精品解析：陕西师范大学附属中学2026届高三年级上学期第四次模考数学试题

陕西师大附中2025-2026学年度高三年级 第四次模考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】， 又，所以， 故选：D． 2. 已知复数 （为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则和模的运算进行计算. 【详解】题意， 所以. 故选：C 3. （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案. 【详解】. 故选：D 4. 展开式中的系数为（ ） A. 56 B. 42 C. 84 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含的项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 故选：B 5. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充要条件的定义及等比数列的和与项的关系即可判断. 【详解】若，，则，则为递减数列． 若为递增数列，则，，． 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：B． 6. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数以及对数函数的单调性，可得内层二次函数的单调性，根据二次函数以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意，且在上单调递增， 则函数在上单调递减， 可得，即，解得. 故选：B 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据内切圆的性质，可由面积比得到边长比，设出边长，利用双曲线的概念，结合余弦定理，可得答案. 【详解】 由的内切圆的圆心为，得点到三边的距离相等， 由，得， 设，则，由双曲线定义知：， ，则，解得， 于是， 在中，由余弦定理得， 在中，，则， 所以该双曲线的离心率为. 故选：A 8. 已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的结构特征求出圆台体积与其高的函数关系，再利用导数求出取最大值的条件，再按外接球球心在两平行平面间及外分类求出球半径即可. 【详解】设圆台上底半径为，则其下底半径为，高， 此圆台的体积，， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则当，即时，此圆台体积取得最大值， 设球的半径为，则球心到两个截面距离分别为， 显然此圆台的外接球球心在两底圆心确定的直线上， 则或， 解，无解；解，得， 所以此圆台的外接球的表面积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于统计分析的叙述中，错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布较集中 B. 做回归分析时，用决定系数刻画模型的拟合效果，若越小，说明模型的拟合效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，17，19，21的第80百分位数为17 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正态曲线的性质判断A；利用决定系数的意义判断B；求出平均数判断C；求出第80百分位数判断D. 【详解】对于A，随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布较集中，A正确； 对于B，做回归分析时，用决定系数刻画模型的拟合效果，若越大，说明模型的拟合效果越好，B错误； 对于C，样本数据的平均数为3，则的平均数为，C正确； 对于D，由，得数据的第80百分位数为，D错误. 故选：BD 10. 函数的部分图象如图所示，其中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间上恰有一个零点 D. 在区间上没有极值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象的点代入计算判断A；确定最小正周期，从而求得，判断B；根据，得到可判断的零点个数和极值点个数，判断CD. 【详解】对于A，由图象可知，所以， 又，所以，故A错误； 对于B，又，所以， 因为属于单调递减区间，所以， 所以，因为的最小正周期，， 所以，故，所以，故B正确； 对于CD，根据AB选项可知， 当时，， 所以在区间恰有一个零点，没有极值点，故CD正确； 故选：BCD. 11. 已知正项数列满足，，设，，则下列说法正确的是： A. 是递减数列 B. C. 存在使得 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将递推式合理变形后利用等差中项的性质判断A；利用裂项相消法结合给定条件判断BC；合理构造，，并运用导数证明，再结合放缩法和裂项相消法判断D即可. 【详解】因为， 所以，即， 即，所以数列为等差数列， 设等差数列的公差为，又因为， 所以，则， 所以是递减数列，故A正确； 所以， 所以 ， ，则，解得， 所以，所以，B正确； 又，令，得，C错误； 设，，则， 所以函数在上单调递增，且， 所以当时，，即， 故，所以， 又因为 ， 即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数的运算性质求出的值，再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】由，得，所以，， ，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 13. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理，列式求实数的值. 【详解】由条件可知，，， 所以，解得：（舍）或. 故答案为： 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若直线与椭圆交于第一象限的两点（在左侧），且，，则直线的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】联立与，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，根据，结合，求出，又两点在第一象限，则，解得，，求出直线的方程. 【详解】由题意得，设，且， 联立与得， ， ，解得，， ，由得， 即， 即， 其中 ， 所以， 由于，故， 则，平方可得， ，故，则，解得， 故，则，解得， 故， 又，则，整理得， 又，故，即， 又两点在第一象限，则，解得， 又，所以，直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角对边为，的面积为，已知. （1）若，，求的值； （2）若，求cos A的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合题意利用余弦定理求解； （2）结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 又，则， 由余弦定理得， 解得； 【小问2详解】 因为，又， 所以， 所以由余弦定理得. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类求出单调区间，再结合区间及最小值讨论求解. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，不符题意舍去； 当时，由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，满足，则； ②当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，不符题意舍去. 所以. 17. 平面内一动点到定点和定直线的距离相等，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）已知点.过点的直线交于不同两点（均与点不重合），直线分别交直线于点.证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出轨迹方程. （2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，再求出直线方程得点坐标，进而得点的坐标，然后利用斜率坐标公式及韦达定理计算得证. 【小问1详解】 由动点到定点和定直线的距离相等， 得动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. 【小问2详解】 直线不垂直于轴，设直线的方程为，，（且）， 由，得，则，， 直线的斜率，其方程为， 令，得，同理得，设直线的斜率分别为， 因此 ， 所以. 18. 甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： （1）甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； （2）若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； （3）甲在比赛中获胜的概率. 【答案】（1）； （2）的分布列为： 1 3 期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）将所求概率的事件拆成两个互斥事件的和，再结合独立重复试验的概率公式求解. （2）求出的所有可能取值及各个值对应的概率，求出分布列并求出期望. （3）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件，再利用条件概率公式及全概率公式计算得解. 【小问1详解】 甲在比赛中抢到的题目比乙多的事件是甲抢到2个题的事件与甲抢到3个题的事件和， 其概率为. 【小问2详解】 依题意，的所有可能取值为， 则， ， 所以的分布列为： 1 3 数学期望. 【小问3详解】 设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件， 则， ， ， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上（与不重合）． （1）若平面平面，证明：平面; （2）当面积最小时，求二面角的正弦值； （3）在（2）的条件下，若，是线段的等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应截面面积为，证明： （参考公式：）， 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理可证明； （2）利用线面垂直的判定先证平面，当面积取得最小值时，即最小，计算出，的长度，根据相似比即可确定 值，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角； （3）根据（2）可知，这些截面都是相似直角梯形，利用相似可得到第个截面的面积，再根据求和公式求和即可证明. 【小问1详解】 底面为正方形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，设直线交于点，连接， 底面为正方形，，平面平面， 平面平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，，， 所以，即， 又，所以， 又，，平面，平面， 平面，，又，所以， 故当最小时，即时，面积取得最小值， ，，，时，， ，， 所以，即的面积最小时， 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，得， 令，得， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 则二面角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）知，， ， 由题意不妨设是距离点P的由近及远的个等分点，第个等分为，截面为， 则，所以， 即， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025-2026学年度高三年级 第四次模考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 （为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. （    ） A. B. C. D. 4. 展开式中的系数为（ ） A. 56 B. 42 C. 84 D. 120 5. 设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于统计分析的叙述中，错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布较集中 B. 做回归分析时，用决定系数刻画模型的拟合效果，若越小，说明模型的拟合效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，17，19，21的第80百分位数为17 10. 函数的部分图象如图所示，其中，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间上恰有一个零点 D. 在区间上没有极值点 11. 已知正项数列满足，，设，，则下列说法正确的是： A. 是递减数列 B. C. 存在使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为__________. 13. 已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为___________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若直线与椭圆交于第一象限的两点（在左侧），且，，则直线的方程为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角对边为，的面积为，已知. （1）若，，求的值； （2）若，求cos A的值. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 17. 平面内一动点到定点和定直线的距离相等，记动点的轨迹为. （1）求轨迹的方程； （2）已知点.过点的直线交于不同两点（均与点不重合），直线分别交直线于点.证明：. 18. 甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： （1）甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； （2）若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； （3）甲在比赛中获胜的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点在线段上（与不重合）． （1）若平面平面，证明：平面; （2）当面积最小时，求二面角的正弦值； （3）在（2）的条件下，若，是线段的等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应截面面积为，证明： （参考公式：）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $