精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

东北师大附中初中部 2025-2026学年第二学期期中考试 初二年级数学学科试卷 考试时长：120分钟试卷分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件（分母不为零），即可得的取值范围． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点在第二象限的符号特征是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有， 故选：C． 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 反比例函数的图象经过点和．则m的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把点坐标代入解析式，即可求出k的值，再将点坐标代入解析式解出m即可． 【详解】解：把代入解析式得： ， 解得：， ∴反比例函数， 将点坐标代入解析式得：． 5. 如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的2倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 D. 扩大到原来的4倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的a，b同时缩小到原来的，可得，即该分式的值缩小到原来的， 故选：B． 6. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故选：A． 7. 已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A选项：一次函数的图象过第一、二、三象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； B选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项符合题意； C选项：一次函数的图象过第一、三、四象限， ，， 反比例函数的图象应过第一、三象限，故本选项不符合题意； D选项：一次函数的图象过第二、三、四象限， ，，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 18 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 10. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 11. 关于的分式方程有增根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，注意增根问题可按如下步骤进行： 化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘， 得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘， 得：， ， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，即， ． 故答案为： ． 12. 直线关于轴对称的直线解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征得到原直线上两点的对称点，再用待定系数法即可求解． 【详解】解：在直线上取两点和， ∵关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数， ∴两点关于轴的对称点分别为和， 设所求直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得 ∴直线关于轴对称的直线解析式为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明，进而可得，再根据反比例函数的性质可得，进而可求出的面积，问题随之得解． 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，它的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点，轴，垂足为，连接，与相交于点．下列结论： ①； ②四边形与面积相等： ③若，则； ④若，则直线的函数解析式为．其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据点E与点F在反比例函数上，得到两个点的坐标，结合勾股定理即可得到；根据反比例函数的几何意义可判断四边形与面积的关系；将绕点O逆时针旋转得到，根据旋转的性质以及全等三角形的性质可求解的度数；根据度数求解出点E与点F的坐标，再由待定系数法求解即可． 【详解】解：①∵正方形的边长为， ∴， ∵轴，即， ∴四边形为矩形， ∴， ∴点F的纵坐标为， ∴点， 同理可得点， ∴，故①正确； ②∵点E与点F在反比例函数上， ∴， ∵，， ∴，即四边形与面积相等，故②正确： ③将绕点O逆时针旋转得到，如图， ∴，且， ∵， ∴， ∴点M，点C，点F三点共线， ∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ④∵点，点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，则， 由勾股定理可知，，即， 即，解得， 反比例函数的图象位于第一象限， 则， ∴点，点， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为，故④正确． 则正确结论的序号是①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 无解 【解析】 【分析】（1）去分母，方程两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，最后检验； （2）去分母，方程两边同乘以，化成整式方程，解这个整式方程，最后检验． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘以，得： ， 解这个整式方程得： ， 经检验：是原分式方程的解； 【小问2详解】 方程两边同乘以，得： ， 解这个整式方程得： ， 经检验：是增根，原分式方程无解． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握直接开平方法，因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式求解即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ， ，，， ， ， 解得，； 【小问4详解】 解：， ，，， ， ， 解得，． 18. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标为(-4,5)． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）将绕原点顺时针旋转得到，画出； （3）连接，则的面积为___________． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）答案见解析 （3）的面积为11 【解析】 【分析】（1）先确定坐标原点，即可得答案； （2）根据旋转作图的方法，确定，最后连接即可； （3）确定，计算即可． 【小问1详解】 解：如下图， 由点，确定坐标原点O， 所以点B的坐标为，点C的坐标为； 【小问2详解】 如（1）图，作，且，得到，同理可得：，，连接，即为所求； 【小问3详解】 如（1）图，连接 ， ． 19. 列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 【答案】30元 【解析】 【分析】先设出第一次每套玩具套装的进价，再根据进价降低比例表示出第二次的进价，利用“总价÷单价=数量”得到两次购进的数量，根据第二次购进数量比第一次多20套列出方程，求解检验后得到结果． 【详解】解：设第一次购进的玩具套装每套的进价是元，则第二次购进时每套的进价为元， 根据题意，得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是30元． 20. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？ 【答案】（1） （2）减少了，减少了 【解析】 【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【小问1详解】 解：设h与p之间的函数关系式为，由题可知，图像过， 将代入，得， 解得：， 所以h与ρ之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 密度计浸入该液体中的高度h减少了． 21. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）已知点，观察图象，不等式的解集为___________； （3）点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先将点代入求出m值，再将求出的点A坐标代入求解k即可； （2）不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时交点的横坐标的取值范围； （3）先求出点D，E坐标，即可求解，再由求解即可． 【小问1详解】 解：由条件可得：， 解得， ∴， 将点代入得，， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得，一次函数图象与反比例函数图象交于点，， ∴由函数图象可得，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：将点D的横坐标4代入，则， ∴， ∵过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E， ∴点E横坐标为4， ∴将点E横坐标4代入得，， ∴， ∴， ∴． 22. 一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车出发开始计时的时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为___________km； （2）当时， ①求慢车离乙地的路程与之间的函数关系式； ②当___________（h）时，两车相遇； （3）直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时，的值． 【答案】（1）600 （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由图象获取信息； （2）①利用待定系数法求解析式；②求出快车的解析式，联立解析式求解； （3）根据两点之间的距离列出含绝对值的方程求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时，快车离乙地的距离为， 所以甲、乙两地之间的距离为； 【小问2详解】 ①设慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式为， 将代入解析式得：， 解得：， ； ②设快车离乙地的路程与x之间的函数关系式为， 将代入解析式得：， 解得：， ， 当时，两车相遇， ，解得：， 当时，两车相遇； 【小问3详解】 根据题意得：， 解得：或． 23. 对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． （1）点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； （2）点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； （3）已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①的取值范围是;②的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先写出的1阶明珠函数，根据点的横坐标判断所属分段，代入解析式求； （2）写出的阶明珠函数，分情况讨论的取值； （3）①写出的2阶明珠函数，分别求两段在对应区间内的取值范围，再合并；②根据函数单调性，结合给定的的取值范围反推的取值范围． 【小问1详解】 解：一次函数的1阶明珠函数为 ． 点中， 将代入，得 ． 故． 【小问2详解】 解：正比例函数的-1阶明珠函数为 ． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，或． 【小问3详解】 解：一次函数的2阶明珠函数为 ． ①当时，随增大而减小， 时，；时，， ； 当时，随增大而增大， 趋近2时，趋近；时，， ； 综上，当时，的取值范围是． ②当时，随增大而减小， 当时，， 当时，， 此时， ∵当时，的取值范围是， ∴， 当时，随增大而增大， 趋近2时，接近；时，． 则时，， ∵当时，的取值范围是， 且时，；， ∴， 解得， 故的取值范围是． 24. 如图①，点是平面直角坐标系的坐标原点，正方形的边长为4，边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上． （1）求直线的函数解析式； （2）点是轴上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到点的对应点，设点的横坐标为． ①请用含的代数式表示点的坐标___________； ②连接，当线段最短时，点的坐标是___________； ③如图②，点是线段的中点，连接，是否存在点，满足，如果存在．请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ；②；③或 【解析】 【分析】（1）先确定点A、C的坐标，再用待定系数法解答即可； （2）①分2种情况，，先证，得，同理证，可得答案；②根据两点间距离公式求出，让最小，求a的值，即可得答案；③先求出的值，再表示出，列式计算即可，注意分情况讨论． 【小问1详解】 解：正方形的边长为4，边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上， 点坐标为，C点坐标为 ， 设直线的函数解析式为， 将代入中，得， 解得：， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 ①如下图，当D在x轴正半轴，作轴于H， ， ， 又， ， ， ， 如下图，当D在x轴负半轴，作轴于H， 同理：E点坐标为 ； ②， ， 因为线段最短，所以 最小， ， 点坐标为； ③正方形的边长为4， ，， 是中点， ， 如①图，过F作于M，连接，得， 是等腰直角三角形，， ，即， 解得：， ， ， ， 如①图，过E作，交的延长线于N， ，， ， ， ， ， ， ，解得：，此时点E的坐标，即， ，解得：，此时点E的坐标，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初中部 2025-2026学年第二学期期中考试 初二年级数学学科试卷 考试时长：120分钟试卷分值：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A. B. C. D. 3. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象经过点和．则m的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 5. 如果把分式中的同时缩小到原来的，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的2倍 B. 缩小到原来的 C. 不变 D. 扩大到原来的4倍 6. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ） A. 24 B. 12 C. 18 D. 21 二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若分式的值为0，则的值为_____． 10. 计算：___________． 11. 关于的分式方程有增根，则的值为___________． 12. 直线关于轴对称的直线解析式为___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，它的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴正半轴上，反比例函数的图象与正方形的两边分别交于点，轴，垂足为，连接，与相交于点．下列结论： ①； ②四边形与面积相等： ③若，则； ④若，则直线的函数解析式为．其中正确结论的序号是___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解下列分式方程： （1）； （2）． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标为(-4,5)． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）将绕原点顺时针旋转得到，画出； （3）连接，则的面积为___________． 19. 列分式方程解应用题： 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价降低了20%，同样用2400元购进的数量比第一次多20套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 20. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？ 21. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）已知点，观察图象，不等式的解集为___________； （3）点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 22. 一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车出发开始计时的时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： （1）甲、乙两地之间的距离为___________km； （2）当时， ①求慢车离乙地的路程与之间的函数关系式； ②当___________（h）时，两车相遇； （3）直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时，的值． 23. 对于一次函数，我们称函数为它的阶明珠函数（其中为常数），例如，当时，正比例函数的2阶明珠函数为． （1）点在一次函数的1阶明珠函数的图象上，求的值； （2）点在正比例函数的-1阶明珠函数的图象上，求的值； （3）已知一次函数． ①当时，直接写出这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围； ②当时，若这个一次函数的2阶明珠函数的函数值的取值范围是，则直接写出字母的取值范围． 24. 如图①，点是平面直角坐标系的坐标原点，正方形的边长为4，边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上． （1）求直线的函数解析式； （2）点是轴上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到点的对应点，设点的横坐标为． ①请用含的代数式表示点的坐标___________； ②连接，当线段最短时，点的坐标是___________； ③如图②，点是线段的中点，连接，是否存在点，满足，如果存在．请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $