精品解析：吉林省吉林市第九中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

吉林市第九中学2025—2026学年度下学期期中测试 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若a，b，c为的三边长，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. ， ， B. C. D. 3. 如图，在四边形 中，对角线，相交于点O，下列条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在中，，点D、E分别是边 的中点，点F是线段上的一点且，连接 ，若，则线段 的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 5. 如图，在中， ，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 6. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 8. 若将一元二次方程化为的形式，则______ ． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设 ，则可列方程求出的长为______． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD＝7，AC＝4，则菱形ABCD的面积为__________． 11. 在中，，点N是 边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：2x2﹣3x﹣5＝0． 13. 解方程： ． 14. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点 作，两平行线交于点 ．求证：四边形是菱形； 15. 如图，在长7米，宽5米的矩形地面，沿纵向，横向修建两条相同宽度的道路，余下部分用作花坛，要使花坛的面积为24m2，道路的宽应为多少？ 16. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1． （1）求AC的长； （2）求∠DAB的度数． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个正方形 ； （2）在图②中以线段为边画一个菱形； （3）在图③中以线段为边画一个平行四边形． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个根分别为，，求m的值． 19. 如图，在正方形 中，点分别在 上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若， ，求的长． 20. 某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为元，销售价为元时，每天可售出盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价元，则平均可多售出盒．设该种粽子每盒降价元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） （2）求该种粽子每盒降价多少元时，平均每天可盈利元； （3）若店长希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 21. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形 ，若的面积为12，，则此完美矩形的边长 ______，面积为______． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形 纸片按所示折叠成完美矩形 ，若平行四边形 的面积为24，，则完美矩形 的周长为______ （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形 纸片按所示折叠成完美矩形 ，若 ， ，求此完美矩形的周长为多少． 22. 如图，在中， ，，连接，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线 运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为． （1）______； （2）用含有t的代数式表示 的长； （3）试判断是否存在t值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）若点P关于直线 对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第九中学2025—2026学年度下学期期中测试 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，一元一次方程的概念，分式方程的概念等知识点，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：，是一元一次方程，故选项A错误，不符合题意； ，是二元二次方程，故选项B错误，不符合题意； ，是一元二次方程，故选项C正确，符合题意； ，是分式方程，故选项D错误，不符合题意； 故选：C 2. 若a，b，c为的三边长，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. ， ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理的逆定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．根据这两种情况进行判断即可． 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，能够判定为直角三角形； B、设三边为，，，则 符合勾股定理的逆定理，能够判定为直角三角形； C、∵，，则，能判定是直角三角形； D、，那么最大角为，不能判定是直角三角形． 故选：D． 3. 如图，在四边形中，对角线， 相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可． 【详解】A．根据“一组组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，点D、E分别是边 的中点，点F是线段上的一点且，连接 ，若，则线段的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解： 点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故选：B． 5. 如图，在中， ，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 6. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 【详解】解： 方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是 且 ． 8. 若将一元二次方程化为的形式，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是配方法，解题关键是熟练掌握配方法． 通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较系数确定和的值，再计算它们的和． 【详解】解：方程 配方，得 ， 即 ， ，， ． 故答案为：． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，在“勾股”中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设 ，则可列方程求出的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设 ，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD＝7，AC＝4，则菱形ABCD的面积为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案． 【详解】解：∵BD＝7，AC＝4， ∴菱形ABCD的面积为：×4×7＝14， 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的面积等于对角线之积的一半． 11. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________． 【答案】##2.4## 【解析】 【分析】连接，当 时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当 时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程：2x2﹣3x﹣5＝0． 【答案】 【解析】 【分析】把方程左边进行因式分解得到（2x﹣5）（x+1）＝0，则方程就可化为两个一元一次方程2x﹣5＝0，或x+1＝0，解两个一元一次方程即可． 【详解】解：∵2x2﹣3x﹣5＝0， ∴（2x﹣5）（x+1）＝0， ∴2x﹣5＝0，或x+1＝0， ∴x1＝，x2＝﹣1． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解题关键． 13. 解方程： ． 【答案】， 【解析】 【分析】通过移项、因式分解法求解一元二次方程，移项后提取公因式，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：移项，得： ， 提取公因式，得： ， 根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得： 或 ， ∴方程的解为， ． 14. 如图，在中，，是边的中点．过点作，过点作，两平行线交于点．求证：四边形是菱形； 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记菱形的判定定理是解决问题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由菱形的判定定理即可证明四边形是菱形． 【详解】证明： ，， 四边形是平行四边形， ，是边的中点 ， 四边形是菱形． 15. 如图，在长7米，宽5米的矩形地面，沿纵向，横向修建两条相同宽度的道路，余下部分用作花坛，要使花坛的面积为24m2，道路的宽应为多少？ 【答案】道路的宽应为1米 【解析】 【分析】设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，根据花坛的面积为24m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形， 依题意得：（7﹣x）（5﹣x）＝24， 整理得：x2﹣12x+11＝0， 解得：x1＝1，x2＝11（不合题意，舍去）． 答：道路的宽应为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正值列出一元二次方程是解题的关键. 16. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1． （1）求AC的长； （2）求∠DAB的度数． 【答案】（1）2 （2）135° 【解析】 【分析】（1）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC； （2）由于∠B＝90°，AB＝BC＝2可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求∠DAB． 【小问1详解】 解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴AC＝； 【小问2详解】 解：∵∠B＝90°，AB＝BC＝2， ∴∠BAC＝45°， 又∵CD＝3，AD＝1， ∴AC2+AD2＝8+1＝9，CD2＝9， ∴AC2+DA2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝45°+90°＝135°． ∠DAB的度数为135°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个正方形； （2）在图②中以线段为边画一个菱形； （3）在图③中以线段为边画一个平行四边形． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）如图①，取格点、，连接、、即可； （2）如图②，取格点、，连接、、即可； （3）如图③，取格点、，连接、 、即可． 【小问1详解】 解：如图①，取格点、，连接、、，取格点、，连接 、、、 ， ∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为， ∴，，，， ，，， ∴， ∴四边形是菱形， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 则正方形即为所作； 【小问2详解】 如图②，取格点、，连接、、， ∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为， ∴，，，， ∴， ∴四边形是菱形， 则菱形即为所作； 【小问3详解】 如图③，取格点、，连接、 、， ∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 则平行四边形即为所作（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个根分别为，，求m的值． 【答案】（1）证明： ， 任何实数的平方均为非负数，即， 恒成立， 即不论为何值，方程总有实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）要证明一元二次方程总有实数根，只需证明其判别式恒成立； （2）利用根与系数的关系，将变形为含和的形式，代入已知条件列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据韦达定理，对于方程，两根满足： ，， 已知，利用变形得： ， 将，代入，结合条件得： ， 展开并整理方程： ， ， 因式分解求解： ， 解得： ，． 19. 如图，在正方形中，点分别在 上，且，与相交于点 ，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若， ，求的长． 【答案】（1） 解：与垂直且相等，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 在和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴，即 ， ∴与垂直且相等； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形性质及判定，勾股定理等． （1）利用正方形性质证明 ，继而利用全等三角形性质即可得到答案； （2）利用正方形性质计算出 ，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵点是的中点， ∴． 20. 某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为元，销售价为元时，每天可售出盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价元，则平均可多售出盒．设该种粽子每盒降价元； （1）每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） （2）求该种粽子每盒降价多少元时，平均每天可盈利元； （3）若店长希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）这个愿望不能实现，理由如下： 根据题意，得， 整理得：， ， 所以该方程没有实数根，店长的平均每天盈利元的愿望不能实现． 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用以及一元二次方程根的判别式的应用． （1）根据降价后的销量变化和单盒利润变化列出含的代数式； （2）根据总利润=单盒利润×销售量的等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合题意的根得到结果； （3）同样根据总利润的等量关系列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否存在实数根，即可判断愿望能否实现． 【小问1详解】 设该种粽子每盒降价元，由题意可得： 可多售出盒， 每天可销售盒数是：盒． 降价前每盒原利润是:元, 降价元后每盒利润为:元． 【小问2详解】 由题意可得: 解得:(舍去), , 答:该种粽子每盒降价元时，平均每天可盈利元 【小问3详解】 略 21. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长 ______，面积为______． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形 ，若平行四边形的面积为24，，则完美矩形 的周长为______ （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若 ， ，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式作答即可； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接 ，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则 ，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【小问1详解】 解：由折叠可知，， ，， ∴ ， ∵ ，将纸片按所示折叠成完美矩形， ∴完美矩形的面积 ； 【小问2详解】 解：由折叠可得： ， ， ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴完美矩形 的周长 ； 【小问3详解】 解：连接 ，如图所示： ∵平行四边形 ， ∴， ∴ ， 由折叠可得： ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵四边形是完美矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴设，则 ， ∵在 中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴ ， ， ∴完美矩形的周长 ． 22. 如图，在中， ，，连接 ，恰有，过点D作于点E．动点P从点D出发沿以的速度向终点A运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为． （1）______； （2）用含有t的代数式表示的长； （3）试判断是否存在t值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）若点P关于直线 对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）存在；的值为或 （4）或 【解析】 【分析】（1）先求出，进而得到，根据平行四边形的性质求出，同理求出 ，利用求解即可； （2）先求出点E运动到点C需要的时间、点P运动到点A需要的时间为，分情况讨论：分Q在线段上和Q在延长线上两种情况，根据的长度与长度的大小关系，表示出； （3）根据平行四边形的性质得到，要使以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则，结合第（2）问的两种表达式列方程求解，再验证t是否在取值范围内即可； （4）分情况讨论：点Q在线段上和Q在延长线上两种情况，根据角之间的关系求出，则 ，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：、 ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 、， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 点Q运动到点C需要的时间为， 点P运动到点A需要的时间为， 根据题意得：， 分情况讨论： 当点Q在上，即时，， 当点在的延长线上，即时，， 综上所述，的表达式为； 【小问3详解】 解： 四边形是平行四边形， ，即， 若，则四边形为平行四边形， 根据题意得：， 由（2）知，， 分情况讨论： 当时，， ， ， 解得：； 当时，， ， ， 解得：； 综上所述，当的值为或时，以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形； 【小问4详解】 解：当点Q在上，即时，， 如图： 点P、关于 对称， ， ， ， ， ， ， 解得：； 当在的延长线上，时，， 如图， 点P、关于 对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $