐标满足函数解析式；反之，不在 函数图象上则点的坐标不满足函数解析式. (1)把点(3，-2)代入解析式，即可判断： (2)把y=-3代入解析式，即可求解。 【详解】(1)解：把x=3代入y=-(x-2)2+1,得 y=-(3-2+1=0≠-2 ∴点(3，-2)不在此抛物线上： (2)解：把y=-3代入y=-(x-2)2+1，得 -3=-(x-22+1, 解得：x1=4,x2=0, :抛物线上纵坐标为-3的点的坐标4，-3或(0,3). 6.如图，点C为二次函数y=(x+1)的顶点，直线y=-x+m与该二次函数图象交于A-3,4)、B两点（点 B在y轴上)，与二次函数图象的对称轴交于点D. D (1)求m的值及点C坐标： (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求 19 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)m=1,C(-1,0) ②存在，(1或(-1,8)或(-1,25或-1，-25. 【分析】(1)将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式： (2)分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解. 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用 分类讨论思想解决问题是解题的关键， 【详解】(1)解：：直线y=-x+m过点A(-3,4), .4=3+m, .m=1, .y=-x+1, B(0,1), 二次函数解析式为y=(x+1)2, 顶点坐标为C(-1,0); (2)解：存在点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形. :顶点坐标为C(-1,0), “对称轴为直线x=-1, 过点A作AE⊥CD于点E, 在RIAACE中，AC=VAE2+CE2=V22+42=2V5. E ①当AQ=CQ时，设CQ=m, 20 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 在Rt△AQE中，AE2+EQ2=AQ2 .22+(4-m)}2=m2 5 解之得m= 2 e-, ②当AC=AQ时，根据等腰三角形三线合一得：CE=QE=4, .CQ=2CE=8, 0(-1,8): ③当CA=C0时，CQ=AC=25, ·Q,(-1,25),0,-1,-25) 综上所述：点Q的坐标为(-1，或(-18)或(-1,25)或（←1，-25. 7.二次函数y=a(x-h2+4的图像过点(-3，m,(5,m). (1)h的值为； (2)若(0，y),（n,y2)是该函数图像上的两点，当a<0,n>2时，试说明：片>y2; (3)若关于x的方程a(x-h+4=2a+5有一个正根和一个负根，直接写出a的取值范围. 【详解】(1)解：“图像过点(-3，m,(5,m, h=3+5 2 =1; 故答案：1； (2)略 (3)解：由(1)得 a(x-12+4=2a+5, 整理得：ax2-2ax-a-1=0, :方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， .△=(-2a-4a-a-1=8a2+4a>0, 令y=8a2+4a,画出图象如图所示： 21 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 3 -11 2 -1H 1 由图象得：a<-2或a>0, :方程有一个正根和一个负根， 5,=a-1<0, a 则有a(a+1)>0 同理由图象求得， a<-1或a>0, 综上：a的取值范围为：a>0或a<-1. 8.在平面直角坐标系中，二次函数y=-(x-m)2+2(m>0)的图象如图1所示，该抛物线的顶点为C,且与 y轴的交点为A,连接AC.过点A作x轴的平行线与抛物线交于另一点B,过点B作AB的垂线1. y G E B A B 图1 图2 图3 (1)当m=1时，求AC的长； (2)如图2，延长AC交I于点D,请用含m的代数式表示△ABD的面积： (3)如图3，点E在抛物线第一象限的图象上且位于点C的左侧，连接EC并延长交I于点G,过点E作EF垂 直于AB,垂足为点F,连接FG.求证：AC∥FG. 【详解】(1)解：当m=1时，y=-(x-1)2+2, 22 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) :该抛物线的顶点为C, C(1,2), 当x=0时，y=1, A(01), AC=V1-0)2+(2-1)2=√2. (2):y=-(x-m)2+2, ∴C(m,2), 当x=0时，y=2-m2, ∴A(0,2-m2), :AB∥x轴， .B(2m,2-m2), :AB 2m, 设直线AC的解析式为y=x+b, b=2-m2 mk+b=2' k=m 解得： b=2-m2 :.直线AC的解析式为y=mx+2-m2, 当x=2m时，y=2m2+2-m2=2+m2, .D(2m,2+m2), .BD=2+m2-(2-m2)=2m2, 1 .S48D=×2m×2m2=2m3. 2 (3)设E(L,-t2+2m-m2+2),直线EC的解析式为y=x+b', 「mk'+b=2 tk+b'=-12+2m-m2+2' 23 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 「k'=m-t 解得6=2-m(m-0 :直线EC的解析式为y=(m-t)x+2-m(m-), 当x=2m时，y=m2-mt+2 ∴G(2m,m2-mt+2), :Ft,2-m2), .同理可求直线FG的解析式为y=mx+2-m2-mt, :直线AC的解析式为y=mx+2-m2, .AC∥FG 过关练习 ·、单选题 1.二次函数y=5(x-1)2+2的顶点坐标是() A.（-1,2 B.（-1,-2 C.(1,-2 D.(1,2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式y=a(x-h)+k的顶点坐标为(，k)求解即可. 【详解】解：三次函数y=5(x-1)2+2的顶点坐标是(1,2)， 故选：D 2.关于二次函数y=2(x+2)2-4,下列说法正确的() A.函数图象开口向下 B.函数图象的对称轴是：直线x=2 C.该函数有最大值-4 D.当x≥-2时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值，增减性是关键， 根据二次函数顶点式得到图形开口，对称轴直线，最大值，增减性，由此即可求解， 【详解】解：二次函数y=2(x+2-4, :2>0,图象开口向上，顶点坐标为(-2，-4)，对称轴直线为x=-2,最小值为-4，当x≥-2时，y随x的 24 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 增大而增大， :故A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项正确，符合题意； 故选：D. 3.抛物线y=2(x-1)2+3的对称轴是直线（) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式的性质是解题的关键。 根据抛物线的解析式，即可求得对称轴，y=a(x-h)2+k的对称轴为直线x=h,据此求解. 【详解】解：抛物线y=2(x-1+3的对称轴是直线x=1, 故选：B 4.在平面直角坐标系x0y中，对于抛物线y=-(x-20)+25,下列叙述正确的是() A.抛物线有最低点，最低点的坐标是(20,25) B.抛物线有最高点，最高点的坐标是(-20,25】 C.抛物线有最高点，最高点的坐标是20,25) D.抛物线有最低点，最低点的坐标是(-20,25 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，进行判断即可. 【详解】解：y=-(x-20)+25, .抛物线的开口向下，顶点坐标为：（20,25)， :.抛物线有最高点，最高点的坐标是(20,25)： 故选：C 5.对于二次函数y=-(x-2+5的图象的特征，下列描述正确的是() A.开口向上 B.顶点坐标(-2,5》 C.对称轴是直线x=2 D.在x>2时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数 25 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 的图象及性质逐一判断即可求解 【详解】解：A、-1<0,抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意； B、顶点坐标为(2,5)，则该选项错误，故不符合题意； C、对称轴是直线x=2,则该选项正确，故符合题意； D、当x>2时，y随x的增大而减小，则该选项错误，不符合题意； 故选：C 6.要得到抛物线y=4x-22-3,可以将抛物线y=4x2（) A.向右平移2个单位，再向下平移3个单位 B.向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C.向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D.向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律，根据平移的规律：左加右减， 上加下减可得答案， 【详解】解：：y=4x2与y=4(x-2)2-3相比较横坐标减2， :是向右平移2个单位， :y=4x2与y=4(x-2)2-3相比较函数值减3， :是向下平移3个单位， 故抛物线y=4x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到y=4(x-22-3, 故选：A 7.已知二次函数y=-(x+1)+2,当-3≤x≤0时，y的最小值是() A.1 B.0 C.-1 D.-2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键时根据图像的性质判断取值.根据二次函数顶点式图 像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小，据此即可获得答案。 【详解】解：对于二次函数y=-x+1)2+2, 其对称轴为x=-1, 26 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 因为a=-1<0, 其函数图像开口向下， 所以离对称轴越远，取值越小， 若-3≤x≤0， 则有x=-3时，y取值最小值， 最小值为y=-(-3+1)2+2=-2. 故答案为：D 8.将抛物线y=(x+2)2-3,先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式() A.y=(x+5)2-1B.y=(x+5)2-5C.y=(x-12-1D.y=(x-1)2-5 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可。 【详解】解：将抛物线y=(x+2)2-3,先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的 解析式为：y=(x+2-3)2-3-2,即y=(x-1)2-5; 故选：D 9.已知A(-3,y),B(1,y2),C(2,y)在函数y=-(x+2+m的图象上，则，，的大小关系为() A.>3>y2 B.y>2>y3 C.y3>y2>y D.y3>y>y2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图 象的性质。 【详解】解：由二次函数y=-（x+2)+m,得它的对称轴为x=-2,开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则y的值越小， :-3-(-2=1,1-(-2=3,2-(-2=4, .1<3<4, 乃>y2>y3, 故选：B 27 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 10.二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为 () A. B.2 C.3 1 2 D.2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可. 【详解】二次函数y=-(x-1)+5的大致图象如下： ①当m<0≤x≤n<1时， 当x=m时，y取最小值，即2m=-(m-1)+5, 解得：m=-2(正数舍去)， 当x=n时，y取最大值，即2n=-(n-1)+5, 解得：n=2或n=-2(均不合题意，舍去)： ②当m<0≤x≤1≤n时， 当x=m时，y取最小值，即2m=-（m-1)+5, 解得：m=-2(正数舍去)， 当x=1时，y取最大值，即2n=-(1-1)2+5, 解得：n=2.5, 或x=n时，y取最小值，x=1时y取最大值， 2m=-(n-1)2+5,n=2.5, 11 .∴.1m= 8 m<0, 此种情形不合题意， 所以m+n=-2+2.5=0.5, 28 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 故选：D 二、填空题 11.抛物线y=-5+2(x+1)的顶点坐标是 【答案】(-1，-5) 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键】 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标， 【详解】解：抛物线y=-5+2(x+1)2=2(x+1)2-5的顶点坐标是(-1，-5)， 故答案为：(-1，-5) 12.抛物线y=2(x-3)+4的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”)· 【答案】右 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据函数y=2(x-3)+4的图象的开口向上，抛物线 y=2(x-3)+4的图象在对称轴的右侧的部分上升，即可作答. 【详解】解：依题意，y=2(x-3)+4的开口向上， 、抛物线y=2(x-3)+4的图象在对称轴的右侧的部分上升， 故答案为：右， 13.抛物线y=-2(x-1)+3在对称轴右侧的部分是的.（填“上升”或“下降”) 【答案】下降 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关 键 根据a<0,知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势. 【详解】解：：a=-2<0, 抛物线开口向下， ·对称轴右侧的部分呈下降趋势。 故答案为：下降 14.己知抛物线y=a(x+2)2+b(a≠0)经过点4A(-1,3),那么点A关于对称轴对称的点B坐标为 29 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 【答案】(-3,3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质.熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 由题意知，对称轴为直线x=-2,则点A关于对称轴对称的点B坐标为(-3,3). 【详解】解：：y=a(x+2)2+b(a≠0)， “对称轴为直线x=-2, ·点A关于对称轴对称的点B坐标为-3,3)， 故答案为：(-3,3) 15.已知二次函数y=(x-1)2+2,则它关于y轴的对称图像的解析式为 【答案】y=(x+1)2+2 【分析】题目主要考查二次函数的性质，根据题意确定顶点坐标关于y轴的对称点为(-1,2)，然后利用顶点 式即可求解 【详解】解：二次函数y=(x-1)2+2的顶点坐标为1,2)， .顶点坐标(1,2)关于y轴的对称点为(-1,2)，开口方向与原开口方向一致， :.对应的函数关系式为y=(x+)2+2, 故答案为：y=(x+)2+2 16.已知二次函数y=-(x+1)+2,当-3≤x≤0时，y的最小值是 【答案】-2 【分析】本题主要考查了二次函数图像，解题的关键是根据图像的性质判断取值，根据二次函数顶点式图 像的性质，可知函数图像开口向下，离对称轴越远，取值越小，据此即可获得答案， 【详解】解：：二次函数y=-(x+1)2+2, ·对称轴为直线x=-1, :a=-1<0, :函数图像开口向下， “离对称轴越远，y取值越小， .-3≤x≤0， :当x=-3时，y取最小值，最小值为y=-(-3+1)+2=-2. 30 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 故答案为：-2. 17.点A-4,),B(-3,2),C(1,)为二次函数y=(x+2)+1的图像上的三点，则、2、⅓的大小关 系用“<”连接起来是 【答案】y2<y< 【分析】本题考查了抛物线的增减性，对称轴，熟练掌握抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大 是解题的关键 根据二次函数y=(x+2)+1得到抛物线开口向上，且对称轴为直线x=-2,根据距离对称轴越远，函数值 越大计算判断。 【详解】解：：二次函数y=(x+2)+1, :.抛物线开口向上，且对称轴为直线x=-2, 距离对称轴越远，函数值越大， (-2)-（-3)<(-2)--4<1-(-2), y2<<3, 故答案为：y2<<· 18.如果两个二次函数y=a,(x+)2+k与y,=a,(x+h,)+k,的图象的形状相同，开口方向相反，并且顶 点关于原点对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数，则二次函数y=2(x+2)2+1的梦函数解析式为 【答案】y=-2(x-2)2-1 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，关于原点对称的点的特征，先得出y=2(x+2)2+1的顶 点坐标为-2，)，再结合关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行分析，即可作答 【详解】解：：y=2(x+2)2+1, .这个二次函数的顶点坐标为(-2,1)， 则(-2,1关于原点对称的点为(2，-1) ·二次函数y=2(x+2)2+1的梦函数解析式为y=-2(x-2)2-1, 31 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 故答案为：y=-2(x-2)2-1 三、解答题 19.求抛物线y=(x-1)2+2(x-1)+2的开口方向，对称轴，顶点坐标。 【答案】开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标(0,1) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是 解答此题的关键 【详解】解：y=（x-1)+2(x-1+2=(x-1+1)2+1, 即y=x2+1. 1>0, :开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标(0,1). 20.在同直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：y=x+2-2, yx-+2. 【答案】见解析 【分析】本题考查了画二次函数图象，掌握画函数图象的步骤列表、描点、连线是解题的关键 按照列表、描点、连线的步骤进行，即可画出两个函数的图象，根据函数图像得到对称轴和顶点坐标 【详解】解：列表， -5 4 -3 2 0 y={x+2)2-2 5 0 2 2 2 0 y=x-+2 13 5 13 4 2 2 2 2 描点，连线，得到函数图像如下， 32 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 53212345x 由图象可知函数y=x+2-2的对称轴为直线x=-2,顶点坐标为-2.-2小， 函数)=x-+2的对称轴为直线x=1,顶点坐标为1,2). 21.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-1，-5)，且经过点(0，-2)，求这个二次函数的表达式. 【答案】y=3(x+1)-5 【分析】本题考查了顶点式法求二次函数的解析式，掌握相关知识点是解题的关键， 设抛物线解析式为y=a(x+1)-5,再把点(0，-2)代入其中，求出a的值，即可得到二次函数表达式. 【详解】解：：二次函数的图象的顶点坐标为(-1，-5)， .设抛物线解析式为y=a(x+1)2-5, 把点(0，-2)代入y=a(x+1)2-5中，得 a-5=-2, 解得a=3, :抛物线解析式为y=3(x+1)2-5。 22.在平面直角坐标系x0y中，A-1,y),B(2,y2)是抛物线L:y=-(x-3)2+2上的两点. (I)直接写出函数值y随x增大而增大时x的取值范围： (2)比较y,y2的大小，并说明理由. 【答案】(1)x≤3 (2)乃<y2,理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性和函数值比较大小，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和 性质。 (1)先根据抛物线解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的图象和性质解答即可： 33 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) (2)计算出A、B两点到抛物线对称轴的距离，根据抛物线开口向下，则距离对称轴越近的点，其值越大， 解答即可. 【详解】(1)解：：抛物线L:y=-(x-3)2+2, ∴a=-1<0,抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=3, :y随x增大而增大时x的取值范围为：x≤3； (2)解：<y2,理由如下： :抛物线开口向下， :距离对称轴越近的点，其值越大， -1-3=4,2-3=1,4>1, y<2 23.已知抛物线L:y=ax-m)-2经过点(m+1,-1,其顶点为M. (1)用含m的式子表示； ①直接写出顶点M的坐标_； ②直接写出点(m+1,-1)关于抛物线L的对称轴对称的点的坐标_； ③求抛物线L的表达式。 (2)当m=1时，求与抛物线L关于直线y=2成轴对称的抛物线T的表达式（结果用二次函数的一般式表示）. (3)规定：抛物线L与直线1：y=-2m所围成的封闭图形的边界上，纵坐标为整数的点叫做“美点”.当 ,≤m<1时，直接写出封闭图形边界上“美点”的个数 【答案】(1)①m,-2;②m-1,-1;③y=(x-m)-2 (2)y=-x2+2x+5 34 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) (3)无数或1 【分析】本题考查二次函数的图象与性质， (1)①根据顶点式y=a(x-h)+k对应的顶点坐标为(h,k),直接写出结果即可； ②根据顶点式y=a(x-h)+k对应的对称轴为直线x=h,先求出对称轴，再利用点关于平行于y轴的直线 对称的坐标特征求解即可： ③代入点m+L,-1,求出a的值即可： (2)先求出抛物线L的顶点关于直线y=2对称的点的坐标，从而得到抛物线T的顶点式，再将顶点式转 化为一般式即可； (3)由m的范围求出直线1的位置，根据图象判断封闭图形的特征，找出美点”的个数即可. 【详解】(1)解：①由抛物线的顶点式，可知点M的坐标为(m,-2)； ②由抛物线的顶点式，可知抛物线的对称轴为直线x=m, 故(m+1,-1关于直线x=m对称点的坐标为m-1,-1: ③将点(m+1,-1的坐标代入y=a(x-m)2-2,得-1=a(m+1-m2-2, 解得a=1, 故抛物线的表达式为：y=(x-m)-2; (2)解：当m=1时，抛物线L的顶点坐标为1，-2)， :点1，-2)关于直线y=2的对称点为1,6)， 由抛物线关于平行于x轴的直线对称的变化规律可知，对称后的得到的抛物线T的表达式为y=-(x-1)2+6 抛物线T的表达式为y=-(x-1)2+6=-x2+2x+5; (3)解：由题意，可知，当)≤m<1时，2<y5-1, 作示意图如下： 35 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测) 0/=-1X =-2 由图，顶点(m,-2)一定在封闭图形的边界上，且符合“美点”的定义， 由图，封闭图形的边界上的点的纵坐标的范围为-2≤y≤-1，故只存在y=-1和y=-2两种纵坐标为整数的 情况， 图，当m)时，y=-2m=-1,此时封闭图形由直线y=-1被抛物线所截部分线段的纵坐标均为-1， 符合“美点”的定义，有无数个“美点”， 故“美点”的个数为无数或1. 24.综合实践：小实在学习了抛物线的平移与翻折后，对抛物线的旋转产生了兴趣，并尝试通过类比的方 法进行探究. :5 3 191.2.3456x 2 = 4 图1 图2 基础尝试： (1)将抛物线y=x2绕原点旋转180°得到新的抛物线的表达式为： 初步感知：小实运用几何画板，将抛物线y=x绕原点顺时针旋转90°后得到了如图1所示的抛物线，经资 料查阅，该抛物线的表达式为x=y2. 类比探究：仿照y=x2平移的探究过程，小实尝试探究x=y2平移的性质。 (2)试在图2中画出抛物线x=y2+1的图象.根据图象可得抛物线x=y2+1是由抛物线x=y2向_（填 “上、下、左、右”)平移1个单位长度得到：类比思考，将抛物线x=y2向上平移1个单位长度得到新的抛 36 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 物线的表达式是 (3)己知抛物线x=y2+1,当x<5时，借助图象可得y的取值范围是 拓展延伸： (4)将抛物线y=(x-3)'绕原点逆时针旋转90°得到新的抛物线的表达式是 【答案】(1)y=-x2;(2)图见解析，右，x=(y-12,(3)-2<y<2;(4)x=-y-32 【分析】本题考查了抛物线的平移与翻折，关键是通过类比的方法进行探究. (1)将抛物线y=x2绕原点旋转180°，形状相同，只是开口方向相反； (2)列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象即可解答； (3)根据函数图象即可解答； (4)通过类比的方法即可得到新的抛物线的表达式是x=(y-3). 【详解】解：(1)将抛物线y=x2绕原点旋转180°得到新的抛物线的表达式为y=-x2; 故答案为：y=-x2; (2)列表： -2 -1 0 1 x=y2+1 5 2 0 5 描点、连线，函数x=y2+1的图象如图所示： =y2+1 根据图象可得抛物线x=y2+1是由抛物线x=y2向右平移1个单位长度得到： 类比思考，将抛物线x=y2向上平移1个单位长度得到新的抛物线的表达式是x=(y-) 故答案为：右，x=(y-1); 37 沪教版九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） (3)观察图象，当x<5时，y的取值范围是-2<y<2, 故答案为：-2<y<2; (4)抛物线y=(x-3)的顶点坐标为3,0)， 点(3,0)绕原点逆时针旋转90°得到点(0,3)， 类比得到将抛物线y=(x-3)绕原点逆时针旋转90°得到新的抛物线的表达式是x=-(y-3)2. 故答案为：x=-(y-3)2. 38