精品解析：河北省保定市莲池区冀英初级中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试卷

冀英中学2025—2026学年第二学期期中质量监测 七年级数学试卷 考试范围：第一章——第四章第一节： 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．） 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “守株待兔”是必然事件 B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 C. “在一个只装有5个红球的袋中随机摸出1个球是红球”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数一定是10次 4. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线和相交于点，且于，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（ ） A. 22 B. 29 C. 22或29 D. 以上答案均不对 10. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若的结果中不含项，则的值为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点．①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①② D. ①③ 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分．） 13. 已知，则的值为_____． 14. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 15. 要使成为一个完全平方式，则常数m的值是__________． 16. 图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： （1）的长； （2）的面积； （3）和的周长的差． 20. 如图，三点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）． （1）请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； ②过点作，使得，并标出射线所经过的格点． （2）在（1）画图结果的基础上，线段_____的长就是点到直线的距离； （3）连接，比较大小：_____（填“”“”或“”），理由是_____． 21. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入） （2）你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色 （3）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______． （4）在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 22. 如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知） 又∵_______（_____________________） ∴_______（_____________________） ∴_______（_____________________） ∴（_____________________） ∵，（已知） ∴ ∴（_____________________）． 23. 将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以． 所以由，得． 根据上面的解题思路，解决下列问题： （1）若，求的值． （2）①若，求的值． ②若，则_____． （3）如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则正方形、的面积之和为_____． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放不同位置涉及的数学问题． 素材 如图1是一副三角尺，． 问题解决 任务图 （1）如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，则_____度；（提示：过点G作） （2）如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？说明理由； （3）将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C、F重合，为的角平分线，当时，请直接写出角度所有可能的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冀英中学2025—2026学年第二学期期中质量监测 七年级数学试卷 考试范围：第一章——第四章第一节： 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．） 1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：0.00003用科学记数法可表示为， 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 2. 如图，和是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，叫做同位角． 【详解】解：A 选项中，∠1 和∠2 不在截线的同旁，不是同位角； B 选项中，∠1 和∠2 在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧，符合同位角的定义，是同位角； C 选项中，∠1 和∠2 不在截线的同旁，不是同位角； D 选项中，∠1 和∠2 不在被截两直线的同一侧，不是同位角． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “守株待兔”是必然事件 B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件 C. “在一个只装有5个红球的袋中随机摸出1个球是红球”是必然事件 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数一定是10次 【答案】C 【解析】 【分析】一定发生的事件是必然事件，一定不能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义解答． 【详解】解：选项A是偶然事件，选项B是可能事件，选项C是必然事件，选项D是随机事件， 故选C． 【点睛】此题考查事件的分类，正确掌握必然事件，不可能事件及随机事件的定义是解题的关键． 4. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 5. 如图，直线和相交于点，且于，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对顶角相等求出的度数，再根据垂直的定义得出，最后利用角的和差关系计算的度数． 【详解】解：直线和相交于点，， ． ， ， ． 6. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出整个图形的面积和阴影部分的面积是正确解答的关键． 求出整个图形的面积和阴影部分的面积，根据几何概率的定义进行计算即可． 【详解】设每一块小正方形的边长为1，则总面积为，其中阴影部分面积为， 飞镖停留在阴影区域上的概率是． 故选∶C． 7. 已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设未知数列方程求出这个角的度数，再计算该角的补角即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵互余两角的和为， ∴这个角的余角为， 由题意列方程得：， 展开整理得， 解得， ∵互补两角的和为， ∴这个角的补角为． 8. 为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式结构为，解题思路是将原式中两个括号的相同项、相反项重新分组，凑出平方差公式要求的形式即可． 【详解】解：观察原式， 两个因式中相同项是，相反项是， 分组变形得：符合平方差公式的变形要求，故选B． 9. 已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（ ） A. 22 B. 29 C. 22或29 D. 以上答案均不对 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况求出第三边，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况进行讨论： ①当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； ②当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系， 此情况成立，周长为． 因此该等腰三角形的周长为． 10. 如图，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定， 根据“同旁内角互补两直线平行”得，再根据“两直线平行内错角相等”可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以. 不能确定之间的关系. 故选：D. 11. 若的结果中不含项，则的值为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据结果中不含项，得出，进而即可求解． 【详解】解： ∵结果中不含项， ∴ 解得． 故选：C． 12. 如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点．①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可以得到（可以判断①），，根据角平分线的性质得到，，从而得到，，可以判断②，根据，，可以得到，即可得到，从而可以判断③， 根据，得到，可以判断④. 【详解】解：， ，故①正确，， ， 、分别平分和， ，， ，故②错误  ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，故③正确， ， ， 又 ， ， ， ，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分．） 13. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了中点相关的面积问题，熟练掌握与中点相关面积的计算是解题的关键； 根据中点得到面积关系即可求得. 【详解】解：∵D为BC中点， ∴ 同理可得： ∴ ∵F是EC的中点， 故答案为：1 ． 15. 要使成为一个完全平方式，则常数m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特征求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，完全平方式的特点是左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍． 16. 图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ，  ，  ，  ，   平面镜是一条直线，  ，  ，   ，  ，  三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再对括号内进行运算，然后进行除法运算，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 19. 如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： （1）的长； （2）的面积； （3）和的周长的差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【小问1详解】 解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； 【小问2详解】 解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． 【小问3详解】 解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 20. 如图，三点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点）． （1）请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； ②过点作，使得，并标出射线所经过的格点． （2）在（1）画图结果的基础上，线段_____的长就是点到直线的距离； （3）连接，比较大小：_____（填“”“”或“”），理由是_____． 【答案】（1）解：①如图所示，垂线，垂足即为所求； ②如图所示，即为所求； （2） （3），垂线段最短 【解析】 【分析】（1）①利用网格的边长与角度特征进行作图即可；②利用平行线的性质结合平移的性质作的平行线即可； （2）根据点到直线的距离可得答案； （3）根据垂线段最短可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：线段的长就是点到直线的距离； 【小问3详解】 解：，理由是：垂线段最短． 21. 一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球． （1）小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入） （2）你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色 （3）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______． （4）在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】（1）随机事件，不可能事件 （2）白 （3）4 （4）公平； 理由：∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球， ∴摸到红球，小颖获胜的概率为，小英获胜的概率为； ∴这个游戏对双方公平； 【解析】 【分析】（1）根据随机事件，不可能事件的含义可得答案； （2）由，可得摸到白色球的机会最大； （3）利用概率公式建立方程求解即可； （4）分别求解小颖获胜与小英获胜的概率即可． 【小问1详解】 解：小颖同学摸出红球是随机事件，摸出黑球是不可能事件； 【小问2详解】 解：∵ ∴摸到白色小球的可能性最大； ∴小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是白色； 【小问3详解】 解：∵摸到黄色乒乓球的概率为， ∴， 解得：，经检验符合题意； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查的是事件的分类与判定，简单随机事件的概率的计算，已知概率求解数量，分式方程的解法，理解题意是关键. 22. 如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知） 又∵_______（_____________________） ∴_______（_____________________） ∴_______（_____________________） ∴（_____________________） ∵，（已知） ∴ ∴（_____________________）． 【答案】；对顶角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等，内错角相等两直线平行，解题关键是掌握平行线的性质与判定． 根据平行线的性质与判定，对顶角的性质求解． 【详解】解：∵，（已知）， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，对顶角相等，，等量代换，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行． 23. 将完全平方公式：进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为， 所以． 所以由，得． 根据上面的解题思路，解决下列问题： （1）若，求的值． （2）①若，求的值． ②若，则_____． （3）如图，有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和35，则正方形、的面积之和为_____． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再由，即可求解； （2）①先求出，则，再由，即可求解；②先求出，则，再由，即可求解； （3）设正方形的边长为，正方形的边长分为，利用完全平方公式变形即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长分为， 根据题意得到， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材背景 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”．一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完平行线性质，可探究三角尺摆放不同位置涉及的数学问题． 素材 如图1是一副三角尺，． 问题解决 任务图 （1）如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点F重合，点在上，与相交于点，则_____度；（提示：过点G作） （2）如图3，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？说明理由； （3）将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C、F重合，为的角平分线，当时，请直接写出角度所有可能的值． 【答案】（1） （2）解：， 理由：过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）分在上方和在下方，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当在上方时，如图所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴； ②当在下方时，如图所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：角度所有可能的值是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $