精品解析：吉林长春市省实验繁荣学校2025-2026学年度下学期八年级期中数学

2025－2026学年度下学期八年级期中考试 数学学科试卷 本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在 中，，则 等于（　　） A. B. C. D. 2. 下列各数中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别是 ，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 6. 如图， 中，点是对角线 的交点，过点的直线分别交于点 ，若 的面积为2，的面积为4，则 的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 7. 如图，菱形的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点E，连接 ，若 ，，则 的长为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，在矩形中， ，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形 ，点B的对应点 落在 上，且，则四边形 的面积为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 一元二次方程的根为和，则代数式的值为______． 10. 若使二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是________． 11. 计算的结果等于___________． 12. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的横坐标是______． 13. 如图，E、F分别是正方形的边 、 上的点，且 ，若 ，则 ______． 14. 如图，在 中，．以 的三边为边，在边 同侧分别作三个等边三角形： 、 、．给出下面四个结论： ①；②四边形是平行四边形；③当 时，四边形是矩形；④当为钝角时，若 ，点 到边 的距离为1，则五边形的面积为．上述结论中，正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 计算：． 17. 如图，在 中，点D为 的中点，点E为 的中点，，．求 的长． 18. 如图，在四边形中， ，是边 的中点，．求证：四边形是矩形． 19. 在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． （1）在图2中，A反映 的成绩，B反映 的成绩；（填“甲”或“乙”） （2）图1中甲的众数为 环，乙的平均数为 环； （3）图2中，直接写出A的成绩和B的成绩，结合箱线图判断甲和乙谁的成绩分布比较集中 20. 图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点 、 均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 21. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，将 沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交 边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12． （1）四边形的形状为 ； （2）点D坐标为 ，线段 的长为 ； （3）坐标平面内的点F使以点A、C、D、F为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点F的坐标． 23. 【问题情境】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中， ，点G、H分别为边 、 的中点，以 为边向下作正方形 ．点P、Q分别在边 、 上运动，且 ，连结 、 ．求 的最小值． （1）【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段 与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边 的中点M，连结 ． 证明过程缺失 ∴． ∴ ． 请你帮助小明补全上述证明过程． （2）【问题解决】 的最小值为 ． （3）【拓展提升】如图③，在正方形中， ，点P、Q分别在边 、 上运动，且 ，点E在边 上，连结 、 ．若 ，则 的最小值为 ． 24. 已知在矩形中， ，，以 为边向右作等边三角形，点P为 边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转 ，线段的对应线段为 ，连结 ． （1）求证：； （2）当点Q落在 边上时，求 的长度； （3）连接 ，则线段 的长度范围是________； （4）当时，直接写出线段 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期八年级期中考试 数学学科试卷 本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在 中，，则 等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，并结合即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 故选：B． 2. 下列各数中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； B选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； C选项．是最简二次根式，被开方数为 ，与被开方数相同，是同类二次根式； D选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式． 3. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别是 ，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定．比较四名运动员的方差，最小者即为最稳定． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙、丁的方差分别为，且 ， ∴ 丁的方差最小， ∴ 成绩最稳定的是丁． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件． 选项B：，被开方数 是能开得尽方的数，不满足条件． 选项C：，被开方数含有分母，不满足条件． 选项D：，被开方数 含有能开得尽方的因数 ，不满足条件． 5. 一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果． 【详解】解：∵原方程为：对左侧因式分解得： ， ∴ 或 ， ∴方程的两个实数根为： ， ∴ ． 6. 如图， 中，点是对角线 的交点，过点的直线分别交于点 ，若 的面积为2，的面积为4，则 的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形是中心对称图形，得出，，求出，即可得解，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解： 四边形是平行四边形，点是对角线 的交点， 四边形是中心对称图形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，菱形的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点E，连接 ，若 ，，则 的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得出 ，由菱形的面积求出 ，由直角三角形斜边上的中线性质得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴． 8. 如图，在矩形中， ，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形 ，点B的对应点 落在 上，且，则四边形 的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形中， ，，即可得到， ，根据旋转得到 ，在中根据勾股定理即可得到 ，利用矩形面积减去 面积即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中， ，， ∴， ， 在中根据勾股定理即可得：， ∵矩形绕点A逆时针旋转得到矩形 ， ∴ ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质及勾股定理，解题的关键是求出 ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 一元二次方程的根为和，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定二次项系数与常数项，再利用根与系数的关系即可求出两根之积． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得： ， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得：， 本题中，，代入得 ． 10. 若使二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 11. 计算的结果等于___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先运用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为 ：2． 12. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A的坐标为，得出，根据平行四边形的性质得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形 为平行四边形， ∴，， ∴点B的横坐标为 ． 13. 如图，E、F分别是正方形的边 、 上的点，且 ，若 ，则 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正方形的性质，证明 即可． 【详解】证明： 四边形是正方形， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 14. 如图，在 中，．以 的三边为边，在边 同侧分别作三个等边三角形： 、 、．给出下面四个结论： ①；②四边形是平行四边形；③当 时，四边形是矩形；④当为钝角时，若 ，点 到边 的距离为1，则五边形的面积为．上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明，即可判断①；同理可证，得到，即可证明四边形是平行四边形，即可判断②；求出，即可判断③；求出，，利用面积和即可判断④． 【详解】解：∵ 、是等边三角形． ∴， ∴， 即， ∴，故①正确； 同理可证，， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形；故②正确； 当 时， ∵ ∴， ∴四边形不可能是矩形；故③错误； ∵，， ∴， 过点 作 于点 ， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴五边形的面积为，故④正确； 综上，正确的有①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴， 解得：，． 16. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则，先根据二次根式乘除法法则计算，并化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在 中，点D为 的中点，点E为 的中点，，．求 的长． 【答案】3 【解析】 【分析】由三角形中位线定理推出 ， ， ，再证明即可求解． 【详解】解：∵点 为边 的中点，点 为边 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在四边形中， ，是边 的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵是边 的中点， ∴ ， 在 和中，， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用 可证明，得出 ，根据 得出 ，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】略 19. 在某次射击训练中，甲、乙两人的成绩如图1所示，嘉琪根据图1绘制成如图2所示箱线图． （1）在图2中，A反映 的成绩，B反映 的成绩；（填“甲”或“乙”） （2）图1中甲的众数为 环，乙的平均数为 环； （3）图2中，直接写出A的成绩和B的成绩，结合箱线图判断甲和乙谁的成绩分布比较集中 【答案】（1）乙、甲 （2）7，8 （3）A的；B的；乙的成绩分布比较集中 【解析】 【分析】（1）直接根据箱线图解答即可； （2）根据众数，平均数的定义解答即可； （3）根据下四分位数，中位数的定义即可求解，再由箱线图即可求解． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，乙的成绩波动较小， 在图2中，A的数据比较集中，故A反映乙的成绩，B反映甲的成绩； 【小问2详解】 解：因为甲的成绩中7环出现的次数最多， 所以甲的众数为7环， 乙的平均数为环； 【小问3详解】 解：A的； B的， 从箱线图可得乙的成绩主要集中在环，甲的成绩主要集中在环，高分段更分散，故乙的成绩分布比较集中． 20. 图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点 、 均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 【答案】（1）如图①：四边形即为所求； （不唯一）． （2）如图②：四边形即为所求； （不唯一）． （3）如图③：四边形即为所求； （不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可． （2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可． （3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE AC，CE BD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由； （2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积． 【答案】（1）菱形，理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）首先可根据DE AC，CE BD判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得 ，由此可判定四边形 是菱形； （2）连接 ，通过证四边形是平行四边形，得；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积． 【详解】解：（1）四边形 是菱形． ∵DE AC，CE BD， 四边形 是平行四边形， 又在矩形中， ， 四边形 是菱形． （2）连接 ．由菱形 得：， 又， （在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行）， 又， 四边形是平行四边形； ， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法，解题的关键是熟记菱形的各种判断方法． 22. 如图，在平面直角坐标系中，将 沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交 边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12． （1）四边形的形状为 ； （2）点D坐标为 ，线段 的长为 ； （3）坐标平面内的点F使以点A、C、D、F为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）菱形 （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）延长 ，交轴于点 ，先求出，再根据折叠的性质可得，，，根据等角对等边得到，可知四边形是菱形； （2）证出四边形是平行四边形，求出 ，则可得，由此即可得点D坐标；利用勾股定理求出 的长，从而可得 的长； （3）先求出点 的坐标，再分三种情况：①当以点 、 、 、 为顶点构成的四边形是平行四边形 时，②当以点 、 、 、 为顶点构成的四边形是平行四边形时，③当以点 、 、 、 为顶点构成的四边形是平行四边形时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，延长 ，交轴于点 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵点 坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知 ， ∴，即 ， ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为12， ∴， 解得 ， ∴， ∴点 坐标为； 由（1）已得：， 设，则， 在中，，即， 解得 ， ∴； 【小问3详解】 解：由上已得：，，， ∴， ∴，， 设点 的坐标为， ①当以点 、 、 、 为顶点构成的四边形是平行四边形 时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ②当以点 、 、 、 为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ③当以点 、 、 、 为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； 综上，点 的坐标为或或． 23. 【问题情境】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中， ，点G、H分别为边 、 的中点，以 为边向下作正方形 ．点P、Q分别在边 、 上运动，且 ，连结 、 ．求 的最小值． （1）【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段 与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边 的中点M，连结 ． 证明过程缺失 ∴． ∴ ． 请你帮助小明补全上述证明过程． （2）【问题解决】 的最小值为 ． （3）【拓展提升】如图③，在正方形中， ，点P、Q分别在边 、 上运动，且 ，点E在边 上，连结 、 ．若 ，则 的最小值为 ． 【答案】（1）证明：如图②，取边 的中点 ，连结 ． ∵正方形， ∴ ， ， ∵M， 分别为边 、 的中点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和中点性质得 ， ，再由 ，得 ，即可由 得出，从而由全等三角形的性质得出结论； （2）连接 ，根据两点之间，线段最短得 ，当M、Q、F三点共线时， 值最小，最小值等于 ，延长 、相交于N，利用正方形的性质和勾股定理求得 ，即可求解； （3）在正方形下方作正方形 ，在边 上取点M，使 ，在边 上取点N，使 ，连接 ，则 ， ，根据两点之间，线段最短得， ，所以当M、Q、N三点共线时， 最小，最小值等于 ，利用正方形的性质和勾股定理求得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，连接 ， ∵ ， ∴当M、Q、F三点共线时， 值最小，最小值等于 ， 延长 、相交于N， ∵正方形，正方形 ，点 为边 的中点， ， ∴ ， ∴正方形 ， ∴ ， ， ∴ 由勾股定理，得， ∴ 的最小值为． 【小问3详解】 解：在正方形下方作正方形 ，在边 上取点M，使 ，在边 上取点N，使 ，连接 ，如图③， 同理由（1）可知： ， 由作图可得，正方形与正方形 是全等形， ∴正方形与正方形 关于 对称， ∵ ， ∴由对称性可得， ， ∵ ∴当M、Q、N三点共线时， 最小，最小值等于 ， ∵正方形，正方形 ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ 由勾股定理得：， ∴ 的最小值为． 24. 已知在矩形中， ，，以 为边向右作等边三角形，点P为 边上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转 ，线段的对应线段为 ，连结 ． （1）求证：； （2）当点Q落在 边上时，求 的长度； （3）连接 ，则线段 的长度范围是________； （4）当时，直接写出线段 的长度． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， 由题知， ，， ，即， ， ． （2） 的长度为 （3） （4）线段 的长度为或 【解析】 【分析】本题考查了旋转与几何综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等， 熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用题中条件证明，可得； （2）根据题意作图，利用矩形的性质和，推出，在 中，设，利用勾股定理列方程求解； （3）连接 ， 相交于点O，先证明 为等边三角形，可知点O与点F重合，延长 交 于点G，交 延长线于点E，连接 ， 由推出点Q在 上，再利用直角三角形的性质和垂线段最短求线段 的最大值和最小值，可得线段 的取值范围； （4）在图2的基础上，过Q作于点M，则，由时，推出， 当点Q在上时，利用求解，当点Q在上时，利用求解，综合可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图1，当点Q落在 边上时， 四边形是矩形， ， ， ， 设，由勾股定理得，， ，解得， ． 【小问3详解】 如图2，连接 ， 相交于点O， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， ，， 为等边三角形， 点F与点O重合， ， 延长 交 于点G，交 延长线于点E，连接 ， 由（1）知，可得，故， 点Q在 上， 当点P与点B重合时，点Q与点F重合，此时； ，， 垂直平分 ， ， 又， 为等边三角形， ，，， 当点P与点C重合时，点Q与点E重合，此时； 过点D作于点H，则， 又， ， 当点Q与点H重合时，线段 的长度最小，最小值为， 综上可知，线段 的长度范围是． 故答案为：． 【小问4详解】 当时，线段 的长度为或．理由如下： 在图2的基础上，过Q作于点M，则， 当点Q在上时，如图3， 当时，， 解得， ，， ， 又，， ， 利用勾股定理可得，， ，解得， 同理可求得， 由得，， 解得， ； 当点Q在上时，如图4，同理可得，， 由得，， 解得， ． 综上可知，线段 的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $