5.2.1 基本初等函数的导数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数，涵盖导函数定义、公式推导及应用。课堂通过“探究1”从曲线在点处的导数定义过渡到导函数，“探究2”引导推导常函数、幂函数等导数，搭建从定义到公式的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以探究活动培养数学思维，如用二项式定理推导幂函数导数、结合和差化积与重要极限推导三角函数导数。例题和跟踪练习（如求y=log₃x导数）强化数学语言表达，课堂小结系统梳理公式和求导步骤。学生能深化对导数本质的理解，教师可直接用于教学提升效率。

5.2.1 基本初等函数的导数 高中数学人教版A(2019)选择性必修二 www.sclyzx.com 新知探究 1 探究1 如何用曲线在点处的导数的定义表示出函数的导函数的公式？ 函数在处的导数就是切线的斜率，即： . 曲线在点处的导数的定义： 导函数的定义： 当 函的导 函数(简称导数) 即：. 函数在点处的导数、导函数 之间 有什么区别与联系呢？ 新知探究 思考：函数在点处的导数、导函数 、导数 之间有什么区别与联系呢？ l (1)函数在点处的导数，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，是一个确定的值。 (2)函数的导数，是指某一区间内任意点而言的， 函数 的导函数就是 ，它是一个变量，是函数。 函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。 导函数的定义 1.求函数值的增量 2.求平均变化率： = 3.取极限得导数 求导函数的步骤： 一差、二比、三极限。 对导函数赋值即可求函数在点 学以致用 例1 如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f ′(2)等于（ ） A.－4 B.3 C.－2 D.1 D 新知探究 思考： 回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？ 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数. 探究2 ；；； 1. 函数的导数 任意点处切线斜率均为0. 2. 函数的导数 任意点处切线斜率均为1. 探究2 ；；； 在点的切线斜率为. 5. 函数的导数 在点的切线斜率为. 6. 函数的导数 基本初等函数的导数(需记忆) 1. 常函数： 若(c为常数), 则; 2. 幂函数： 若(, 且), 则; 3. 正弦函数：若, 则; 4. 余弦函数： 若, 则; 5. 指数函数： 若 (, 且), 则; 特别地,若 , 则; 6. 对数函数： 若 (, 且), 则; 特别地,若 , 则 分析：这两个公式的证明需要用到三角函数的和差化积公式 和重要的极限 证明:(公式3) ☆以下公式的推导过程不要求掌握,仅作了解 证明: 典例分析 www.sclyzx.com . 跟踪练习 www.sclyzx.com www.sclyzx.com 跟踪练习 www.sclyzx.com 课堂小结 1、基本初等函数的导数． ２、如何求函数在某一点处的导数？ www.sclyzx.com 5.2.1 基本初等函数的导数 第2课时 高中数学人教版A(2019)选择性必修二 www.sclyzx.com 练习－－导数的公式应用 1、函数y＝3x在x＝2处的导数为（ ） A.9 B.6 C.9ln 3 D.6ln 3 C 2、函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于（ ） A.4 B.－4 C.5 D.－5 A 解: ∵f ′(x)＝αxα－1，f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4. 3、求下列函数在给定点处的导数： 解：(1) (2) (3) (4) 4、已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程? 5、 已知y＝kx＋1是曲线y＝ln x的一条切线， 则k＝ . 6、求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程？ 练习：大聚焦P7 例2、即时训练4 导函数的定义： 当函的导函数(简称导数) 即：. 函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数. 常见基本初等函数： 课堂小结 基本初等函数的导数 1. 常函数： 若(c为常数), 则; 2. 幂函数： 若(, 且), 则; 3. 正弦函数：若, 则; 4. 余弦函数： 若, 则; 5. 指数函数： 若 (, 且), 则; 特别地,若 , 则; 6. 对数函数： 若 (, 且), 则; 特别地,若 , 则 作业: 1、聚焦课堂 例1　求下列函数的导数： (1)y＝sineq \f(π,3)； (2)y＝5x； (3)y＝eq \f(1,x3)； (4)y＝eq \r(4,x3)； (5)y＝log3x. 小结　对于教材中出现的几个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq \f(π,3)这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式． (2)y′＝(eq \f(1,2))xln eq \f(1,2)＝－(eq \f(1,2))xln 2； (3)∵y＝xeq \r(x)＝ ，∴y′＝eq \f(3,2) ； (4)y′＝eq \f(1,xln \f(1,3))＝－eq \f(1,xln 3). 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)y＝x8；(2)y＝(eq \f(1,2))x；(3)y＝xeq \r(x)；(4) 解　(1)y′＝8x7； 探究点二　求某一点处的导数 例2　求f(x)＝cos x在x＝eq \f(π,3)处的导数 小结　函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导． 跟踪训练2　求函数f(x)＝eq \f(1,\r(3,x))在x＝1处的导数． ∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 解:∵y ′＝， ∴k＝y ′|x＝e＝， 解：设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y’|x0＝＝k， 又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝. 求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的步骤： (1)设切点(x0，f(x0))，求导函数y’，求切线斜率：k＝f ′(x0) (2)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率； (3)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k； (4)根据点斜式写出切线方程，将切线方程化为一般式．　 $