精品解析：广东佛山市南海区西樵镇部分校 2025-2026学年七年级下学期5月期中联考数学试题

2025-2026学年第二学期七年级学科核心素养训练数学试卷 说明：1.全卷共6页，满分120分，考试用时为120分钟． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是正确的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”是清代袁枚写的诗．苔花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式法则、同底数幂的乘除法运算法则、幂的乘方运算法则，进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项错误； B.，故该选项错误； C.，故该选项错误； D.，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则、同底数幂的乘除法运算法则、幂的乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 3. 已知，则下列关于的大小关系中正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查负指数幂，零次幂的运算，掌握负指数幂，零次幂的计算方法，实数比较大小的方法是关键． 根据负指数幂，零次幂的计算方法计算结果，再比较大小，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 4. 数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有 个白球、 个红球、 个黑球和 个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意； 由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色； 故选：A． 5. 将周长为 的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．由三角形的较短两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：A、由，此选项不符合题意； B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项符合题意； D、由，此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图， ， ， ，垂足分别为点 、 、 ， 中 边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ 中 边上的高是 ． 7. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中， ，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．过 作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，求出，由平行线的性质推出，即可求出． 【详解】解：过 作， ∵ ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 故选：A． 8. 油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆 ， ，当 沿 滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断， ，他的判定依据为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，本题公共边，可考虑 证明三角形全等，从而推出角相等． 【详解】解：在 与中， ， ∴， ∴ ， ∴他的判定依据为 ． 故选：C． 9. 有足够多张如图所示的 类、 类正方形卡片和 类长方形卡片，如果要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要 类卡片的张数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】计算，结果中ab项的系数即为需要C类卡片的张数． 【详解】解：∵， ∴需要C类卡片7张， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是理解结果中，ab项的系数即为需要C类卡片的张数． 10. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(　　) A. 56 B. 66 C. 76 D. 86 【答案】C 【解析】 【分析】利用“神秘数”定义判断即可． 【详解】解：∵76=38×2=（20+18）（20-18）=202﹣182， ∴76是“神秘数”，而其余各数均不能表示为两个连续偶数的平方差， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式，正确理解“神秘数”的定义是解本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知∠A与∠B互余，若∠A=60 ，则∠B的度数为 _____． 【答案】30° 【解析】 【详解】∵∠A与∠B互余，∠A=60 ， ∴∠B=90°-60°=30°. 12. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先观察式子，整理原式，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： ． 13. 若，，则的值是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法计算，逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：10． 14. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射原理有 ，，其原理如图2所示，若，则 的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定，解题关键是利用平行线的性质求出相关角度． 由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到 的度数． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，正方形 的对角线相交于点 ，以点 为顶点的正方形的两边 ， 分别交正方形 的两边 ， 于点 ， ，记的面积为，的面积为，若正方形的边长 ，，则的大小为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定；由四边形 是正方形，四边形是正方形，可证明，即得，而，可知，故． 【详解】解： 四边形 是正方形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 先化简，再求值：其中． 【答案】， . 【解析】 【分析】先利用乘法公式、单项式乘以多项式乘法进行计算，然后再进行合并同类项，化为最简后，再代入求值即可． 【详解】 = =， 当时，原式==1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，灵活运用两个乘法公式（完全平方公式和平方差公式）是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变． 18. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】（1）117，0.80 （2）0.8 （3） 【解析】 【分析】（1）利用数据占比 目标数 总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用 除以成活概率进行估算即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到 ）； 【小问3详解】 解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，直线 ， （1）利用尺规作图：过点B作，且 与 交于点C． （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明： ． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点 作，交 于点 ，即可． （2）利用平行线的性质，得到，即可得证． 【小问1详解】 如图所示， 即为所求； ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理． 20. 如图，在 中， 点 在 的延长线上，于点 ，， 平分 （1）求证：； （2）若 是 的中点， ，，求 的面积． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据 平分 得，由此可依据“ ”判定 和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接 ，根据点 是 的中点得，依据“ ”判定和全等得，由此即可得出 的面积． 【小问1详解】 根据，， 得， 平分 ， ， ， 在 和中， ， ， ； 【小问2详解】 连接 ，如图所示： 点 是 的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 21. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数据占比 目标数 总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用 除以成活概率进行估算即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到 ）； 【小问3详解】 解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 22. 如图，直线 ， （1）利用尺规作图：过点B作，且 与 交于点C．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明： ． 【答案】（1）解：如图所示， 即为所求； ∵， ∴； （2）证明：∵， ， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）过点 作，交 于点 即可． （2）利用平行线的性质，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在 中， 点 在 的延长线上，于点 ，， 平分 （1）求证：； （2）若 是 的中点， ，，求 的面积． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据 平分 得，由此可依据“ ”判定 和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接 ，根据点 是 的中点得，依据“ ”判定和全等得，由此即可得出 的面积． 【小问1详解】 根据，， 得， 平分 ， ， ， 在 和中， ， ， ； 【小问2详解】 连接 ，如图所示： 点 是 的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 24. 在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： （1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： 　． （2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值； （3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）a2+ b2＝（a+b）2-2ab （2）29 （3）6 【解析】 【分析】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系． （2）由（1）得到的等量关系：a2+b2=（a+b）2-2ab，代入数值求解即可； （3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，可得a+b＝8，a2+b2＝40，根据（1），求出ab的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即a2+b2，也可表示为边长是a+b的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即（a+b）2-2ab． ∴等量关系为a2+ b2＝（a+b）2-2ab； 【小问2详解】 解∶由（1）得，a2+ b2＝（a+b）2-2ab， ∵a+b＝7，ab＝10， ∴a2+ b2＝72-2×10=29 ； 【小问3详解】 解∶设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2， ∵AC+BC=8， S1+S2＝40， ∴a+b＝8，a2+b2＝40， ∵a2+ b2＝（a+b）2-2ab， ∴40＝64-2ab， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积为ab＝6． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 25. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在 中，如果，，那么 与互为“友爱角”， 为“友爱三角形”． （1）如图1， 是“友爱三角形”，且 与互为“友爱角”（）， ． ①求 、的度数． ②若 是 中 边上的高，则 、 都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在 中，，， 是边 上一点（不与点 ， 重合），连接 ，若 是“友爱三角形”，直接写出 的度数为______． 【答案】（1）① ， ；② 、 都是“友爱三角形”，见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． （1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由 是 中 边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得 ， ，结合 与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理，设，则，根据 是“友爱三角形”，分当 与 互为“友爱角”时，，或；当 与 互为“友爱角”时，，或；当 与 互为“友爱角”时，，或，求解即可． 【小问1详解】 解：①∵ 是“友爱三角形”， 与互为“友爱角”（）， ∴， ∵ ， ∴ 是直角三角形，， ∴，解得， ， ∴； ② 、 都是“友爱三角形”．理由如下： ∵ 是 中 边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 同理，，， ∴ ， ∵ 与互为“友爱角”（）， ∴ 与 互为“友爱角”， ∴ 是“友爱三角形”； 同理， 与互为“友爱角”， ∴ 是“友爱三角形”； 【小问2详解】 解：在 中，， 设， 则， ∵ 是“友爱三角形”， 当 与 互为“友爱角”时， ， 或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当 与 互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 当 与 互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； ∴ 的度数为或． 26. 模型意识以及知识运用 （1）【感知模型】如图1，正方形的顶点 在直线 上，分别过点 、 作于 ，于 ．则 ______． （2）【模型应用】如图2所示，在 中， ， ， 于 ，于 ，，，则的长为______ ． （3）【模型变式】如图3，在 中， ，点 、 分别是边 、 上一点，连接、 交于点 ．点 是上一点，连接 ，若，求证：． 【答案】（1） （2）6 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意，由于E，于F，则，，又四边形是正方形，可得 ， ，从而 ，进而 ，最后由 即可判断得解； （2）由“ ”可证，可得，即可求解； （3）根据及三角形外角的性质得，，进而可依据“ ”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，∵于E，于F， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 证明：∵，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级学科核心素养训练数学试卷 说明：1.全卷共6页，满分120分，考试用时为120分钟． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 4.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是正确的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”是清代袁枚写的诗．苔花的花粉直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列关于的大小关系中正确的是（   ） A. B. C. D. 4. 数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有 个白球、 个红球、 个黑球和 个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑色 B. 红色 C. 黄色 D. 白色 5. 将周长为 的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图， ， ， ，垂足分别为点 、 、 ， 中 边上的高是（ ） A. B. C. D. 7. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中， ，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其截面如图所示，支撑杆 ， ，当沿 滑动时，油纸伞开闭，小亮由油纸伞的状态判断， ，他的判定依据为（ ） A. B. C. D. 9. 有足够多张如图所示的 类、 类正方形卡片和 类长方形卡片，如果要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要 类卡片的张数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 10. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(　　) A. 56 B. 66 C. 76 D. 86 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知∠A与∠B互余，若∠A=60 ，则∠B的度数为 _____． 12. 计算：_________． 13. 若，，则的值是_______． 14. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射原理有 ，，其原理如图2所示，若，则 的度数为______ ． 15. 如图，正方形 的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边 ， 分别交正方形 的两边 ， 于点， ，记的面积为，的面积为，若正方形的边长 ，，则的大小为 _____． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：其中． 18. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，直线 ， （1）利用尺规作图：过点B作，且 与 交于点C． （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明： ． 20. 如图，在 中， 点 在 的延长线上，于点 ，， 平分 （1）求证：； （2）若 是 的中点， ，，求 的面积． 21. 植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 （1）完成上述表格：_____，_____； （2）这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． （3）如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 22. 如图，直线 ， （1）利用尺规作图：过点B作，且 与 交于点C．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明： ． 23. 如图，在 中， 点 在 的延长线上，于点 ，， 平分 （1）求证：； （2）若 是 的中点， ，，求 的面积． 24. 在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： （1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： 　． （2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值； （3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 25. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在 中，如果，，那么 与互为“友爱角”， 为“友爱三角形”． （1）如图1， 是“友爱三角形”，且 与互为“友爱角”（）， ． ①求 、的度数． ②若 是 中 边上的高，则 、 都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在 中，，， 是边 上一点（不与点 ， 重合），连接 ，若 是“友爱三角形”，直接写出 的度数为______． 26. 模型意识以及知识运用 （1）【感知模型】如图1，正方形的顶点 在直线 上，分别过点 、 作于 ，于 ．则 ______． （2）【模型应用】如图2所示，在 中， ， ， 于 ，于 ，，，则 的长为______ ． （3）【模型变式】如图3，在 中， ，点 、 分别是边 、 上一点，连接 、 交于点 ．点 是 上一点，连接 ，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $