精品解析：上海市上海中学2021-2022学年高一下学期期末阶段练习数学试题

上海中学2022学年高一第二学期期末阶段练习 数学试题 高一________班 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、填空题（每空3分，共39分） 1. 已知点，向量，则向量__________． 2. 已知复数，则__________． 3. 若，则在方向上的数量投影是__________． 4. 在正方体中，棱与平面所成角的余弦值为__________． 5. 设为虚数，若，则__________． 6. 在四面体中，若棱与所成角为且，则连接四条棱中点所得四边形的面积为__________． 7. 在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是，则第四个复数是__________． 8. 已知均为非零向量，且与垂直，与垂直，则与的夹角为__________． 9. 已知方程的两根满足，则__________． 10. 正四面体ABCD的棱长为2，则所有与A，B，C，D距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______． 11. 已知为虚数，且是实数，也是实数，则的值为__________． 12. 已知向量与的夹角为，，在时取得最小值，当时，的取值范围为__________． 13. 中，，则的最大值是___________. 二、选择题（每题4分，共16分） 14. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中，其中正确的是（ ）． A 若，则 B. 若，则 C. 若，则且 D. 若，则 15. 若非零不共线的向量满足，则（ ）． A B. C. D. 16. 正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　） A. B. 2 C. D. 17. 在等腰三角形中，，M为中点，N为中点，D为边上的一个动点，沿翻折至使，点A在面上的投影为点O，当点D在上运动时，以下说法错误的是（ ）． A. 线段为定长 B. C. 存在D的某个位置使得 D. 存在D的某个位置使得 三、解答题（本大题共6题，共48分，解答各题必须写出必要的步骤） 18. 复数，求实数m的取值范围使得： （1）z为纯虚数； （2）z在复平面上对应的点在第四象限． 19. 已知正方形所在平面外一点P满足平面，E，F分别是的中点． （1）求证：∥平面； （2）若，求与所成角的大小． 20. 已知向量，单位向量与向量的夹角为． （1）求向量； （2）若向量与坐标轴不平行，且与向量垂直，令，请将t表示为x的函数，并求的最大值． 21. 如图，某钢性“钉”由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，钉尖为． （1）当在同一水平面内时，求与平面所成角大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为，要用某种线性材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少厘米？ 22. 我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义. （1）若，，且，，计算，的值； （2）设且中向量均为“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值； （3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学2022学年高一第二学期期末阶段练习 数学试题 高一________班 学号________ 姓名________ 成绩________ 一、填空题（每空3分，共39分） 1. 已知点，向量，则向量__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量减法的坐标运算法则计算可得； 【详解】解：因为，所以， 又，所以； 故答案为： 2. 已知复数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的共轭复数，代入，由复数的乘法运算化简复数，再由复数的模长公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以， 则. 故答案为：. 3. 若，则在方向上的数量投影是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、，再根据求出在方向上的数量投影； 【详解】解：因为，所以， ， 所以在方向上的数量投影为； 故答案为： 4. 在正方体中，棱与平面所成角的余弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则设正方体的边长为1，分别求出直线的方向