精品解析：山东省淄博市桓台县周家中学2023-2024学年第二学期九年级数学试题

初四数学练习题 （时间：120分钟） 本试卷共6页，满分150分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算：20•2﹣3=（ ） A. ﹣ B. C. 0 D. 8 2. 下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A. B. C. D. b 4. 关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于，的方程是二元一次方程，则、的值为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 7. 某同学根据体育素质测试成绩，对某小组5名同学的成绩（单位：分）进行统计（如下表），其中有两个数据被遮盖． 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 成绩 38 34 ■ 37 40 ■ 37 被遮盖的两个数据依次是（ ） A. 35，2 B. 36，4 C. 35，3 D. 36，3 8. 如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 2－ B. － C. 2－ D. － 9. 抛物线（是常数）的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）． A. 5.1米 B. 6.3米 C. 7.1米 D. 9.2米 11. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（） A. y=2n+1 B. y=2n+n C. y=2n+1+n D. y=2n+n+1 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． ） 13. 计算：_________． 14. 当 x =__________时，分式的值是 0． 15. 现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能够构成三角形的概率是_____. 16. 如图，在中，，，，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处．若，则点P到AB距离的最小值为________． 17. 如图，在中，，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，C，D分别是的中点，点E在的延长线上．若函数的图象经过点B，E，函数的图象过点C，且的面积为1，则的值为________． 三、解答题（本大题共7个小题，共70分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 19. 已知：如图，在正方形中，E是边上一点，F是的中点，且． 求证：平分． 20. PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据PM2.5检测网的空气质量新标准，从某市2016年全年每天的PM2.5日均值标准值（单位：微克/立方米）监测数据中随机抽取25天的数据作为样本，并根据检测数据制作了尚不完整的频数分布表和条形图： 空气质量等级 PM2.5日均值标准值 频数 频率 优 0～35 1 0.04 良 35～75 m 0.2 轻度污染 75～150 11 0.44 中度污染 150～200 5 0.2 重度污染 200～300 n a 严重污染 大于300 1 0.04 （1）求出表中m，n，a的值，并将条形图补充完整； （2）以这25天的PM2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(365天)大约有多少天的空气质量达到优或良； （3）请你结合图表评价一下某市的空气质量情况． 21. 某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件； （2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案． 22. 如图，是的直径，C是上一点，D是弧的中点，E为延长线上一点，且，与交于点H，与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 23. 数量与位置关系 （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点H，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系_____； （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），连接，交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），直线，交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长． 24. 如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学练习题 （时间：120分钟） 本试卷共6页，满分150分，考试时间 120 分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码． 2．第一题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第二、三题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算：20•2﹣3=（ ） A. ﹣ B. C. 0 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：20•2﹣3=1×=．故答案选B． 考点：实数的运算. 2. 下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可得选项A是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项错误；选项B不是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项错误；选项C是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项错误；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项正确．故答案选D． 考点：轴对称图形与中心对称图形的概念. 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（     ） A. B. C. D. b 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，二次根式的性质，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 4. 关于x的不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由得， 又，得， 则不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】此题考查了解不等式组和用数轴表示不等式组解集的能力，关键是能准确理解和运用以上知识进行正确地求解． 5. 已知关于，的方程是二元一次方程，则、的值为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组，是解题的关键． 6. 如图， BD 是△ABC 的角平分线， AE⊥ BD ，垂足为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD， ∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=，∠AFB=∠EFB=90°， ∴∠BAF=∠BEF， ∴AB=BE，AE⊥BD， ∴BD是AE的垂直平分线， ∴AD=ED， ∴∠DAF=∠DEF， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°， ∴∠BED=∠BAD=95°， ∴∠CDE=95°-50°=45°， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 7. 某同学根据体育素质测试成绩，对某小组5名同学的成绩（单位：分）进行统计（如下表），其中有两个数据被遮盖． 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 成绩 38 34 ■ 37 40 ■ 37 被遮盖的两个数据依次是（ ） A. 35，2 B. 36，4 C. 35，3 D. 36，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数与方差的计算，掌握根据平均数公式求未知数据，再根据方差公式计算方差是解题的关键． 先根据平均成绩的计算公式求出被遮盖的成绩，再根据方差的计算公式求出方差，进而分析选项． 【详解】解：已知平均成绩是37分，设编号3的成绩为，则： ， ， ， 解得， 然后计算方差，方差公式为：， 代入数据可得：， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 2－ B. － C. 2－ D. － 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF，求出答案． 【详解】解：∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝45°， ∴AB＝AE＝1，BE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝ED＝1， ∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF =1×2×1×1 =． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键． 9. 抛物线（是常数）的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】∵， ∴顶点坐标为： ， ∵ ∴顶点在第一象限． 故选：A． 10. 如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）． A. 5.1米 B. 6.3米 C. 7.1米 D. 9.2米 【答案】A 【解析】 【详解】如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q， ∵CE∥AP， ∴DP⊥AP， ∴四边形CEPQ为矩形， ∴CE=PQ=2，CQ=PE， ∵i=， ∴设CQ=4x、BQ=3x， 由BQ² +CQ²=BC²可得(4x)²+(3x)²=102， 解得：x=2或x=−2(舍)， 则CQ=PE=8，BQ=6， ∴DP=DE+PE=11， 在Rt△ADP中,∵AP=≈13.1， ∴AB=AP−BQ−PQ=13.1−6−2=5.1， 故选A. 点睛：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 11. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解． 【详解】∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-=； ∴a、b异号，且b=-a； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c ∴abc0，故①正确； ∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴和3是关于的方程的两个根；故②正确； ∵b=-a，c=-2 ∴二次函数解析式： ∵当时，与其对应的函数值． ∴，∴a； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n， ∴m=n=2a-2， ∴m+n=4a-4；故③错误 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键． 12. 如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（） A. y=2n+1 B. y=2n+n C. y=2n+1+n D. y=2n+n+1 【答案】B 【解析】 【详解】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n， 右边三角形的数字规律为：2，，…，， 下边三角形的数字规律为：1+2，，…，， ∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是y=2n+n. 故选B． 【点睛】考点：规律型：数字的变化类． 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． ） 13. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 14. 当 x =__________时，分式的值是 0． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分式的值等于零的条件，列出方程和不等式，即可得到答案． 【详解】∵=0， ∴，且， ∴x=-1． 故答案是：-1． 【点睛】本题主要考查分式等于零的条件，掌握分式的值等于零，则分子等于零，分母不等于零，是解题的关键． 15. 现有长分别为1，2，3，4，5的木条各一根，从这5根木条中任取3根，能够构成三角形的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先列举出从1，2，3，4，5的木条中任取3根的所有等可能结果，再根据三角形三边间的关系从中找到能组成三角形的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】从1，2，3，4，5的木条中任取3根有如下10种等可能结果： 3、4、5；2、4、5；2、3、5；2、3、4；1、4、5；1、3、5；1、3、4；1、2、5；1、2、4；1、2、3； 其中能构成三角形的有3、4、5；2、4、5；2、3、4这三种结果， 所以从这5根木条中任取3根，能构成三角形的概率是 ， 故答案是：． 【点睛】考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 16. 如图，在中，，，，点F在边AC上，点E为边BC上的动点，将沿直线EF翻折，点C落在点P处．若，则点P到AB距离的最小值为________． 【答案】1.2 【解析】 【分析】以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值=FH-FP=FH-FG．利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：以F为圆心，CF为半径作⊙F，过点F作FH⊥AB于点H交⊙F于点G，则点P到AB的距离的最小值=FH-FP=FH-FG． 由翻折的性质可知，PF=CF=2， ∴点P在⊙F上， ∵AC=6，BC=8， ∴AB==10，AF=AC-CF=4， 由△AHF∽△ACB， ∴， ∴， ∴FH=3.2， ∴点P到AB的距离的最小值=FH-FG=3.2-2=1.2． 故答案为：1.2． 【点睛】本题考查了翻折变换，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 17. 如图，在中，，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，C，D分别是的中点，点E在的延长线上．若函数的图象经过点B，E，函数的图象过点C，且的面积为1，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由点C为线段的中点结合反比例函数图象上点的坐标特征可得出，设点C的坐标为，则点B的坐标为，点E的坐标为，进而可得出的长度，再根据三角形的面积公式结合的面积为1，即可求出的值． 【详解】解：∵点C为线段的中点，且函数的图象经过B，E，函数的图象过点C， ∴， 设点C的坐标为，则点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∴， 解得：． 三、解答题（本大题共7个小题，共70分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【解析】 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 19. 已知：如图，在正方形中，E是边上一点，F是的中点，且． 求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长、交于G，由证明 ，得出 ，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得到，即可得出结论． 【详解】延长、交于G，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 20. PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据PM2.5检测网的空气质量新标准，从某市2016年全年每天的PM2.5日均值标准值（单位：微克/立方米）监测数据中随机抽取25天的数据作为样本，并根据检测数据制作了尚不完整的频数分布表和条形图： 空气质量等级 PM2.5日均值标准值 频数 频率 优 0～35 1 0.04 良 35～75 m 0.2 轻度污染 75～150 11 0.44 中度污染 150～200 5 0.2 重度污染 200～300 n a 严重污染 大于300 1 0.04 （1）求出表中m，n，a的值，并将条形图补充完整； （2）以这25天的PM2.5日均值来估计该年的空气质量情况，估计该年(365天)大约有多少天的空气质量达到优或良； （3）请你结合图表评价一下某市的空气质量情况． 【答案】（1）m=5，n=2，a=0.08；作图见解析；（2）88天；（3）一年中优或良的天气占，污染的时间占，空气质量总体不好． 【解析】 【分析】（1）根据频数，频率和总数之间关系，即可算出表中m，n，a的值； （2）观查图中满足条件数据即可算出来； （3）观查图中数据，综合分析一下即可. 【详解】（1）观查频数分布表可知, 空气质量为良的频数 (天), 重度污染的频数： 天), 则重度污染的频率 . 条形图补充如下： （2） 这 25 天中空气质量达到优或良的频率为： , 以此估计该年(365天)空气质量达到优或良的天数为： (天) . （3）一年中优或良的天气占，污染的时间占，空气质量总体不好． 【点睛】本题主要考查了频数分布表与条形图，属于基础题型，准确识图表，从中找到相关信息是解题的关键． 21. 某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工，计划购买甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件； （2）如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过680元，求该公司有哪几种不同的购买方案． 【答案】（1）购买的甲、乙两种奖品分别是5件、15件（2）该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件. 【解析】 【分析】（1）根据“两种奖品共20件”和“两种奖品共花费650元”列出方程组求解即可； （2）根据题意，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）设甲、乙两种奖品分别购买x件、y件 依题意，得：， 解得：， 答：甲、乙两种奖品分别购买5件、15件. （2）设甲种奖品购买m件，则乙种奖品购买（20-m）件 依题意得： 解得：， ∵m为整数， ∴m=7或8， 当m=7时，20-m=13；当m=8时，20-m=12， 答：该公司有两种不同的购买方案：方案一：购买甲种奖品7件，购买乙种奖品13件；方案二、购买甲种奖品8件，购买乙种奖品12件. 22. 如图，是的直径，C是上一点，D是弧的中点，E为延长线上一点，且，与交于点H，与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到，求得，求得，于是得到结论； （2）连接，易得，因为，得，即，结合，，得，，根据相似性质，得，根据勾股定理，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴设，， ∴， ∴, ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， ∴直径的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 数量与位置关系 （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点H，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系_____； （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），连接，交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），直线，交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）相等，垂直 （2）不成立，，，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，可证明，，再结合，即可得到结论； （2）由已知可证明，得到，，再结合，即可得出另一个结论； （3）分两种情况：①当点E在线段上时，过点D作于点P，证明，可求得，，再根据勾股定理，即可逐步求得答案； ②当点G在线段上时，过点D作于点P，用与①类似的方法逐步求出，，，即可进一步求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，设交于点O， 在正方形和正方形中，， ， 即， ，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：不成立，，；理由如下： 如图2，设交于点O， 由（1）知，， ，，， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3， 在中，，， ， 过点D作于点P， ，， ， ， ， ，， ， ； ②当点G在线段上时，如图4， 过点D作于点P， ，， 同理得，， 由勾股定理得， ， 综上所述，的长为． 【点睛】对于图形变换问题，要注意前后小题解题思路的连贯性，通常还要根据题意画出不同位置的图形，进行分类讨论． 24. 如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 【答案】（1） （2）①点的坐标为或；②点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）①设，由点和点可得的表达式，分两种情况：当时和当时根据相似三角形的性质求解即可； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为，求出点M的坐标，得出直线的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点． 【小问1详解】 解：将、两点坐标代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ①设， 由点和点可得的表达式：， 则， ， 轴，轴， ， （Ⅰ）当时，， 则， ， ； （Ⅱ）当时， ， 则， ， ， ∴当与相似时，点的坐标为或； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，过作交于，在x轴的下方作，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为， 由作图可知，M与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 同理可得点的坐标为， 综上点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $