陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三年级第十一次模考数学试题

**基本信息** 陕西师大附中高三模考数学卷聚焦高考高频考点，解答题涵盖统计概率、数列、函数导数、立体几何折叠、椭圆综合应用，通过真实情境与探究性问题，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|统计概率（15题）、数列（16题）、函数导数（17题）、立体几何（18题）、解析几何（19题）|立体几何折叠问题（18题）结合面面垂直证明与外接球距离计算，考查空间观念；椭圆综合题（19题）设计存在性探究与面积最值，体现数学建模与逻辑推理|

陕西师大附中 2025-2026 学年高三年级第十一次模考 数学试题 注意事项： 1. 本考试满分150分，时间120分钟。 2. 答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整。 3. 本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰。并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效。 4. 只交答题纸，不交试题卷。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 是 “为奇函数” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 ，，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 已知随机变量 ，且 ，则 （ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 已知 为函数 的最小正周期，则 （ ） A. B. C. D. 0 6. 已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为 和 ，侧棱长为 ，该正四棱台的体积为（ ） A. 518 B. C. 350 D. 8. 从 这 7 个数中任取 5 个不同的数。设 “取出的 5 个不同的数的中位数是 4”， “取出的 5 个不同的数的平均数是 4”，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的。全部选对的得 6 分。部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 在 中，，，，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. C. 是钝角三角形 D. 内切圆的半径为 10. 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在正方体 中， 为棱 的中点，则（ ） A. 过 有且只有一条直线与直线 和 都垂直 B. 过 有且只有一个平面与直线 和 都平行 C. 过 有且只有一条直线与直线 和 所成角均为 D. 过 有且只有一个平面与直线 和 所成角相等 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若 ，，则 ____. 13. 已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 14. 已知集合 ，集合 ，则函数 共有____个；若函数 满足：，，使得 ，则符合该条件的函数 共有____个. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13 分) ， 两组各 7 位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16； 组：12，13，15，16，17，14，． (1). 假设所有病人的康复时间相互独立，从 ， 两组随机各选 1 人， 组选出的人记为甲， 组选出的人记为乙，如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (2). 求 组病人康复时间的方差，并直接写出 ， 两组病人康复时间的方差相等时 的一个值． 16. (15 分) 记正项数列 的前 项和为 ，已知 ． (1). 求 ； (2). 记 ，数列 的前 项和为 ，证明：． 17. (15 分) 已知函数 . (1). 设 ，求 的单调区间； (2). 设 是 的极小值点，求证：. 18. (17 分) 如图所示，在矩形 中，，， 为 的中点，将 沿折 起，使得平面 平面 . (1). 求证： 平面 ； (2). 求三棱锥 的外接球球心到直线 的距离； (3). 若 （），当二面角 的平面角为 时，求 19. (17 分) 在平面直角坐标系 中，以椭圆 （）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1). 求椭圆 的方程； (2). 设 ，，点 在第三象限且在椭圆 上。直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . (i) 是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； (ii) 求四边形 面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $